概率论与数理统计试卷(计算)

题目部分，(卷面共有100,845.0分,各大题标有题量和总分)一、计算(43小题共354.0分)0x0x0(8分)[1]设随机变量的分布函数为Fx1e2xP{2(2)计算P{3<4}a,a}=p{<a}(3)求使得(1)计算(8分)[2]从1，0，1，2中随机地取出两个数字，设所取两个数字之和为，求随机变量x}的分布律和分布函数(13分)[3],的分布函数和概率密度。(5分)[4]在区间a]，上任意投掷一个质点，用表示这个质点的坐标。设这个质点落在a](a>0)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求的分布函数，0.80.73，每人投篮次，求两人进球(10分)[5]甲、乙两篮球运动员，投篮命中率分别为和相等的概率。(6分)[6]一袋中有3只白球，2只黑球，3只红球，在其中任取2只球，以表示取到白球的只数，以表示取到黑球的只数，求及(3分)[7]设随机变量服从(01)分布，其分布律为P(=1)=pP(=0)=q，(0<p<1，p+q=1)求，D()。(12分)[8]设系统L是由两个相互独立的子系统和以串联方式联接而成，与的寿L1LL1L22命分别为与，其概率密度分别为e00ey00xxxyxy1020y其中>0>0，试求系统L的寿命的概率密度。(10分)[9]设二维连续型随机变量(,)的联合概率密度为y0,0Ae(23y)xx(,)xy0x0,y0试求(1)系数A的值，(2)(,)落在三角形区域D={(x,y)|x0,2x+3y6}的概率，(3)(,)的联合分布函数。1x2y21(10分)[10]设随机变量(,)的联合概率密度,xye2a2b22abx22y22(<x<+,<y<+)，求(,)取值于椭圆k内的概率。2ab(其中常数k>0，a>0，b>0)xy0x1,0y1(8分)[11]已知随机变量(,)的联合概率密度是(,)xy0其它试求(,)的联合分布函数。1(16分)[12]设二维随机变量(，)相互独立，且它们的概率密度均为,求x11x2=+的概率密度。(6分)[13]将15名新生平均分配到三个班级中去，新生中有三名是优秀生，问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？(4分)[14]一口袋装有10只球，其中6只是红球，4只是白球，今随机地从中同时取出2只球，试求取到二只球颜色相同的概率。(5分)[15]袋中装有5个白球，3个黑球，4个红球，从中一次取出三个球，问三个球是同色球的概率。(3分)[16]从1，，„，30这30个数中随机地选取10个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。(4分)[17]抛掷两枚分币，观察出现正面(国徽向上)及反面的情形，记录如下：出现次数306629求下列事件的频率：(1)事件，有正面出现(2)事件，不出现反面(4分)[18]从一付扑克的13张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取3(15分)[19]因子A取3水平，B也取3水平，按双因素进行试验，重复数为3，得结果是：因子A间的平方和为57.65，因子B间的平方和为18431.75，交互作用B对应的平方和为9714.6130494.46(对A及B用=0.05，对B用=0.01)(又已知(2，18)=3.55，F(2，18)=6.01及F(4，18)=2.90)F0.950.990.95(15分)[20]在某化工产品的生产中，为提高收率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验，试验结果(数据均已减去75)为下表：浓度135，111314121314，10，，经计算得=147.8333，=44.3333，=11.5000，s=27.0000，sssTABAB=65.0000，在显著性水平=0.05下检验不同浓度，温度以及它们的交互作用对收率有无sE显著影响。(2，12)=3.89，(3，12)=3.49，F(6，12)=3.00FF0.950.950.95e,0xx(4分)[21]设的密度函数为：x，求=2的密度函数。0,x0(4分)[22]设公共汽车到达某车站的时刻服从10点到10点之间的均匀分布，现有乘客10点钟到达这个车站，求他等车时间至少要钟的概率。(4分)[23]设随机变量的分布律为0122321523315141p11202010求随机变量的分布律。121,0x1x(6分)[24]设随机变量的概率密度为=4+10,其它1ax(15分)[25]设随机变量服从柯西分布其概率密度为概率密度，其中n为一正整数。的(a0)na2x2=3，=2，=3，=2，E()=5，(10分)[26]设求u=3+35Eu(1)的2v=323Ev，Dv(2)的(15分)[27]试由下列数据XY2.912.490.010.021.920.051.491.050.670.10.20.50.0020.005求回归曲线YX(10分)[28]随机变量互相独立,且服从在区间[0,a]上的均匀分布,.求,}.(),(8分)[29]某装置的平均工作温度据制造厂讲是190℃，今从一个由16台装置构成的随机样本得出的工作温度平均值和标准差分别为195℃和8℃。