【七年级数学】06变量之间的关系生4

拓扑教育数学教师讲义年级：初一课时数：2辅导科目：数学课题变量之间的关系授课日期及时段2015年4月11日16：00—18：00a.m/p.m.（A/B/D/E/F）教学目的1、理解什么是变量、自变量、因变量，初步体会自变量和因变量的对应关系；2、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测；3、能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值；4、能从图象中分析变量之间关系，从图象中获取变量之间关系的信息。重难点1、熟练掌握表示变量之间的方法，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息；2、根据具体问题，选取用表格、关系式和图像来表示某些变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测。★教学内容 【基础知识巩固】丰富的现实情境丰富的现实情境自变量和因变量变量之间关系的探索和表示列表法关系式法图像法利用变量之间的关系解决问题、进行预测变量之间的关系知识点一:变量、自变量、因变量及常量★（1）变量与常量：在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量。常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。（2）自变量与因变量：在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量；而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，s随t取不同数值时也取不同数值，s与t都为变量．t是自变量，s是因变量．知识点二:用表格表示的变量间的关系。【预习思考】一个变化过程中一定只有两个变量吗？提示：不一定。（1）把自变量的一系列值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法。是表示变量之间关系的方法之一。（2）用表格表示变量之间关系的‘三个一’①一个优点：根据表格中已列出的自变量的值，可以直接查到与其对应的因变量的值，使用起来比较方便.②一个不足：表格中所列出的对应值一般都是有限的，由表格不容易看出两个变量之间的对应规律，不能直观、形象地反映变量之间的变化趋势。③一个注意：用表格表示变量之间关系时，要先表示自变量，再表示因变量，在表示自变量和因变量时，第一列要写单位名称。知识点三:用关系式表示的变量间的关系★★★（1）用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式。是表示变量之间关系的方法之一。（2）确定关系式的步骤：先找出题目中关于自变量与因变量的相等关系，再用含自变量的代数式表示因变量（3）利用关系式求因变量的值：①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于任何一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的值与之对应。特别注意：★★★（1）一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边；（2）已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了；（3）能确定变量之间的关系式：如，涉及到图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式。一些相关公式：①路程=速度×时间②长方形周长=2×（长＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2④本息和=本金＋利率×本金×时间⑤总价=单价×总量⑥平均速度=总路程÷总时间知识点四:用图像表示的变量间的关系★★★（1）图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是可以直观的表示出自变量与因变量的变化过程和变化趋势。（2）在用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。特别注意：从图象中可以获取很多信息，关键是：找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，区分横轴和纵轴所表示的具体意义，才能准确获取信息。重点：注意两种图象的区别★★★“s----t”型图象：这种类型的图象是s随t的变化而变化，如图２，stO图２①stO图２①②③③表示物体反向运动直至回到原地，显然，线段（或射线）与横轴所夹的锐角越大，则速度越快；夹角越小，则速度越慢．vvtO图３①②③“v----t”型图象：这种类型的图象是v随t的变化而变化，如图３，①表示物体从静止开始加速运动；②表示物体匀速运动；③表示物体减速运动到停止．特别注意：在应用这两种类型图象时，一定要区分横轴和纵轴所表示的具体意义，不要混用．知识点五:变量间关系的三种表示方法的优缺点：（1）表格：对应表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询方便；但是不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。（2）关系式：简明扼要、规范准确，我们可以根据一个自变量的值求出相应的因变量的值；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。（3）图象：形象直观，可以直观的表示出自变量与因变量的变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。【典型例题讲解】一、易混、易错问题辨析1．概念混淆致错例1．下表反映了青春期男孩和女孩的体重情况，从中能获得哪些信息？哪个是自变量？哪个是因变量？它们之间有什么关系？年龄（岁）91011121314男孩体重（千克）293236394144女孩体重（千克）3033374042432．忽视书写要求致错例2．王刚同学用30元钱买笔记本，写出购买总数a（个）与单价n（元）的关系式3．忽视横、纵轴的意义致错例3．如图１所示的图象中表示足球守门员用脚踢出去的球是（）．0距离时间（C）0距离时间（C）图１0距离时间（A）0时间高度（D）0时间高度（B）二、典型例题分析1．观察表格分析问题、解决问题例4．下表是天马冰箱厂2006年前半年每个月的产量：x（月）123456y（台）100001000012000130001400018000（1）根据表格中的数据，你能否根据x的变化，得到y的变化趋势？（2）根据表格你知道哪几个月的月产量保持不变？哪几个月月产量在匀速增长？哪几个月产量最高？（3）试求2006年前半年的平均月产量是多少？2．归纳变量关系式，解决问题例5．某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为元和元（1）写出、与x之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？3．根据题意，读懂图象，解决问题例6．汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，如图４表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段内保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？图４（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况．图４【随堂巩固练习】考点一：理解用表格来刻画变量之间的关系1、决定投资开发新项目．通过考察确定有6个项目可供选择．各项目所需资金及预汁年利润如下表：所需资金(亿元)l24678预计利润(千万元)0.20.350.55O．70.9l(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少?(3)如果要预计获得O.9千万元的年利润．投资一个项目需要多少资金?(4)如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资．预计最大年利润是多少?2、实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂重量x/kg012345弹簧长度y/cm182022242628

