(新高考)高考数学一轮考点复习7.5.1《空间向量及其应用》教案 (含详解)

PAGEPAGE10第五节空间向量及其应用第1课时系统知识牢基础——空间向量及其应用知识点一空间向量的概念及有关定理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．[重温经典]1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共线C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 D．O，A，B，C四点共面解析：选D∵向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，∴向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))，则x，y的值分别为()A．1,1 B．1，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)` D.eq\f(1,2)，1解析：选Ceq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，则下列等式成立的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－aC．eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a D．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析：选BD对于A，利用向量的四边形法则，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，A错；对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－a，B对；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－a，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b＋\f(1,3)c－a))＝eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a，C错；对于D，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，D对，故选B、D.4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))表示eq\o(OC1,\s\up7(→))，则eq\o(OC1,\s\up7(→))＝________________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(OC1,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).答案：eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))5.如图所示，在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.解析：∵a∥b，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，∴x＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．(易错题)给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0.其中为真命题的是________(填序号)．解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确．答案：④知识点二两个向量的数量积及其运算1．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是[0，π]，若a，b＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角a，b(a≠0，b≠0)cosa，b＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))[重温经典]1．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B如图，令eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|eq\o(PC,\s\up7(→))|等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：选C∵eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(PC,\s\up7(→))2＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(BC,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝12，故选C.3．(教材改编题)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).答案：－eq\f(2\r(5),15)4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，故|b|＝eq\r(－42＋22＋22)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)5．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：∵a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，cosθ＋sinθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)，∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)6．(易错题)如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．解析：∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))，∴|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up7(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up7(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up7(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(FE,\s\up7(→))＋2eq\o(FE,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\r(3－\r(2)).答案：eq\r(3－\r(2))知识点三空间中的平行与垂直的向量表示1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[重温经典]1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))解析：选C设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0))，化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z，故选C.2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于()A．3 B．6C．－9 D．9解析：选C∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.3．平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于()A．2 B．－4C．4 D．－2解析：选C∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴－eq\f(2,1)＝－eq\f(4,2)＝eq\f(k,－2)，∴k＝4.4．(教材改编题)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对解析：选C∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．解析：以A为原点，分别以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)).∵eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，∴ON与AM垂直．答案：垂直6．(易错题)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.(1)连接AC交BD于点G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，所以eq\o(PA,\s\up7(→))＝(a,0，－a)，eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))).则eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(EG,\s\up7(→))，故PA∥EG.而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，所以eq\o(PB,\s\up7(→))＝(a，a，－a)．又eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0＋eq\f(a2,2)－eq\f(a2,2)＝0，所以PB⊥DE.由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.知识点四利用空间向量求空间角1．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))的夹角，如图a.(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图b，c.[重温经典]1．(易错题)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°解析：选Ccosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即m，n＝45°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.2．(教材改编题)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cosm，n＝－eq\f(1,2)，则l与α所成的角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选A由于cosm，n＝－eq\f(1,2)，所以m，n＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3)