这些数据是否提供了充分证据，说明平均工作温度比制造厂讲的要高？取=0.05，可以假定工作温度服从正态分布。(已知(15)=1.7531)t0.95(1)01,1xx(8分)[30]设总体的密度为:f(x)的极大似比估计.0其它(5分)[31]设总体X~N(,0.09)现获得6个观察值:15.1,15.2,14.8,14.9,15.1,14.6求总体均值的98%的置信区间.(注：u2.33,1.96,2.57,1.64).uuu0x0x0(7分)[32]设母体X服从分布)，其密度函数为(x)求,的估计量.1xxex1(1)(6分)[33]设,是来自正态总体N(，22)的简单随机样本，为样本均值。求XX,,XX12nn使的方差E(Xu)0.1X2(10分)[34]设随机变量，的联合密度函数为11xy2xy12,xy40其它求：，的协方差及相关系数。(8分)[35]已知随机变量、相互独立，且其分布律为101101~~试求的分布律，并计算和D。22(10分)[36]进行5次独立射击，如果第i次射击击中目标的概率为=0.2+(i1)0.1，求击中pi次数的数学期望。(15分)[37]某厂生产一批产品，质量检查规定：次品率p0.05，则这批产品可以出厂，否则40032(1)在显著性水平=0.02下，这批产品能否出厂？(2)在其它条件不变时，若抽查100件产品，发现有8件是次品，该批产品能否出厂？(=2.05)u0.98(8分)[38]从甲、乙两店买了同样重量的豆，在甲店买了10次，计算得116.1颗，x14422825，在乙店买了13次，计算得y118颗，s，若假定从两个店买的豆的s2229121的颗粒均服从正态分布，且方差相等。如果=0.01，问是否可以认为甲、乙两店的豆是同一类型(同一类型的豆的平均颗粒应该相等)？((21)=2.8314，t(21)=1.7207)t0.9950.01(10分)[39]设总体X服从参数>0)的指数分布,求的极大似然估计量。(5分)[40](1)设总体X服从区间[a,8]上的均匀分布，求a的矩估计量.(2)设总体X服从区间[3,b]上的均匀分布，求b的矩估计量.(3分)[41]设总体服从0布(p(=1)=p，p(=0)=1p)试求样本(,,)均值的期望12n与方差。ED(12分)[42]设总体X~P()，,,,(1)样本的联合分布，(2)DX,XXX12n12n和()(其中Es)XX2s2n1ii1(6分)[43]岩石密度的测量误差服从N(0,到,求的90%的置信区间.),其中均方差0.2是由容量为12的子样估计得0.22(注:(11)19.68,(11)4.575,(12)21.03,(12)5.23)2222二、证明(18小题共131.0分)N(,，试证。服从(8分)[1]若随机变量服从2为偶函数，试证：对任意，分布函数有(8分)[2]设随机变量的概率密度1axdx成立。F(a)20F(x)=p{，(10分)[3]随机变量的分布函数试验证0xA1xA其中A>0)FxAxAxA2A1是否为某个随机变量的分布函数？且判断该随机变量是否为连续型？a>0，b>0，a+b=1，(13分)[4]设和都是一元分布函数，且试证F(x)1F(x)2F(x)(x)(x)也是一元分布函数。121x,y(8分)[5]设(，)的概率密度为12x2y2x,y证明D，D不存在。bxycy2)a,b,c,k，满足(13分)[6]试证(,)xyke(ax221，22，b-0acb。k(5分)[7]有100张票，其中有戏票30张，甲，乙两人先后在其中各抽一张，试证明：抽得戏票的概率和抽票先后次序无关。(3分)[8]若AB=(空集)，试证明AB(8分)[9]设、<1，试证：对于两个互不相容的事件，，恒有PABCP(AC)P(BC)A,B,CABC与独立。(6分)[10]设(6分设三事件相互独立，求证A,BPA、>0，若A,B相互独立，求证：、为两事件，且(3分)[12]设F事件域，证明：不可能事件F(10分)[13]试证对任意n个随机事件A,A,,A12n有：(PAAA()()(PA)PAPA12n12n(4分)[14]设事件AB的发生必引起事件C的发生，试证PA、+PB、PC、1.(4分)[15]设两随机变量X,Y有线性相关关系，且知Y对X的回归方程为，XYabX11对Y的回归方程为，r是X与Y的相关系数，试证明bYr2bbXa2212ˆˆ2(6分)[16]设是参数的无偏估计且有，问是否为的无偏估计？证明你的D)0)2论断。1n(6分)[17]设是母体X~N(a,)的简单子样,用作)2X,X,,Xˆ(22XX212nn1ii122的估计量可得(即已知)ˆ,试证明ˆ是的一致估计量,其中a,均存在.D2222n1(10分)[18]设总体X服从区间[a,b]上的均匀分布，为一随机样本，证明：x,x,,x12nˆbmax{x,x,,x}是参数b的一致估计.12n三、应用(38小题共355.0分)N(,)=160(小时)，若要求P{120<<200}0.8，问允(8分)[1]某电子元件寿命服从,2许的值最大为多少？已知标准正态分布函数x()的值：F0,1F(,F,F(F(,0.10.10.10.1F(0.140(10分)[2]轰炸机向敌方铁路投弹三枚，如果有一炸弹投在距铁路米内，铁路将被炸断，用某种投弹机瞄准，弹着点与铁路的距离的概率密度(100x)10000100x0x(100)100000100xx0其它若三枚炸弹的投掷相互独立，求铁路被炸断的概率。GxGy中任取一点，该点到轴(12分)[3]设为曲线与轴所围成平面区域，在y4x-x2，的距离为求的分布函数。52(8分)[4]一批子弹，任意抽取发试射，如果没有一颗子弹落在离开靶心米以外，则整批子弹将被接收，设弹着点与靶心的距离的分布函数为0r021erFrP{}r03r1e913r问该批子弹被接收的概率是多少？(7分)[5]若袋中有三件产品，其中一件是次品，二件是正品，从中任取一件，取后不放回袋中，再任取一件，设每次抽取时，各产品被取到的可能性相等，以,分别表示第一次和第二次取到的正品数，求(,)的联合分布列和联合分布函数F(x,y)=P{x,y}。(14分)[6]设随机变量和分别表示第一列和第二列火车到达车站时刻，已知(,)10x,0y的联合概率密度为(,)xy0其它(1)计算出(,)的联合分布函数，和关于及关于的边缘分布函数，(2)判断与是否相互独立？(10分)[7]在10件品中有2件一级品，7件二级品和110件产品中无放回地抽取3件，用表示其中的一级品数，表示其中的二级品数，求：(1)(,)的联合分布律(2)关于及关于的边缘分布律。(8分)[8]甲，乙二人独立地投篮，已知甲投中的概率为=0.8，乙投中的概率为=0.5，pp12现两人各投三次，求两人投中次数相等的概率。0.2520(4分)[9]设某运动员每次射击时命中率为次射击中至少击中一次的概率是多少？(15分)[10]任意取两个不超过2的正数，记事件E为：两正数的乘积介于1与2之间，求事件E的概率。(8分)[11]设ab是半径为R的圆的一直径，在ab上随机地选一点，过M作垂直于ab的直线，此直线与圆相交得一弦，以A表示事件“所得弦之长超过圆内接等边三角形的边长”求PAaMob(10分)[12]甲，乙两人由甲开始轮流独立射击某目标，先射中者获胜，甲每次射击命中概率(0<p<10<q<1)为p，乙每次射击命中概率为q，求甲获胜的概率。，0.40.5、(4分)[13]对同一目标进行三次独立射击，第一、二、三次射击的命中概率分别为、0.7，试求在这三次射击中恰好有一次击中目标的概率。(4分)[14]在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，两台车床工作状态是相互独立的。第一台车床制造了三个零件，第二台制0.8，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于造了二个零件，求所有零件均为一级品的概率。3030()份试卷任意分发给他们每人一份，(15分)[15]某班有学生人，现把他们一次测验的求至少有一个学生能拿到自己的卷子的概率。ba(15分)[16]设罐中有只黑球，只红球，随机地从罐中取出一个，然后将取出的球放回并cn再放入与它同色的球只,如将上述手续进行-次nnnn121出现红球的概率(12分)[17]空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机概率为0.2，若乙机未被击落就回击，击落甲机的概率为合中0.3，若甲机未被击落，再回击乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这个回(1)甲机被击落的概率(2)乙机被击落的概率(5分)[18]一系统L由元件与备用元件并联而成，，损坏时，L1LL1LL122立即开始工作，设和的寿命(以小时计)分别为和，其概率密度均为LL1L22xx0x0xe>00求系统L的寿命的数学期望。95%()(10分)[19]一项血液化验有的呈阳性，如果这种疾病的患者仅占人口的，若某人化验的的把握将患有某种疾病的人鉴别出来是阳性验用于健康人也会有结果呈阳性，问此人确实患有这种疾病的概率是多少？(10分)[20]不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为90%，第二个品种的种子发芽率为96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求(1)从中任取一粒种子，它能发芽的概率；(2)如果取到的一粒种子能发芽，那未，它是第一个品种的概率是多少？(12分)[21]加工零件需要经过两道工序，第一道工序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概率为0.1，第一道工序加工出来的合格品，在第二道工序中出现合格品的概率为次品的概率为0.2，第一道工序加工出来的次品，在第二道工序中出现次品的概率为现废品的概率为0.4，求经过两道工序加工出来的零件是合格品，次品，废品的概率。(6分)[22]某种集成电路使用到2000小时不能正常工作的概率为0.06，使用到3000小时不能正常工作的概率为0.132000小时的集成电路能继续工作到3000小时的概率。(5分)[23]设某种动物活到20岁的概率为0.8,而活到25岁的概率为0.4,问现龄20岁的这种动物能活到25岁的概率为多少?(6分)[24]设有某产品40件，其中有10件次品，其余为正品，现从其中任取5件，求取出的5件产品中至少有4件次品概率.543(15分)[25]袋中有个白球，个黑球，个红球，每次任取一个，取后不放回，求连续取出若干个红球后，便取得白球的概率。