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）当所挂物体重量为3kg时，弹簧多长？不挂重物呢？

（3）若所挂重物为6kg时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

考点2：根据已知条件求关系式，利用关系式求值或者根据关系式做出相应的决策

1、技校办工厂现在的年产值是15万元．计划今后每年增加2万元，由此可知，年产值发生了变化．

（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

（2）如果年数用x（年）表示，年产值用y（万元）表示，那么y与x之间有什么样的关系？

（3）当年数1年增加到5年后，年产值是怎样变化的？

2、如图6—1所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8．(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1)，y的相应值；(3)当x每增加1时，y如何变化?说说你的理由；(4)当x=0时，y等于什么?此时它表示的是什么?

考点3：考查从图象中辨别和获取信息的能力．1、如图所示，是某地一天的气温随时间的变化图象，根据图象回答在这一天中：（1）什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？（2）18时的气温是多少？（3）什么时间气温为6℃．（4）哪段时间内气温不断下降？（5）哪段时间内气温持续不变？2、如图所示，是一辆汽车的速度随时间变化的情况．从图中看出：（1）汽车行驶的时间是多少？（2）汽车的最高时速约为多少？（3）汽车在哪些时间段内保持匀速？速度分别是多少？（4）描述一下这辆汽车的行驶情况．【课后强化练习】1、（常德市）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车．车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶．下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（）．ABCD2、（2005年常州市）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：给出以下3个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则上述判断中一定正确的是（）A、①B、①②C、①②③D、①③3、（2005年·河南）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．O30505460xO30505460x(分钟)y(千米)（第2题）6的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是 （）A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟B．步行的速度是6千米/时C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟D．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地4、小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行。三人步行的速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系如图9中的A、B、C表示，根据图象回答下列问题：图9图9A路程（千米米）时间（分）12002620OB路程（千米）时间（分）12002412OC路程（千米）时间（分）12006O（１）三个图象中哪个对应小明、爸爸、爷爷？（２）小明家距离目的地多远？（3）小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？5、在空气中传播的速度y（米/秒）与气温之间有如下关系：（1）在这一变化过程中，自变量是________、因变量是________；（2）当气温时，声音速度y=________米/秒；6、下面图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm)()d5080100150b25405075(A)(B)b=2d(C)(D)b=d+257、某地一天的气温随时间的变化如图6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是()(A)14℃；12h(B)4℃；2h(C)12℃；14h(D)2℃；4h8、如图6—3，△ABC是等腰三角形，周长是60cm，腰为xcm，底为ycm．(1)写出用含x的关系式来表示y；(2)当腰由20cm变化到25cm时，底边长由_______cm变化到________cm；(3)腰为20cm时，是什么形状的三角形?若腰为30cm时，行吗?9、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下表：降价（元）5101520253035日销量（件）780810840870900930960（1）上表