应用举例正余弦定理在实际问题中的应用NO课下检测

一、选择题1.如图，从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为()\f(hsinαsinβ,sinα－β) \f(hsinβ－α,sinαsinβ)\f(hsinα,sinβsinα－β) \f(hsinβ,sinαsina－β)解析：在Rt△ADC中，AC＝eq\f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理BC＝eq\f(AC,sinα)·sin(β－α)＝eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ).答案：B2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()\f(17\r(6),2)nmile B．34eq\r(6)nmile\f(17\r(2),2)nmile D．34eq\r(2)nmile解析：如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6).∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(mile/h)．答案：A3．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等．灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°解析：如图，由已知得∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°.又EC∥BD，∴∠CBD＝∠BCE＝60°，则∠ABD＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案：B4．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.答案：D二、填空题5．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/解析：如图，v实＝eq\r(22＋42－2×4×2×cos60°)＝2eq\r(3)(km/h)，所以实际航程为2eq\r(3)×2＝4eq\r(3)(km)．答案：4eq\r(3)6．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.解析：如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝30°.AS＝1000，由正弦定理知eq\f(BS,sin15°)＝eq\f(1000,sin30°)，∴BS＝2000sin15°.∴BD＝BS·sin75°＝2000sin15°·cos15°＝1000sin30°＝500，且DC＝ST＝1000sin30°＝500，从而BC＝DC＋DB＝1000(m)．答案：10007．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________km.(精确到0.1km)解析：如图，由条件知，AB＝24×eq\f(15,60)＝6(km)．在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－65°＝115°，∴∠ASB＝35°.由正弦定理，得eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin35°)，∴BS＝eq\f(6sin30°,sin35°)≈.答案：8．(2022·福州高二检测)某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A、C两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2·cos150°＝49，AC＝7.则A、C两地距离为7km.答案：7三、解答题9.如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得：BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得：x＝40，∴电视塔高为40m.10．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，eq\r(2)≈，eq\r(6)≈．解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(