材料力学课件：第6章 简单的超静定问题2

第六章简单的超静定问题一、超静定问题概述二、拉压超静定问题三、扭转超静定问题四、简单超静定梁§6-1超静定问题概述(b)

图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程──一次超静定问题。(b)

图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程──一次超静定问题。FAFBl(a)FAxABqq(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA

超静定问题：若未知力的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题为超静定问题或静不定问题。相应结构称超静定结构或静不定结构。多余约束：在结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。对应的约束力称多余约束反力。

由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上应用非常广泛。超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多余约束数。

解超静定问题的基本思路基本静定系(primarystaticallydeterminatesystem)解除“多余”约束(例如杆3与接点A的连接)例1在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件[关键步骤]相当系统(equivalentsystem)12BCAFFN3FN3AD于是可求出多余未知力FN3。

由位移相容条件

，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：12BCAFFN3FN3AD基本静定系统ABl补充方程为于是可求出多余未知力FC。FC位移相容条件ΔCq+ΔCFc=0相当系统ABl/2ql例2超静定梁yxl/2l/2CABq

注意事项(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。

(3)

无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。

如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq§6-2拉压超静定问题Ⅰ.拉压超静定基本问题拉压变形时的胡克定律

综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力学平衡条件求解拉压超静定问题。

求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。例题6-11.

有两个未知约束力FA

,FB（图a），但只有一个独立的平衡方程

FA＋FB－F=0故为一次静不定问题。例题6-12.取固定端B为“多余”约束，FB为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为DB＝0，利用叠加法得DBF+DBB=0，参见图c，d

。例题6-13.利用胡克定律后可得补充方程为由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。例题6-1得

FA=F-Fa/l=Fb/l。4.

由平衡方程

FA+FB-F=0例题6-15.利用相当系统（图b）求得DC。拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为DlAC+DlBC＝0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB＝0代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以DBB＝FBl/EA，而不用DBB＝FB(l+DBF)/EA'

，A'为在F力作用下变形后横截面的面积。例题6-1

求图a所示结构中1,2,3杆的内力FN1,FN2,FN3。AB杆为刚性杆，1,2,3杆的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a例题6-21.

共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题6-2解：2.取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本静定系如图c。CF3(c)AB例题6-23.

由变形图（图d）可得变形相容条件为FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC1(2)(1)例题6-24.

利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程：解得

FN1=2FN3,(3)

FN2=2FN1=4FN3(4)例题6-2FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC15.AB杆受力如图b所示，ΣMA=0得联立求解得FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题6-2II.装配应力和温度应力(1)装配应力

超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力──装配内力，以及相应的装配应力。

图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点A'

处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A'

处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。(a)求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为(拉力）(a)

至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。

由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为

两根相同的钢杆1、

2，其长度l=200mm，直径d=10mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200.11mm，亦即De=0.11mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20mm×30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。例题6-31.

装配后有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：(d)所以这仍然是一次静不定问题。例题6-3解：2.变形相容条件(图c)为这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。例题6-33.利用胡克定律由(2)式得补充方程例题6-34.联立求解(1)和(3)式得

所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。例题6-35.各杆横截面上的装配应力如下：（拉应力）（压应力）例题6-3求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。例题6-3(2)温度应力

也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。

两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高Dt时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。例题6-41.

若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。(b)例题6-4解：2.以刚性支撑B为“多余”约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt，由“多余”未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c、d所示。(c)(d)例题6-43.

变形相容条件是杆的总长度保持不变，即(c)(d)例题6-44.将(2)式代入(1)，得(2)补充方程为(3)(c)(d)例题6-45.由(3)式解得(c)(d)例题6-46.

杆的横截面上的温度应力为(c)(d)例题6-4

若该杆为钢杆。l

=1.2×10-5/(˚C)，E=21