《椭圆》- 完整版课件

椭圆直线与椭圆的位置关系及判定位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法（利用判别式Δ）相交__个___解Δ___0相切__个___解Δ___0相离__个___解Δ___0210两一无＞=＜1.能否像判断直线和圆的位置关系那样，利用椭圆的中心到直线的距离判断直线和椭圆的位置关系？提示:不能.因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不全相等.2.如果直线把椭圆分成面积相等的两部分，则直线一定经过椭圆的_______.【解析】由椭圆为中心对称图形可知，直线一定过椭圆的中心.答案：中心3.直线和椭圆x2+4y2=20的交点坐标是______.【解析】由得x2+2x-8=0，解得x=2或x=-4，将其分别代入直线方程得交点坐标为（2,2）和（-4，-1）.答案：（2,2）和（-4，-1）直线与椭圆的位置关系及判定方法的理解(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件.(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ,根据Δ>0，Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.直线与椭圆位置关系的判定【技法点拨】判断直线与椭圆位置关系的步骤 算判断消去一个未知数，得到关于x(或y)的一元二次方程，并计算判别式Δ的值.联联立椭圆与直线方程组成方程组.【典例训练】1.直线与椭圆x2+4y2=2的位置关系是_______.2.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，求m的取值范围．【解析】1.联立方程组得消去y,整理得5x2-4x-1=0（﹟），Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0，即方程（﹟）有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交.答案：相交2.方法一：由消去y，整理得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.又∵椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5.方法二：∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m＜5.【想一想】（1）解决直线和椭圆位置关系的问题中联立方程组消元时有何运算技巧？（2）求解2题m的范围时容易出现什么错误？提示：（1）判断直线和椭圆的位置关系时，联立直线方程和椭圆方程组成的方程组消元是必有的步骤，在运算时先将椭圆的方程化成整式形式（即各项都是整式），再代入消元，会使运算变得简捷不易出错.（2）求解第2题m的范围时，容易忽略椭圆方程对m范围的限制而得出m≥1的错误结论.【变式训练】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆的位置关系．【解析】联立方程组得将①代入②得整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0,③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即或时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即或时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．弦长问题【技法点拨】直线和椭圆相交所得弦长的两种求法方法一：求出直线和椭圆的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长；方法二：利用弦长公式设直线方程为y=kx+m，椭圆方程为或直线与椭圆的两个交点为A（x1,y1）,B(x2,y2),则或其中k表示弦所在直线的斜率，x1,x2,y1,y2表示弦的端点坐标，由根与系数的关系求得x1+x2,x1x2与y1+y2,y1y2的值.【典例训练】1.椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为_______.2.（2011·四川高考改编）椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|时，求直线l的方程.【解析】1.椭圆右焦点坐标为过右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆的两交点为所以所求的弦长为1.答案：12.解题流程：求方程设点由已知可得椭圆方程为设C(x1,y1),D(x2,y2)斜率不存在当直线斜率不存在时，直线与椭圆相交所得的弦长为不成立.斜率存在设l的方程为y-1=k(x-0),k为l的的斜率，由弦长公式得即联立方程弦长公式求斜率结论将①②代入整理得k2=2,所以或l的方程为或【互动探究】在2题条件不变的情况下，试求△ACD的面积.【解题指南】先根据弦长公式求出直线l的方程，再利用点到直线的距离公式求出已知顶点A到直线的距离，即得到CD边上的高，进而求出△ACD的面积.【解析】由2题的解析知,l的方程为或当直线方程为即时，点A(-1，0)到直线的距离为当直线方程为即时，点A(-1，0)到直线的距离为【思考】第1题能用弦长公式求解吗？弦长公式适用于哪些情形?提示：（1）第1题不能用弦长公式求弦长，过右焦点与x轴垂直的直线的斜率不存在.（2）当直线和椭圆相交且直线的斜率存在时，才能用弦长公式求弦长；当直线斜率不存在时，弦长用|y1-y2|来计算.中点弦问题【技法点拨】解决椭圆中点弦问题的两种方法（1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A（x1,y1),B(x2,y2)是椭圆（a>b>0）上的两个不同的点，M（x0,y0）是线段AB的中点，则由①-②，得变形得即【典例训练】1.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程为()（A）x-2y=0（B）x+2y-4=0（C）2x+3y-12=0（D）x+2y-8=02.已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点横坐标为求此椭圆的方程.【解析】1.选D.椭圆方程可化为9x2+36y2=324.设弦两端点为A(x1,y1），B（x2,y2)，由题得由作差得，将代入上式，得即所以弦所在的直线方程为即x+2y-8=0.2.设所求椭圆的方程为弦两端点为(x1，y1),(x2,y2),c2=a2-b2=50①由及y=3x-2得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0,由已知即所以a2=3b2②由①②得a2=75,b2=25,所以椭圆的方程为【归纳】在解决与弦中点有关的问题时运用的运算方法.提示:利用根与系数的关系或点差法解决与弦有关的问题时，都是将弦端点的坐标设出来，把这些坐标用整体代入的方法表示出直线的斜率或中点坐标，而不把端点坐标求出来，在运算时要运用这些设而不求、整体代换的技巧.【变式训练】已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0<m<n)，弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得由可得(m+n)x2+2nx+n-1=0，x1+x2=

即n=2m①

即②由①②解得所以椭圆的方程为即

椭圆中的最值问题【技法点拨】解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种（1）利用定义转化为几何问题处理;（2）利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;（3）利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.【典例训练】1.设x,y满足的最大值为_______.2.若P（x,y）满足求的最大值和最小值．【解析】1.由题知