专题三-反比例函数试题的解题思路

专题三---反比例函数试题的解题思路专题三反比例函数试题的解题思路一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法：①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；②利用几何图形的数量关系来确定；③利用实际问题中的数量关系来确定；2.从反比例函数的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为；3.反比例函数图象上的两个点（，）、（，），则。三、典例分析例1：如图，直线与双曲线相交于两点．（1）当为何值时？；（2）把直线平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式.解：（1）根据图象，当或时，（2）∵∴∴(1，-2)根据题意得：…解得：直线与坐标轴的交点分别为（0，-1）、（-1，0)方法一：设把直线向上平移个单位长度，所得到的直线为该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直线为或方法二：设把直线向右平移个单位长度，所得到的直线为即该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直线为或评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量的取值范围，所以要先求出点的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围；第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离之间的关系。例2：探索发现：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）图图4图3图2图1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha应用求值：（1）如图，、是直线上的两个动点，横坐标分别为、，，且，点（，）.求：的面积； （2）如图，直线与双曲线（）相交于、两点，与轴相交于点，的面积为6，求：的值；（3）如图，、是双曲线（）在第一象限上的两点，⊥轴于交于点，，，求：的值及的面积.解：（1）过作∥轴交直线于如图：当时，（2），当时，记点的横坐标为，点的横坐标为.∵∴∴设点的横坐标为，则点的横坐标为∴(，)，∴解方程得：∴(，)（3）∵，,∴∴∵∴∴∴∴(，)∴直线为，设点（，），则，或（不合题意舍去）所以的水平宽为3.评析：“探索发现----应用求值”与“阅读理解----创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，、两点横坐标之差，就是水平宽，、（或、）两点纵坐标之差便为铅垂高。四、强化训练1.如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是，与反比例函数的图形相交于点（,）和（，），求的值.yxOABCED2.如图，已知直线与轴交于点，与双曲线交于（，）、（，）两点.轴于点，∥轴且与轴交于点.yxOABCED（1）求点的坐标及直线的解析式；（2）判断四边形的形状，并说明理由.3.已知反比例函数(为常数)的图象经过点(，）．（1）求的值；（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与x轴交于点，且，求点的坐标．4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的．两点，与轴交于点，点的坐标为（,)，点的坐标为（，），。（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上有一点（点除外），使得与的面积相等，求出点的坐标．5.如图，在矩形中，、两边分别在轴、轴的正半轴上，，，过边上的点，沿着翻折，点恰好落在边上的点处，反比例函数在第一象限上的图象经过点与相交于点.（1）求证：四边形是正方形；（2）点是否为正方形的中心？请说明理由.6.如图，在平面直角坐标系中，(，)、（，），四边形是矩形，、分别是、边上的点，沿着折叠矩形，点恰好落在轴上的点处，点落在点处．（1）求、两点的坐标；（2）反比例函数在第一象限内的图象经过点，判断点是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；（3）点是（2）中反比例函数的图象与原矩形的边的交点，点在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。7.探索发现：如图1，过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫做的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）应用求值：（1）如图2，在直角坐标系中，(，)、（，）,点在第一象限，轴于点，交于点，，.求：（2）①如图3，、是反比例函数的图象在第一象限上的两点，过作轴于，交于，，连接，，点的横作标为，求点的坐标及的值.②如图3，、是①中反比例函数图象上两个动点，、的横作标分别为、（），，求：的值.8.如图，等边△和等边△的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和的中点，已知等边△的边长为．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△的边长．9.