(12分)[26]用显微定量法测定一种成药中的某成份的浓度x与镜检菌丝数目y如下表：x浓度mg/mly镜检数2.07604.141426.212038.2826910.34309(1)建立y对x的回归方程，(2)求=9mg/ml时的估计区间(置信度为95%)xy00(已知时，(3)3.18)t12(15分)[27]为提高合成氨的产量，考虑三个因素的不同水平对合成氨的产量是否有显著影响，所取因素与水平为。。反应温度C)：=460，=490，=520A1AA23B(反应压力(大气压))：=250，=270，=300B1BB23C(催化剂种类)：=甲，=乙，=丙。CCC123根据某种理论安排了9次试验，对试验结果经计算得：=0.08896，=0.02729，=0.01976，=0.00082ssssABCE试问：各因素的不同水平对合成氨产量的影响是否显著？取=0.01，(2，2)=91.01F0.99(20分)[28]我国乡镇企业总产值，从业劳动者，固定资产原值的数据如下：总)Y：从)L：固)K：试根据模型，估计参数,,，并计算残差平方和比较80,82,84KSrL2012012e年的实际值与拟合值。(4分)[29]设对圆的半径进行测量，测得近似值用表示，如果服从正态分布2N(a，>0)，求圆面积的近似值的数学期望(6分)[30]设产品的次品率为0.0008，用拉普拉斯极限定理求100000件产品中次品数不超过105个的概率(已知：(1)=0.8413，0,1(0.313)=0.6228，F(2.796)=0.9974，FF0,10,1(1.314)=0.9055)F0,1(8分)[31]一个零件的重量是随机变量，=10(克)，=1。试用中心极限定理求一盒EDiii同型号零件(100个)的重量大于1020克的概率的近似值(设各个零件的重量相互独立)(已知(2)=0.97725，(0.2)=05793，(20)=1)FFF0,10,10,1CbcD，(2分)[32]设事件分别表示开关闭合，表示灯亮，则可用事件C表示：(1)；(2)Da(8分)[33]工厂给可能的订货户发广告目录，试验表明收到广告目录的用户，订购广告上的产品的概率等于0.08，今工厂发出1000份崭新形式的目录，得到100个订户，问新形式的广告与原先的广告可以认为有显著不同吗？取=0.05，u=1.65。0.95(12分)[34]用农药六六六施入土中防治为害甘蔗的蛴螬，经三年后土壤中如有5ppm以上的浓度时，认为仍有残效。今在一大田施药随机取十个土样进行分析，其浓度(ppm)为：4.8，3.2，，，，，，，，，问六六六经三年后是否仍有残效=0.05)？假定残留浓度X服从正态分布，2)。(已知t0.05(9)=1.83)(12分)[35]设计规定，由自动机床生产的产品尺寸==35mm，随机取出20个产品，测量0结果如下：产品尺寸(单位：mm)：34.8，34.9，35.0，35.1，35.3xi频数(产品数量)：2，3，4，6，5fi问：产品尺寸合乎设计规定码？=0.05，假定产品尺寸服从正态分布。(已知t(19)=2.093)0.975(8分)[36]一种元件，要求其使用寿命不得低于1000(h)。现在从一批这种元件中随机地抽取25件，测得其寿命平均值为950(h)。已知这种元件服从标准差=100(h)的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。(已知u=1.645)0.95(10分)[37](1),(2)两种型号的电子管的寿命,随机抽取(1)型电子管10只,(2)型电子管20只,分别测得平均寿命为(小时),(小时),方差分别为x1x22,(小时),总体服从N(),N()且相互独立,求二总体均值差S21.102S21.202,2,21212的95%的置信区间.12(注:,ttt0.950.9750.95(5分)[38]某厂生产的灯泡使用时数X服从正态分布,随机抽取9个灯作试验,算得样本均值2(小时),样本方差S(小时),求总体均值的95%的置信区间.X22(注:,,)ttt0.9750.950.975四、判断(1小题共5.0分)ˆˆˆ(5分)[1]>0P|}0则称为是的一致估计量nnnn()====================答案====================答案部分，(卷面共有100,845.0分,各大题标有题量和总分)一、计算(43小题共354.0分)(8分)[1][答案](1)F(2)=e4(2)Fx()3P{a}=1FA、<a}=FA、(3)由ln2知-)1解得ae-2a2(8分)[2][答案](1)01232616161616P(2)0x1161x00x11x231Fx23523x61x3(13分)[3][答案]10xa,0ya解：,的联合概率密度为f(x,y)a20其它Gz}=P{+z}5当zaG(z)0,()0,z1当当0,G(z)(az)/,(z)(az)/azaa222211212z0<z，=Gz()[a(az)]1(1)222a2aaz()za2当a<z，()1,()0Gzz0zaaz01z(1)22a故()Gz1z1(1)0za22a1az1(az)az0a21()()0azazza20其它(5分)[4][答案]x}=cx0x00xaxFxa1xa(10分)[5][答案]=0.8，不中概率=0.2甲投篮命中概率ppq111乙投篮命中概率=0.7，不中概率=0.3q1n=3n=3甲在乙在次中m次概率()PmCpqmm3m3311次中m次概率()PmCpqmm3m3322P=则PPP3PPPPP33333330.20.330.80.230.70.333220.363333223(6分)[6][答案]的分布列为012p10281528328101528334E0122828的分布列为012p1528152812815281228112E01228(3分)[7][答案]=0q+1p=pD()()()EEEp22p)qp)p(pq)22或=0q+1p=p01pE22q2pD()()EEpp)pp222(12分)[8][答案]min,z1F(z)PzPmin,Pmin,yz1Pz,z1PzPz111PzP1zFzFz11120z1ezeF(z)1xz0z0ez001F(z)0z2ze()zzz001F(z)0ez0z()z0z0(10分)[9][答案](x,y)Ae(2x3y)(1)由1=001=，故A=6A662x-6=17e(2)P{(,)D}=336e(2x3y)00e2e3x)0,y06e(23xyxy)xy(3)F(x,y)=0000,0xy(10分)[10][答案]设P为所求概率1x2y21P(x,y)dxdye2a2b2dxdy2ab22222222xyxyk2k2abab(,)xy令x=arcos，则J==abr(,)r111e2abrdrd22r2k2k1eP2ab00(8分)[11][答案]0x0或y01xy(xy)0x1,0y10x1,y121F(x,y)x(x1)21y(y1)x1,0x1x1,y121(16分)[12][答案]zxzx1211dx1zx1x222xz2xzz141xz1()22zz2x2212xz][ln1xzarctgx1xz2zz(4)2224z(6分)[13][答案]A表事件“每一个班级各分配到一名优秀生”15!基本事件总数rCCC5555!5!5!151053!12!444!A所包含的基本件数rCCCCCC1341241412814r2591P(A)n(4分)[14][答案]A表事件“取到的二只球颜色相同”基本事件总数n=C=452B表事件取到的二只球都是白球"C表事件取到的二只球都是红球"rrrCC2122ABC46r217PA、=An4515(5分)[15][答案]A表事件“任取三个球是同色的”基本事件总数n=C=21110=2203A所包含的基本事数=10+1+4=1534rCCC3353r3PA、=n44(3分)[16][答案]A表事件“所取的数都是偶数”基本事件总数为C1030A所包含事件数为C10151PA、=10005(4分)[17][答案]试验总数n=30+66+29=125.n3066fA0.768An12530nfB0.24Bn125(4分)[18][答案]A表示事件“没有同号”基本事件总数133A所包含事件数131211131211132PA、=0.781131693(15分)[19][答案]解：、B的自由度为r1=31=2，s1=31=2B的自由度为(r1)(s1)=4误差的自由度为rs(t1)=33(31)=18SE=57.65，S=18431.75，=9714.61SSABAB=2290.45SS-S-S-SETAAABS2S2BSS4FFFAABSASBABEEE=0.226<=72.42>(2，18)=3.35，认为因素A的水平间无差异FFFFFA0.950.99(2，18)=6.01，认为因素B的水平间有显著差异。(4，18)=2.90，认为交互作用显著。B=19.08>FAB0.95(15分)[20][答案]列出方差分析表方差来源F值A44.333311.500027.000065.0000147.8333B误差总和<11223查表得(2，12)=3.89，(3，12)=3.49F1F1(6，12)=3.00F1有>(2，12)，<FB(3，12)FF1F1A<(6，12)FF1AB所以只有因素浓度)影响是显著，即浓度不同对产品的收率有显著影响，而温度及浓度与温度的交互作用的影响都不显著。(4分)[21][答案]yy2ytdt2edttF(y)=P{y}=P{2y}P2012yyy0e2y0y0(4分)[22][答案]该公共汽车到达车站的时刻是10点钟后分，则的密度为：10xx0其它x则P1301020302330dx303010(4分)[23][答案]35取值2，，1，0，1，2，，22521取值3，，0，1，0，3，，44的分布律为：4033147p115202020(6分)[24][答案]1函数y=4x+1的反函数xh(y)(y1)4当x在[0，上变化时，y在[1，上变化。1()hy[()]1hy4141y5于是的概率密度为y0其它(15分)[25][答案]n1当n为奇数时，函数y=x的反函数xh(y)yn1a1,()hy1()hyynn2ya2na111于是的概率密度为nyy2nya2n11当n在(0)(0+)上的反函数分别为,对y>0，yxxynxynn1111a的分布函数为F(y)py}pyynn2yna2x20当y0时，F(y)021a11yny0y02n故的概率密度为(10分)[26][答案]()yFyyna20Eu=3E+]+3(2)5=3[3+]65=2523(1)(2)E()22Ev=3E3=9+43=10Dv=D(323)=D(32))+D(2)，212cov(，)=27+812[E()]-=3512(5+6)=23(15分)[27][答案]解：若作出散点图，这些点大致分布在一条指数曲线附近，故采用Y作二者的函数关X系，有lgYlgaXlgb(1)记则(1)式写成：ZABXZlgY,Alga,Blgb11N=8，XX(17.710)2.21375N811ZZ(12.00000)1.50000N8(X),22(XZ)1(,LX2Z)28.80257LXXNXZˆˆ=BL/=-0.73279,AZLXZXXˆ有回归直线ZX即Y为所求的指数曲线。X(10分)[28][答案](,):0xa,0ya上是均匀分布的,其联合与分布密度为1(x,y)D(x,yD2(,)xya0G(z)=P{}=1P{>z}=1P{>z,>z}=1P{>z}P{>z}zaz2=1za0a22(az)的密度函数q(z)={0za}2a当z<0或z<a.q(z)=02(az)1212aaa()=)azdzazz233333a2a2a200(8分)[29][答案]这问题即是在=0.05下，检验：==190；：>=190(2未知)HH0010x0ts8n由于t=2.5>1.7531=t(15)=t(n1)0.951故拒绝，即认为该装置的平均工作温度高于190℃。H0(8分)[30][答案]设子样为,,,,似然函数为:12nnnL(B)(1)(1)niii1i1nL()nii1nnL()1ii11n解之得的极大似然估计1[]1nii1(5分)[31][答案]10.98,2.330.01,10.99,n622u0.9916u,Xxi60.99ni1∴的98%的置信区间为：(14.950.285,14.950.285)=(14.665,15.235)(7分)[32][答案]由E(X)(1),D(X)2(1)可用子样均值及方差2作为母体均值E(X)及方差的估计量，即D(X)XSˆ(ˆXˆ(ˆS22S2/X解之得：X/S122(6分)[33][答案]4解：由定理知X~N,nE(X-)即0.124即0.1n40,n即n至少取为40的整数。(10分)[34][答案]142Exx,ydxdyx111xyxydxdy2111xxyxydxdy11222411=0(得用奇函数在对称区间上积分为0)同理=0cov(,)=E()=E()0142xyx,ydxdyxy1xyxydxdy112111414111111xydxdyxydxdy422411=0cov,0DD(因为,都不是常数，故D>0，D>0)(8分)[35][答案]0101；~解：的分布律为~,2222因相互独立，故的分布律为：012P0.490.420.09E=10.42+20.09=0.6(或EE)22D=E2(E)=10.42+40.090.36=0.42222(或==0.3(0.3)+0.3(0.3)=0.42)D2D2(10分)[36][答案]设表示第i次射击击中目标的次数，则服从0布：ii011pipipi,5E==0.2+(i1)0.1piiD=(1)=1，2，„，5ppiii5击中次数ii155EE12iii1i1bgp1p55555DDiDpip2iiiii1i1i1i1i1522i1i1i1=2(0.2+0.4+0.3)=1.1(15分)[37][答案](1)用X表示产品质量指标0产品为正品X1产品为次品于是X~B(1,p),即X服从0-1分布0第次抽得的产品为正品iXi1第次抽得的产品为次品i现在的问题是在=0.02,检验假设H:ppH:pp00101nnxxini1xpU0x1xnUUU查表0.981故拒绝,即认为这批产品次品率超过0.05,因而不能出厂H018n(2)nxxpxini1U0x1xnUUU1查表0.98故接受H,能出厂0(8分)[38][答案]问题是要检验假设：=0；：0；HH012112因为t但未知，用t检验，2122nnnn210.3169212222nnn1sn1s12112nn2tt1212故接受原假设，即认为甲、乙两店的豆是同一类型的。H0注假设用：；：；也对HH012112此时t=0.3169>1.7207=(tnn12仍然是接受原假设。H0(10分)[39][答案]nexp()01,2,,xxinnL()iii10其它x0时对求导：idL()nnnnexp(x)(ix)exp{ix}in1ndi1i1i1nn令exp{}(nx)0xn1iii1i11n1ˆn解得:,(x)XXninx1iii1(5分)[40][答案]a8(1)因为(2)因为得所以所以EX28ˆ28aXa23bˆ得bX32EX23b2(3分)[41][答案]解：=p，D=p(1p)11nnEEiEpnnii1i11p11pnnDiDDnn2ini1i1(12分)[42][答案]PXk解：总体分布列为0,1,2,ek则样本的联合分布列为kk!kkknn12PXk,Xk,,Xkek1,2,,i1,2,,n1122nnk!k!k!ni12，DX=，=，=，，2，，nDXEXii11nnEDXDXXninii1i111nnXDXnin2ini1i111nn22EXXEX221n1niii1i111nDXnEX2n2EXX22nDXnEXn1n1iiii11nnnn22n1n(6分)[43][答案]10.9,20.05,10.95,n1112(11)19.68(11)4.5752222,的90%的置信区间为;(0.149,0.31)二、证明(18小题共131.0分)(8分)[1][答案]y对任何实数，21(t)21SP{yP}y}yye2dsedt2222N(0,1)因而服从(8分)[2][答案](x)=(x)由于120xdxxdx于是0a>0对任意aFat00tdttdta1210axdxxdx2a0(10分)[3][答案](1)F(x)是单调不减的。