2021年河北省保定市宏岳中学高二数学理模拟试题含解析

2021年河北省保定市宏岳中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1=k2 D．不确定参考答案：A【考点】62：导数的几何意义．【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．【解答】解：当自变量从0到0+△x时，k1==，当自变量从到+△x时，k2==当△x＞0时，k1＞0，k2＜0即k1＞k2；当△x＜0时，k1﹣k2=﹣=∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣，sin（△x﹣）+1＜0，∴k1＞k2综上所述，k1＞k2．故选A．2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A． B． C． D．0参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，解得答案．【解答】解：∵抛物线的标准方程为，∴，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即故选：B．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5 C．﹣8 D．﹣11参考答案：D【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，（q≠0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．4.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（

）A.1

B.

C.2

D.

参考答案：A略5.已知，则两圆与的位置关系是（

）

A．外切

B．外离

C．相交

D．内含参考答案：C略6.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为（

）A.3 B.4 C.5 D.2参考答案：A【分析】先确定随机变量取法，再分别求对应概率，利用数学期望公式列方程解得白球的个数.【详解】设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为0，1，2，则服从超几何分布，，，，.∵，∴，解得．故选：A．【点睛】本题考查数学期望公式，考查基本分析求解能力，属中档题.7.复数A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知平面向量、、满足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，则||的最大值是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】向量的模．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意可知，当和+同向时，||有最大值，根据向量的数量积的运算得到||2=||2+||2+||||，分别令||∈{1，2，3}，求出值，再比较大小即可．【解答】解：平面向量、、满足＜，＞=60°，当和+同向时，||有最大值，∴||max=||+||，∵||2=||2+||2+2=||2+||2+2||||cos60°=||2+||2+||||，当||=1时，∴||2=4+9+6=19，∴||=1+，当||=2时，∴||2=1+9+3=13，∴||=2+，当||=3时，∴||2=1+4+2=7，∴||=3+，∵3+＞2+＞1+，||的最大值是3+．故选：A．【点评】本题考查了向量的模的运算和向量的数量积的运算，关键得到当和+同向时，||有最大值，属于中档题．9.平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，10)，则平面α与平面βA．平行

B．垂直

C．相交

D．不确定

参考答案：B略10.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x>0，y>0，且x+4y=1,则的最小值为

▲

参考答案：12.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于____________．参考答案：略13.在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是_________.参考答案：略14.设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则?（+）的取值范围为．参考答案：[﹣，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），讨论P在AB，BC，CA上，分别设P的坐标，可得向量PA，PB，PC的坐标，由向量的坐标表示，化为二次函数在闭区间上的最值问题，即可得到所求取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），当P在线段AB上，设P（t，0），（﹣1≤t≤1），=（﹣1﹣t，0），=（1﹣t，0），=（﹣t，），即有?（+）=（﹣1﹣t，0）?（1﹣2t，）=（﹣1﹣t）（1﹣2t）+0×=2t2+t﹣1=2（t﹣）2﹣，由﹣1≤t≤1可得t=取得最小值﹣，t=﹣1时，取得最大值0；当P在线段CB上，设P（m，（1﹣m）），（0≤m≤1），=（﹣1﹣m，（m﹣1）），=（1﹣m，（m﹣1）），=（﹣m，m），即有?（+）=（﹣1﹣m，（m﹣1））?（1﹣2m，（2m﹣1））=（﹣1﹣m）（1﹣2m）+（m﹣1）×（2m﹣1）=2（2m﹣1）2，由0≤m≤1可得m=取得最小值0，m=0或1时，取得最大值2；当P在线段AC上，设P（n，（1+n）），（﹣1≤n≤0），=（﹣1﹣n，﹣（1+n）），=（1﹣n，﹣（1+n）），=（﹣n，﹣n），即有?（+）=（﹣1﹣n，﹣（1+n））?（1﹣2n，﹣（1+2n））=（﹣1﹣n）（1﹣2n）+（1+n）×（1+2n）=8n2+10n+2=8（n+）2﹣，由﹣1≤n≤0可得n=﹣取得最小值﹣，n=0时，取得最大值2；综上可得?（+）的取值范围是[﹣，2]．故答案为：[﹣，2]．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，同时考查分类讨论和转化思想，转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题的关键，属于中档题．15.某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是参考答案：12716.某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在3秒末的瞬时速度为；

参考答案：略17.三个数72，120，168的最大公约数是_______。参考答案：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）y=kx与f（x）相切，求k的值；（Ⅱ）证明：当a≥1时，对任意x＞0不等式f（x）≤ax+﹣1恒成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，设出切点坐标，求出k的值即可；（Ⅱ）问题转化为ax+﹣lnx≥1恒成立，当a≥1时，记h（x）=ax+﹣lnx，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论即可．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=lnx，得：f′（x）=，设切点坐标为（x0，y0），则，解得：k=…..（Ⅱ）证明：只需证f（x）﹣g（x）≥1，即ax+﹣lnx≥1恒成立，当a≥1时，记h（x）=ax+﹣lnx，则在（0，+∞）上，h（x）≥1，h′（x）=，…..∵a≥1，x＞0，∴ax+a﹣1＞0，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增∴h（x）min=h（1）=2a﹣1，∵a≥1，∴2a﹣1≥1，即h（x）≥1恒成立…..19.（22分，理科做文科不做）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求四棱锥P－ABCD的体积V；高&考%资(源#网wxc（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（3）求证CE∥平面PAB．参考答案：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．……………2分则V＝．………………4分（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．…7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．

………8分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM、CM，则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．

………11分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

………13分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

………22分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．

……11分∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．

………22分

20.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点，点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆，双曲线与椭圆有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程．

参考答案：解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为，从而有解得

故椭圆C的方程为

(2)椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，圆心为(0,5)，半径为r＝3.∴＝3?a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为－＝1.

21.已知函数，其中，e是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调减区间；参考答案：(1).(2)见解析.【分析】（1）由时，可得，求得和，利用直线的点斜式方程，即可求解.（2）由函数，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，当时，可得，所以.又由，所以，即切线斜率为，所以切线方程为，即.（2）由函数，则，当时，，函数单调递增，所以无单调减区间；当即时，列表如下：-2+0-0+极大值极小值

所以的单调减区间是.当即时，，列表如下：-2+0-0+极大值极小值

所以的单调减区间是.综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．参考答案：【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD