弹性力学-第十一章变分原理

第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理弹性力学主讲邹祖军第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法§11-3应用最小势能原理求近似解的例子§11-4最小余能原理§11-5用最小余能原理求近似解第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理§11-1最小势能原理A、弹性体的形变势能与应力、形变、位移的关系。设弹性体只在某一个方向如x方向，受有均匀的正应力，同样，对于剪应力与剪应变，其比能为：相应的正应变，则其每单位体积中具有的形变势能即形变势能密度或比能为：

弹性力学问题的变分法，也称能量法，是和弹性体的形变势能密切相关的。两个假定：受力过程中，弹性体始终保持平衡，因而无动能的改变；弹性体的非机械能也没有变化。弹性力学问题的变分法，是有限元法等近似解法的理论基础。弹性力学问题的变分法的本质，是把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函的极值（或驻值）问题。再变为函数的极值（或驻值）问题，最后归结为求解线性代数方程组。于是，外力势能的减少完全转化为形变势能。W=V第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理B、最小势能原理在V内(a)在Su上(b)虚位移在Su上(c)虚应变(d)外力在虚位移上做功第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理

即(11.1)上式为虚位移方程或位移变分方程,表示外力所做的虚功等于真实内力所做的虚功又与外力无关,且总势能(11.2)则有第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理(11.3)最小势能原理:在所有几何可能的位移中,真实位移且只有真实位移使总势能取最小值(e)其中(f)(g)取极小值的充要条件(h)由应变能的正定,(g)自然满足第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理(11.4)(11.4)成立的充要条件为在V内在ST上求解弹性力学问题化为在所有几何可能的位移中,寻找使总势能取驻值(极小值)的位移,即求解(11.3),对图11.1,根据平截面假定，任一截面的水平位移为由几何方程，有T第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理由梁的纵向纤维间无挤压，可以认为梁处于单向应力状态，则应变能密度为：梁的总应变能为：式中：总势能为：第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理取上式的变分为0(i)将上式代入(i),注意第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理(j)因变分的任意性位移表示的平衡方程和边界条件第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理讨论特殊情况：注意外荷载的方向。对轴向拉力N(x)，相当于如下分布荷载对跨间集中力P1，相当于如下分布荷载对跨间集中弯矩M，相当于如下分布荷载图11.1a中的分布荷载为第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理C、等截面直杆的扭转长度L,用位移解法.位移分量不为零的应变分量应变能为(k)总势能为(11.5)令(11.5)变分为零,并利用格林公式得第十一章弹性力学的变分原理

§11-1最小势能原理由变分的任意性得在A中在C上(l)§11.2应用最小势能原理求近似解的方法基于最小势能原理的两种近似解法：A、瑞利-李兹法（Rayleigh-Ritz)选择位移分量如下：(11.8)推导平衡微分方程和边界条件求解近似解答最小势能原理的主要作用:瑞利-李兹法（Rayleigh-Ritz)伽辽金法（Галёрқин)第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.9)在边界Su上有：式中：均为坐标x，y，z的已知函数，为待定的任意常数。将位移代入变分方程，使得求泛函的极值问题转化为求函数的极值问题。总势能取极值的条件为：第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.2)方程组，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。这种方法称为瑞利-李兹法。上式为一组以(m=1,2,3,…)为未知数的线性非齐次代数B、伽辽金法（Галёрқин)(a)如果选择的位移函数式（11.8）不仅满足位移边界条件，而且满足应力边界条件，则位移变分方程可简化为:则将上式代入(a),因变分的独立性.则有第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法位移仍然假设为(11.8)(b)(11.10)如式(11.8)不仅满足位移边界条件,而且也满足已知面力的边界条件,则(11.10)变为第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法方程组，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。这种方法称为伽辽金法。上式为一组以(m=1,2,3,…)为未知数的线性非齐次代数(11.10)(11.11)用位移表示则为(11.12)这种方法称为简化的伽辽金法。伽辽金法可求任意微分方程的近似解第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.13)任意微分方程试函数(满足边界条件)伽辽金法为§11-3应用最小势能原理求近似解的例子例11-1两端简支的等截面梁，受均布荷载q作用（如图），试求挠度w(x)。解：先用瑞利-李兹法求解，本问题的总势能为：要求x=0，L处的w=0，可取(a)(b)代入式(a)得：q0Lzx由,有(m为奇数)(m为偶数)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子解得：(m为奇数)(m为偶数)代入(b)得挠度函数为：(c)最大挠度发生在梁的中间，即x=L/2处，有该级数收敛很快，只取一项就与精确值十分接近。式(b)不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件(应力边界条件是两端弯矩为零）。