【16、22用】等差数列前n项和的性质应用

2.3.3

等差数列的前n项和的

【性质与应用】高二【16、22】专用吴川一中陈智敏知识回顾1.{an}为等差数列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数am+(n-m)d2.等差数列前n项和Sn

=

=

.复习：等差数列的前n项和公式1、通项公式与前n项和的关系：例1、已知数列{an}的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析：所以当n>1时，当n=1时，也满足上式。

因而，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。

3.Sn与之间的关系：

由的定义可知，当n=1时，当n≥2时，

第三课探究：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析：由，得令p+q+r=2p–(p+q)，得r=0。

==所以当r=0时，数列是等差数列，首项a1=p+q，4.等差数列的前n项的最值问题一、例题：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。分析：等差数列的前n项的最值问题1：数列{an}是等差数列，（1）从第几项开始有（2）求此数列前n项和的最大值练习：小结：{an}为等差数列，求Sn的最值。已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.7n113Sn能力提升已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn练习1:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C练习2:等差数列｛

an

｝中，

，则前n项和取最大值时，n为（）A．6 ； B．7；C．6或7；D．以上都不对；C1、数列{an}是等差数列，作业第四课性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质2:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=0－(m+p)等差数列{an}前n项和的性质两等差数列前n项和与通项的关系性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B5.等差数列{an}前n项和的性质的应用例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.10例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.课堂练习2.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且练习解:

练习作业第46页课本习题A组第4,5题第五课性质4:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质5:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2dnd等差数列{an}前n项和的性质性质6:若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S偶－S奇=

,性质7:

为等差数列.an例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A例1.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为

.5例第六课例3.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.作业求集合的元素个数，并求这些元素的和.作业1、已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.2：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性质8:(1)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质10:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质9:为等差数列.an 一个水池有若干出水量相同的水龙头．如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？本题可用等差数列前n项和知识建立方程求解．实际应用【解题过程】

设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，xn.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴数列{xn}成等差数列，∴x1＋xn＝48.又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴x1＝8(min)，∴xn＝40(min)，故最后关闭的水龙头放水40min.

【题后感悟】

解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型，通过解答数学问题实现实际问题的解决．常用的数学模型有函数、方程、不等式、数列、概念统计等．本题就是建立了等差数列的前n项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．

从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日

销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．解析：

(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}．由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，∴an＝15n