高考数学(理数)一轮复习教案：14.2《直接证明与间接证明》(含解析)

14.2直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.【证明】因为a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＋eq\f(a＋b,ab)＝1＋eq\f(b,a)＋1＋eq\f(a,b)＋eq\f(a＋b,ab)≥2＋＋eq\f(a＋b,(\f(a＋b,2))2)＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式，有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.【证明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，故要证I2＜4S，只需证a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I2＜4S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a＞0，求证：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.【证明】要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只要证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).因为a＞0，故只要证(eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2)2≥(a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2))2，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)(a＋eq\f(1,a))＋2，从而只要证2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)(a＋eq\f(1,a))，只要证4(a2＋eq\f(1,a2))≥2(a2＋2＋eq\f(1,a2))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】若x，y都是正实数，且x＋y＞2.求证：eq\f(1＋x,y)＜2或eq\f(1＋y,x)＜2中至少有一个成立.【证明】假设eq\f(1＋x,y)＜2和eq\f(1＋y,x)＜2都不成立.则eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2同时成立.因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2相矛盾.因此eq\f(1＋x,y)＜2与eq\f(1＋y,x)＜2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)；由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞eq\f(1,3)；由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.以上三部分取交集得M＝{a|－eq\f(3,2)＜a＜－1}，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为∁RM，即{a|a≤－eq\f(3,2)或a≥－1}.总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p⇒q”与逆否命题“q⇒p”是等价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的