因此也可用伽辽金法求解。第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子用瑞利-李兹法和伽辽金法求解平面问题则位移函数式(11.8)成为:(11-17)本题伽辽金法的公式为：将挠度式(b)代入上式并积分，解得Cm为(m为奇数)(m为偶数)与上面结果相同。第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子在Su上第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子总势能(11-14)对于平面应变问题,应变能密度为:(见5.29)利用几何方程,上式可化为(11-15)对于平面应力问题则为(11-16)若用瑞利-李兹法求解,将W代入(11.14),令(11-18)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子若式(11.17)满足全部边界条件,用伽辽金法求解,对平面应变问题,与(11.12)对应的方程为(11-19)对平面应力问题,,对应的方程为(11-20)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子例11-2,如图11.3,矩形薄板,上边位移为不计体力,求板的位移.解:边界位移取如下位移,满足边界位移为0的要求因对称性,u应该是x的奇函数,v为x的偶函数.取最低价则(g)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子(h)(h)表示的位移满足全部边界条件,可用伽辽金法求解.本题为平面应力问题,将位移(h)代入(11.20),可解出A1和B1如下将上式代入(h)即得位移近似解例11-3如图，一边固定，另三边自由的薄板，三自由边受均布剪应力作用。不计体力，试用瑞利-李兹法求挠度。解：(1)按（11-17)取位移分量为：0ττxyabτ(11-17)因各边界没有不等于零的已知位移，则为满足固定边的位移边界条件：(g)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子则可设:则:则位移分量为:(h)(2)求出弹性体的应变能W，将位移分量式(h)代入式(11-16)（平面应力问题），只取式(h)中前三项,则:(11-16)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子则有第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子板的上下边及右边为应力边界条件：按(11-18)，则有(i)（3）、得到求Am，Bm的线性方程组(11-18)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子则有六个联立方程:第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子即可解出六个待定常数（4）、由式(h)得位移分量为：对于薄板弯曲问题，按照计算假设，有则薄板弯曲问题的应变能为：第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子(i)将下面两式代入上式（8-2）（8-3）经整理后可将应变能用挠度w表示为：第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子因挠度w仅为x，y的函数，与z无关，对上式积分，则对于等厚薄板应变能为：对于四条边上w=0的矩形板，上式还可简化。由格林公式：(5-23)则：(j)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子对于四条边上w=0的矩形板，有：则式（j）等于零，式（6-23）简化为：(5-24)若只考虑板受横向的外荷载q作用，则总外力功为(5-25)若板面受集中力或板边受边界力，则还应计入相应的外力功。设挠度函数为：(5-26)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子式中：w(x，y)为满足位移边界条件的设定函数，Am为待定常数。按照瑞利-李兹法，总势能取极值的条件为：(5-27)m个方程可以确定m个待定常数。如应用伽辽金法计算薄板弯曲问题，由最小势能原理也可导出相应的伽辽金变分方程为：(5-28)如所设位移分量满足应力和位移的全部边界条件，取挠度函数式(5-26)的变分代入上式得：由于δAm任意且互不相干，必须使(5-29)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子例5-4如图，边长分别为a和b的矩形薄板，前后两对边为简支，左边固定，右边自由，受均布荷载q作用，选择如图坐标。求板的挠度。解：本题的位移边界条件为：za0ybx(k)若挠度函数取为(l)上式满足全部位移边界条件，代入(5-23)得第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子外力功为：(n)(m)总势能为：(o)第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子由，求得A1后，得(p)当a=b,μ=0.3时，自由边中点（x=a，y=b/2)处的挠度为与精确解相比，只有1%的误差。第十一章弹性力学的变分原理§11-3应用最小势能原理求近似解的例子§11-4最小余能原理PR0S位移变分方程及最小势能原理：比较弹性体的稳定平衡状态与它经过虚位移到达的邻近状态。得到真正的位移使总势能取最小值的结论。下面对在平衡状态下，不对位移而是对应力采取类似的方法得到另外一个结论。余能的概念：对于单向拉伸，如图应变能密度为单位体积的余能即应变余能密度为显然有：(a)(b)(c)第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理在线弹性下，应变余能与应变能是相等的。在复杂应力状态下，应变余能密度可表示为：(5-4)(应力表示的应变能密度)(5-30)整个弹性体的应变余能为(5-31)虚应力的概念：在不破坏平衡的前提下给应力分量一个微小的改变。则有：(d)第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理式中如虚应力虽然不一定满足应力协调方程，但仍然满足平衡微分方程和应力边界条件，是静力上可能的应力。与真正应力相比较，虚应力应该满足体力为零的平衡微分方程和在Sσ上面力为零的应力边界条件，即(e)(在V内)和是真正的应力分量，为虚应力或应力的变分。