六年级奥数专题03：定义新运算

六年级奥数专题03：定义新运算六年级奥数专题03：定义新运算六年级奥数专题03：定义新运算V:1.0精细整理，仅供参考六年级奥数专题03：定义新运算日期：20xx年X月三、定义新运算（一）年级班姓名得分一、填空题1.规定a☉b=,则2☉(5☉3)之值为.2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b,若6※x,则x=.3.设a,b,c,d是自然数,定义.则3,4,1,2.4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:=.5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=.7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x=.8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=.9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=.10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,,,,则计算结束时,a与b的和是.二、解答题11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下:(a,b)※(c,d)=(a+c,b+d);又定义运算△如下:(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).试计算((1,2)※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.表示成;表示成.试求下列的值:(1);(2);(3);(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

———————————————答案——————————————————————1..5☉3=,2☉(5☉3)=2☉.2.8.依题意,6※,因此,所以x=8.3.280.原式.4.5.因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.5.9.因为4※1=,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.6.0.,26☆9=8,又,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7.6.因为,所以,故.8.86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9.25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10.14.第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.11.(1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12.原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13.(1);(2);(3)因为,所以;(4)令则..14.(1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.

三、定义新运算（二）年级班姓名得分一、填空题1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5=.2.如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=.3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.4.已知a,b是任意有理数,我们规定:a⊕b=a+b-1,,那么.5.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.6.如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=.7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=.8.我们规定:符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.请计算:.9.规定一种新运算“※”:a※b=.如果(x※3)※4=421200,那么x=.10.对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是.二、解答题11.设a,b为自然数,定义a△b.(1)计算(4△3)+(8△5)的值;(2)计算(2△3)△4;(3)计算(2△5)△(3△4).12.设a,b为自然数,定义a※b如下:如果a≥b,定义a※b=a-b,如果a<b,则定义a※b=b-a.(1)计算:(3※4)※9;(2)这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说,下面两式是否成立①a※b=b※a;②(a※b)※c=a※(b※c).13.设a,b是两个非零的数,定义a※b.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.14.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;(3)已知6⊙x=27,求x的值.

———————————————答案——————————————————————1.100.因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.2.8.依题意,得,解得.3.42.18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.4.98.原式5.11.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.6.6.x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.7.45678.8..因为○○,0.625△△,△△,○○,所以,原式.9.2.令x※3=y,则y※4=421200,又421200,所以y=24,即x※3=24.又24=,故x=2.10.4.由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.11.(1)原式;(2)原式△4=7△4=;(3)原式△△13.12.(1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;(2)因为表示a※b表示较大数与较小数的差,显然a※b=b※a成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.13.(1)按照定义有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.14.(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a