(2)F(x)是右连续的。(3)01FxxFx(4)x故F(x)是某个随机变量的分布函数0xAxAx设12Ax显然Fxt故该随机变量是连续型随机变量。(13分)[4][答案](1)()F(x)b1F(x)02alimFxlimlimxxx(2)()F(x)b1()1aFxablimFxlimlim2xxx(3)由于(()右连续，是其线性函数仍是右连续的FxFx21，(4)任取一知()-()FxFx()-()0Fxxx1Fx211122122因为，b>0)F(x)-F(x)a[F(x)F(xb[F(x)-F(x01211222122即故F(x)是不减函数，F(x)也是一元分布函数。(8分)[5][答案]1xdxxdxdydy0E(1)(y1)x2y22x222同理E01D(EEExdxdy)()222(y1)x2221r3cosddr22(r1)2200rr1r()r20r21(r222r120故()不存在。D同理)也不存在。D(13分)[6][答案]b2ba必要性(x,y)ey2ax(y)2aacb2bedykedu(uxy)y2au2aaacb2ac<0c>0要积分收敛必须，021及，即ba12at由1edt，分别取及22)2a2(acb2a1k得：1xydxdy(,)22k2(acb)2aacb2acb2故得：k以上各步可逆推，充分性显然成立。(5分)[7][答案]30第一人抽得戏票的概率为=0.3P1100第二人抽得戏票的概率为30297030297099P20.31009910099330330330故抽得戏票的概率与抽票的先后次序无关(3分)[8][答案]任取x则由AB=知xB从而故得xBAB(8分)[9][答案]PACBCPACPBCPABCPABCPCPCPCPACPBC(6分)[10][答案]P[(AB)C]=P(ACBC)P(ABC)=PA、PC、、PC、PA、、PC、=PC、[PA、、P(AB)]=PC、P(AB)ABC故与独立(6分)[11][答案]A,BP(AB)=PA、PB、相互独立，故因由乘法公式：P(AB)=PA、P(B|A)得：PA、、=PA、P(B|A)PA、>0P(B|A)=PB、因故(3分)[12][答案]由F的定义中之(1),U=F又由定义中之(2),VUF(10分)[13][答案]因AAAAAAAAAAAAAAAAA12n1213124123n12n1而右边的n个事件A,AA,AAAAAAA是互斥的。121312n12n1故有P(AAA)P(A)P(AA)P(AAA)P(AAAA)12n121312n12n1P(A)P(A)P(A)12n(4分)[14][答案]由已知条件知PC、P(AB).(*)从而得1P(AB)=PA、+PB、P(AB)PA、+PB、PC、(4分)[15][答案]LLLL证：由于,,b2rxyb1xyxxxyyyLLxxLyyL2LLL故rbb2LLL12(6分)[16][答案]ˆ不是2的无偏估计)2ˆ由已知E)ˆˆˆˆ而))))DEE2E2E2)E()2E)ˆ)ˆˆˆˆ222222ˆE)0222ˆ即不是的无偏估计.)2(6分)[17][答案]1证由切比契夫不等式有{|ˆ|}DˆP2222212由已知得Pˆ|}22(2nlimP{|ˆ|}022n即是的一致估计量.ˆ22(10分)[18][答案]ˆ因为所有x有xb,i=1,2,,n,故bmax{x,x,,x}b对任给>0ii12n(不访设<ba)ˆP{|bb|}ˆP{abb}P{axb}P{axb}P{axb}22i(b)aba(a)ba[][0nnnˆb是b的一致估计.三、应用(38小题共355.0分)(8分)[1][答案]200160120160P{120200}F()F()0.10.1404040F()F()F(0.80.10.10.140故1.281,31.22F0.1(10分)[2][答案]40任一炸弹落在铁路两旁米以内的概率为100x100x100x4004040=2xdxdxdxdx0.64100001000010000404000400.3640米以外的概率为故所3任一炸弹落在铁路两旁米外的概率为求的概率为1-1-P3(12分)[3][答案]dx32G的面积4s4xxG,2306xx23x所对应区域G的面积x4sG1ttdt230s62xx30x4FxPxG1sx004G06xx23Fx故得x3214x(8分)[4][答案]2任一子弹落在距靶心米以内的概率为1e4FF220P01e951e49该批子弹被接收的概率是1e(7分)[5][答案]=0=113131310x0或y0,或0x1,0y10x1,y或x1,0y113F(x,y)1y1,1x(14分)[6][答案](1)0x0或y0dyxydx0<x60,0<y60xy3600036000dyxdx0x<60,y60F(x,y)x6036006000dyydx60x60,0y<60x60,y60y3600060010x0x的分布函数()=F(x,+)=0x60Fx11x的分布函数0y0yF(y)2=F(+,y)=0y1yE()(2)2EEEEEEE2222222(2)因为对任x,y有F(x,y)=F(x)F(y)所以与独立。