第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理(f)(在Sσ上)在给定位移的边界Su上，面力没给定，必须满足下式：(g)(在Su上)由于应力的变分，弹性体应变余能的变分为(h)第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理与格林公式相应的，也可导出下列关系式(5-32)上式称为卡斯蒂利亚诺（Castigliao,A)公式，将上式代入式(h)中，可得：(i)将几何方程代入上式，应用高斯公式，采用与位移变分类似的方法，可得第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理(j)在Su上有由(e)，(f)，(g)上式可简化为：(5-33)上式为应力变分方程，又称虚应力方程。它表示在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功等于整个弹性体的虚应力在真实变形中所作的功。若全部边界上面力已知，则上式还可简化为：第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理(5-36)上式为最小功原理，是虚应力方程的特殊情况。式（6-33)又可写成：令(5-34)称为总余能，则有：上式表示，总余能的一阶变分为零，表明真正的应力使总余能取驻值。对于稳定的平衡状态，真正的应力使总余能取最小值，称作最小余能原理。即在所有静力可能的应力中，实际的应力使总余能取最小。第十一章弹性力学的变分原理§11-4最小余能原理§11-5用最小余能原理求近似解是设定的已知函数，满足平衡微分方程和应力边界条件；是满足无体力的平衡微分方程和无面力的应力边界条件的设定函数；是互不依赖的m个待定常数。不论它取何值，上式所示应力是可能的。根据应力变分方程，可设第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解因Am是互不依赖的，δAm是任意的，可得(5-38)上式为Am的线性方程，解出Am便得到问题的解。对于平面应力问题，则应变余能表达式为：(5-39)应力的变分是通过待定常数Am取变分来实现的，而各设定函数,仅是位置坐标的函数，与应力变分无关，则将应力分量式(5-37)代入总余能表达式，则有:利用应力变分原理的近似解法，所选择的应力分量必须是静力可能的，即必须同时满足平衡微分方程和静力边界条件，比较困难。对于平面问题和扭转问题，通过引入应力函数，让应力函数确定的应力分量来满足这些条件相对容易。第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解对于平面应变问题，只需进行下面的参数变换，就可得到相应的余能表达式。对于弹性单连体，且仅是应力边界条件，体力为常量，则平面问题中的应力分量与弹性常数无关，简化的应变余能表达式为：(5-41)将用应力函数表示的应力分量代入上式得：(a)(5-40)如全部为面力是已知的，则用最小功原理，由式（5-34）,有(5-42)第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解不难证明，此方程等价于双调和方程在求近似解时，取应力函数为(5-43)式中，给出的应力分量满足应力边界条件，给定的应力分量满足面力为零的应力边界条件。将上式代入(5-42)，求出Am，即得问题的近似解。例5-6设有一矩形平板，不计体力，在x=±a的边界面上受抛物线分布的拉力作用，其最大集度为q(如图)。试用应力变分法求其应力分量。解：由题意，应力边界条件为：0xyqaabbq(b)第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解如设(c)则它给出的应力分量能满足面力为零的边界条件。则(d)由于对称性，级数中只取x,y的偶次幂，如上式只取一个系数A1，则代入式(5-42)，整理后得：则上式给出的应力分量满足应力边界条件(b)，设具有下面因子的函数。第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解对于正方形板(a=b)，得：相应的应力分量为在板的中心，即x=y=0处有如取三个系数A1，A2，A3，经同样计算，对于正方形板，有在板的中心，即x=y=0处有第十一章弹性力学的变分原理§11-5用最小余能原理求近似解A、瑞利-李兹法解题步骤:（平面应力和平面应变问题）一、位移变分法（1）、选取位移函数式且是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：且是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：是待定的任意常数。（2）、求出弹性体的应变能W(11-17)变分法解题步骤第十一章弹性力学的变分原理(11.16)将位移函数式(11-17)代入下式求出应变能：（平面应力问题）(11.15)（平面应变问题）（3）、得到求Am，Bm的线性方程组(11.18)第十一章弹性力学的变分原理（4）、将得到Am，Bm代入位移函数式(11.17)求出位移分量。将位移分量代入几何方程求出应变分量，将应变分量代入物理方程求出应力分量。(a)（2-9）(平面应力)(平面应变)第十一章弹性力学的变分原理B、伽辽金法解题步骤:（平面应力和平面应变问题）（1）、选取位移函数式且是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：且是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：是待定的任意常数。（2）、将位移函数式代入式(11.19)或式(11.20),建立Am,Bm的线性代数方程组(11.17)上述位移函数式还应满足应力边界条件.第十一章弹性力学的变分原理(11-20)(平面应力)或(11.19)式中(平面应变)第十一章弹性力学的变分原理（3）、将得到Am，Bm代入位移函数式(5-17)求出位移分量。将位移分量代入几何方程求出应变分量，将应变分量代入物理方程求出应力分量。(a)（2-9）(平面应力)(平面应变)第十一章弹性力学的变分原理C、瑞利-李兹法解题步骤:（薄板弯曲问题）（1）、选取挠度函数式且为满足位移边界条件的设定函数。是待定的任意常数。（2）、求出弹性体的应变能V和总外力功W(5-26)(变厚度板)(5-23)(等厚度板)(5-24)(四条边上w=0的等厚度矩形板)第十一章弹性力学的变分原理若只考虑板受横向的外荷载q作用，总外力功W(5-25)若板面受集中力或板边受边界力，则还应计入相应的外力功。如在x=ξ,y=η处作用集中力P，则外力功为：（3）、得到求Am的线性方程组总势能为则：（4）、将求得的Am代入式(5-26)得到挠度函数，再求出相应的应力分量、内力等第十一章