(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第5讲《数列通项公式与前n项和》（解析版）

第5讲数列通项公式与前n项和高考预测一：等差等比公式法求和1．已知等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则由已知可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．（Ⅱ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，从而SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，从而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．综上，对任何正整数SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0．故不存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．2．记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）根据题意，等差数列SKIPIF1<0中，设其公差为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式成立，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，综合可得：SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考预测二：裂项相消求和3．已知各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0＝______，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．【解析】解：（Ⅰ）设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍负），代入①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（Ⅱ）选择①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．选择②：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；选择③：由（Ⅰ）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．4．SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求整数SKIPIF1<0值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为常数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为整数，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）．当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为4，公差为3的等差数列．SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．已知数列SKIPIF1<0为各项非零的等差数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】解：SKIPIF1<0由题设可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由（Ⅰ）可得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0．7．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为首项、公比均为2的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：由（1）可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也适合上式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考预测三：错位相减求和8．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为实数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值和SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．【解析】解：（Ⅰ）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为实数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以数列的通项公式为：SKIPIF1<0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，则SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．9．设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．（2）由题意知：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．10．设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）当SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）由题设知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0．高考预测四：分组求和11．已知等差数列SKIPIF1<0前10项的和是120，前20项的和是440．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）若等比数列SKIPIF1<0的第2项和第5项分别是6和162，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．【解析】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题设条件知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题设条件知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0（1）求证：数列SKIPIF1<0为等比数列：（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以1为首项，以2为公比的等比数列．SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<