12(10分)[7][答案](1)35=0=1=21201400120170120(2)的边缘分布列177P151515的边缘分布列012312163P120120120120(8分)[8][答案]}。用表示甲投中的次数，表示乙投中的次数，则所求事件为=}=P{=0=0}+P{=1=1}+P{=2=2}+P{=3=3}，，，，0.40.20.40.20.830.40.60.633222233=0.30464(4分)[9][答案]32020次射击中一次都不中的概率为：(10.25)204320至少击中一次的概率为：1(0.9968)4(15分)[10][答案]设所取两个数为x，y。则所有可能结果对应xoy平面上的正方形0x20y2OACB事件E对应着图中阴影部分G，G的面积为:121212222222212211221xx12故G的面积1P(E)正文形的面积4yNQBCxy=2Gp1Mxy=1Aox12(8分)[11][答案]OC=OD=2RM是弦的中点,从几何知识知当且仅当M落入CD时,过M垂直于ab的弦长才大于圆内接正CDabR12三角形的边长3R,由几何概率知PA、==2RaCMODb(10分)[12][答案]A设甲获胜事件为iA甲第次射击获胜事件为ii乙第次射击获胜事件为BiAAABAABABA111211nnn1各和项彼此互斥，同一和项中各,相互独立ABiiP(A)p,P(B)qiiPA、=P(A)PABABA()i11nnn1n1p(1p)(1q)pnni1pp1(1p)(1q)pqpq(4分)[13][答案]P=0.4(10.5)(10.7)+(10.4)0.5(10.7)+(10.4)(10.5)0.7=0.36(4分)[14][答案]各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的P0.80.732(15分)[15][答案]，，30)i“第个学生拿到自己的卷子”AiAAAA1230由广义加法公式PAAA2930PAPAPAA1PAAA1230iijijki11ij301ijk30111111111CCC11233030293029283029230303011110.37e12!3!30!(15分)[16][答案]A(i3n)i次摸出黑球”i次出现黑球，后面次出现红球”nnnn211则BAAAAAn12nn111由乘方公式P(B)P(A)P(AA)P(AAA)P(AAA)121n1n1n11n111(AAAAA)n1Pn1n1n11bbcb2c而：P(A),P(AA),P(AAA),ba2c1ba21bac312b(n1)caP(AAA),P(AAA),1n1n1ba(n1)cn111nbanc11111a(n1)cP(AAAAA)2n1nn1n1ba(n1)c11bbcb2cb(n1)cP(B)1babacba2cba(n1)c1aaca(n1)c2bancba(n1)cba(n1)c11(12分)[17][答案](i=1,2,3)i次攻击中击落敌机”Ai则AAA表示乙机被击落AA表示甲机被击落，A112213又PAPAAPAAA121213(1)PAAPAPAA12121(2)PAAAAPAPAAA12121313PAPAPAAPAAA21121130.20.80.7.40(5分)[18][答案]由于L是由和并联接而成的备用系统，所以=+LL12112xeye于是EEExy00(10分)[19][答案]ABPBAPA则PA,PBA由全概率公式PBPAPBAPAPBAPAPBA由逆概率公式0.1927PAB(10分)[20][答案](i=1,2)分别表示取到的一粒种子是第一，二品种的事件PBAiB:“取到的一粒种子能发芽”则2PA,PBA3111PA,PBA32221PB2由全概率公式PAPBA33iii1PAPBA0.60152311由贝叶斯公式0.65PABPB0.921(12分)[21][答案](i=1,2)分别表示第一道工序加工出合格品及次品的事件Ai(i=1,2,3,)分别表示第二道工序加工出合格品,次品,废品的事件BCi(i=1,2,3)分别表示经两道工序加工出零件为合格品,次品及废品的事件i则P(C)P(AB)P(A)P(BA)0.90.80.72111111P(C)P(AB)P(A)P(BA)0.10.40.04323232P(C)1-[P(C)P(C213注:亦P(C)P(ABAB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.90.20.10.60.2421222121222可(6分)[22][答案]3000小时能正常工作”2000小时能正常工作”则B即AB=A1PAPABPA0.870.94===PAB0.9255PBPB1PB(5分)[23][答案]这种动物活到20岁"B:"这种动物活到25岁则B1PABPB==PBAPA2PA(6分)[24][答案]设A表“恰有4件次品”,B表“5件全是次品”,C表“至少有4件次品”