(新高考)高考数学二轮复习分层练习02《三角恒等变换与解三角形》（解析版）

解密02三角恒等变换与解三角形A组考点专练一、选择题1．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α等于()A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)【答案】B【解析】∵sinα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9).2．tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°tan50°的值为()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)【答案】D【解析】因为tan120°＝eq\f(tan70°＋tan50°,1－tan70°tan50°)＝－eq\r(3)，即tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°tan50°＝－eq\r(3).3.已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【答案】C【解析】由α，β为锐角，则－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，由sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，得cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，又sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(\r(2),2).所以β＝eq\f(π,4).4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝eq\r(7)，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，则△ABC的周长为()A．1＋eq\r(7) B．2＋eq\r(7)C．4＋eq\r(7) D．5＋eq\r(7)【答案】D【解析】在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，则sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3)，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\f(3\r(3),2)，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq\r(7).5.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是()A.sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为eq\f(8\r(7),7)【答案】ACD【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16x2＋25x2－36x2,2·4x·5x)＝eq\f(1,8)>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25x2＋36x2－16x2,2·5x·6x)＝eq\f(3,4)，则cos2A＝2cos2A－1＝2×eq\f(9,16)－1＝eq\f(1,8)＝cosC.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.若c＝6，则2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,\r(1－\f(1,64)))＝eq\f(16\r(7),7)(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为eq\f(8\r(7),7)，D正确.故选ACD.二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2,3)，则sin2α的值是________.【答案】eq\f(1,3)【解析】因为sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq\f(2,3)，即eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(2,3)，所以sin2α＝eq\f(1,3).7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为________.【答案】6eq\r(3)【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×eq\f(1,2)，∴c＝2eq\r(3)，c＝－2eq\r(3)(舍去)，∴a＝4eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝eq\r(3)，则b＝________.【答案】eq\f(π,3)eq\r(13)【解析】因为bcosC与ccosB的等差中项为acosB，所以2acosB＝bcosB＋ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sinAcosB＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝eq\f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).因为△ABC的面积S＝eq\r(3)，所以eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(（a＋c）2－3ac)＝eq\r(25－12)＝eq\r(13).三、解答题9.在①cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝eq\f(1,8)三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选①.∵cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，∴sinA＝eq\f(4,5)，sinC＝eq\f(\r(5),5)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).由正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3×\f(11\r(5),25),\f(4,5))＝eq\f(33\r(5),20)，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(33\r(5),20)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(99,40).选②.∵csinC＝sinA＋bsinB，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵a＝3，∴b2＝c2－3.又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×eq\f(1,2)＝c2－3，∴c＝4，∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝3eq\r(3).选③.∵c＝2，cosA＝eq\f(1,8)，∴结合余弦定理，得eq\f(1,8)＝eq\f(b2＋22－32,2×b×2)，即b2－eq\f(b,2)－5＝0，解得b＝eq\f(5,2)或b＝－2(舍去).又∵sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(3\r(7),8)，∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×2×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),16).10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－eq\f(1,2).因为0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).(2)由正弦定理及(1)得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝2eq\r(3)，从而AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sin(π－A－B)＝3cosB－eq\r(3)sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3))).又0<B<eq\f(π,3)，所以当B＝eq\f(π,6)时，△ABC周长取得最大值3＋2eq\r(3).B组专题综合练11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝eq\r(7)，则cos∠ADB的值为()A.－eq\f(\r(21),7) B.eq\f(\r(21),7) C.eq\f(2\r(7),7) D.±eq\f(\r(21),7)【答案】B【解析】法一如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以eq\f(CD,BD)＝eq\f(S△CAD,S△DAB)＝eq\f(\f(1,2)b·AD·sin30°,\f(1,2)AD·csin30°)＝eq\f(b,c)＝3.因为BD＝eq\r(7)，所以CD＝3eq\r(7)，所以a＝CB＝4eq\r(7).因为a2＝b2＋c2－2bccos∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·eq\f(1,2)，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理，知eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(c,sin∠ADB)，即eq\f(\r(7),\f(1,2))＝eq\f(4,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(2,\r(7)).因为b＝3c>c，所以B>C.因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝eq\r(1－sin2∠ADB)＝eq\r(1－\f(4,7))＝eq\r(\f(3,7))＝eq\f(\r(21),7).故选B.法二因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以eq\f(CD,BD)＝eq\f(S△CAD,S△DAB)＝eq\f(\f(1,2)b·AD·sin30°,\f(1,2)AD·csin30°)＝eq\f(b,c)＝3.因为BD＝eq\r(7)，所以CD＝3eq\r(7)，所以a＝CB＝4eq\r(7).因为a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·eq\f(1,2)，解得c＝4.由余弦定理，得cos∠BAD＝eq\f(AD2＋c2－BD2,2AD·c)，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(AD2＋16－7,8AD)，所以AD2－4eq\r(3)AD＋9＝0，所以(AD－eq\r(3))(AD－3eq\r(3))＝0.所以AD＝3eq\r(3)或AD＝eq\r(3).因为b＝3c>c，所以B>C.又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝eq\r(7)，所以AD＝3eq\r(3)，所以cos∠ADB＝eq\f(DA2＋DB2－AB2,2DA·DB)＝eq\f(27＋7－16,2×3\r(3)×\r(7))＝eq\f(\r(21),7).故选B.12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值.【解析】(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5).在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5).(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC为钝角.而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，则tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2).因为cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4).从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11).13．已知向量a＝(eq\r(2)sin2x，eq\r(2)cos2x)，b＝(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|θ|<\f(π,2)))，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝eq\r(2)，且b＝5，c＝2eq\r(3)，求△ABC外接圆的面积．【解析】(1)f(x)＝a·b＝eq\r(2)sin2xcosθ＋eq\r(2)cos2xsinθ＝eq\r(2)sin(2x＋θ)，∵函数f(x)