如图，点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点，过点作∥轴交反比例函数的图象于点（），分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接交反比例函数的图象于点.（1）求：矩形的面积（用含的代数式表示）；（2）若点恰好是矩形的中心.①求：的值②若，其它的条件不变，判断的形状，并说明理由.10.如图，将—矩形放在直角坐际系中，为坐标原点．点在轴正半轴上．点是边上的—个动点(不与点、重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点。（1）若、的而积分别为．且，求的值：（2）若．．问当点运动到什么位置时．四边形的面积最大．其最大值为多少?专题三、反比例函数1.解：直线与轴交点为（0，），与轴交点为（-1,0）∴∴一次函数为：∴、又∵所以2．解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,得.∴点B的坐标是（-5，-4）.设直线AB的解析式为，将A（3，）、B（-5，-4）代入得，，解得：.∴直线AB的解析式为：.（2）四边形CBED是菱形.理由如下:点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.∵BE∥轴，∴点E的坐标是（0,-4）.而CD=5，BE=5，且BE∥CD.∴四边形CBED是平行四边形.在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ED＝＝5，∴ED＝CD.∴□CBED是菱形.3.解：（1），（2）分别过、作轴的垂线，垂足为、.则∽，∵∴在中，当时，∴∴∴(-4,0)4.解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，∵B（n，﹣2），∴BD=2，在Rt△OBD在，tan∠BOC=，即=，解得OD=5，又∵B点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），将B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，∴反比例函数解析式为y=，将A（2，m）代入y=中，得m=5，∴A（2，5），将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，得，解得，则一次函数解析式为y=x+3；（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，∴OE=6，即E（﹣6，0）．5.解：（1）∵四边形是矩形 ∴、 ∵是由沿着翻折得到的 ∴，∴四边形是正方形（2）点是正方形的中心理由：过作轴于，如图：∵四边形是正方形∴，∴(，)∴∵(，)、(，)∴直线为设（，），则，解得：，（不合题意舍去）∴（，），（，）∵∴，∴∴点是正方形的中心.6.解：（1）OA=16，OC=8，设OD=m，则CD=DA=16-m，在Rt△COD中，∠COD=90∵CD=OC+OD∴(16-m)=8+m，m=6∴D(6，0)∵四边形OABC是矩形∴OA∥CB，∴∠CED=∠EDA，又∵∠EDA=∠CDE，∴∠CED=∠CDE，∴CE=CD=10，E(10，8)（2）过B作BM⊥BC于M如图1.BC=AB=OC=8，BE=BE=6，∠CBE=90，BM=CM=，B（6.4，12.8）k=10×8=80，y=，∵图1∴点B不在这个反比例函数的图象上。（3）当x=16时，y=5F=1\*GB3①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度，端点E落在G处，G（20，13）；=2\*GB3②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度，端点F落在G处，G（12，-3）；=3\*GB3③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3图2 个单位长度，端点D落在G处，G（0，3）；综上所述，在直角坐标系中存在：G（20，13）、G（12，-3）、G（0，3）使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形。7.解：（1）过A作AD⊥x轴于D.则AD=3，OD=2，DC=4∵BF⊥x轴，AD⊥x轴∴AD∥EF∴△CEF∽△CAD∴∴EF=1,S==(2)①过B作BE⊥x轴于E。设A（，）、B(6，则CE=()，BE=直线OB为：∴D(a，)∴=1…（Ⅰ）∵AD=，∴∴…（Ⅱ）把（Ⅱ）代人（Ⅰ）解得∵∴∴A(3，4)、B（6，2）（3）过M作MA⊥x轴于A，过N作NB⊥x轴于B,连接ON交MA于点C.直线ON为：当x=m时，y=∴C()MC=-又∵MC=∴-=∴∴∵∴8.解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝，∴点C的坐标是(1，)，由＝，得：k＝，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝；(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a．∴点D的坐标为(4＋a，)，∵点D是双曲线y＝上的点，由xy＝，得(4＋a)＝，即：a2＋4a－1＝解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，∴AD＝2AH＝2－4，∴等边△AEF的边长是2AD＝4－8．9.解：设A()，则B（）、C(0，)（1）AB=AD=（2）①过点F作FG⊥BC于G.∵点F是矩形ABCD的中心∴点F坐标为（）把点F（）代入得：化简得：∴②△AEF是直角三角形理由：由①得，∴A()，在