指数与对数重点题型总结 讲义-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

专题：指数与对数重点题型总结题型一：指数的概念及运算知识点：（1）a；（2）正分数指数幂：规定：（3）负分数指数幂：规定：（4）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质①②③小结：（1）在计算时有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据二次根式的性质得出，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.【详解】，即，，.故选：A.，则实数a的取值范围_________

【答案】【分析】由二次根式的化简求解【详解】由题设得，，所以所以，．故答案为：用分数指数幂表示下列各式：(1)＝____;

(2)＝____；(3)＝____;

(4)＝____；(5)＝____.【答案】

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【分析】利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂.【详解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.注：化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域.题型二：指数的条件求值知识点：1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁.补充：立方和公式：立方差公式：已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A选项，对两边平方可得结果；B选项，先计算，开方即可；C选项，先计算，再结合，开方求出答案；D选项，使用立方和即可求解.【详解】两边平方得：，所以，A正确；，因为的大小不确定，所以，B正确；，因为，所以，C错误；由立方和公式可得：，D正确.故选：ABD（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;（2）将化为，化简并结合，可求得答案.【详解】（1），则．（2），且,．题型三：指对互化知识点：一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.小结：对于这类题型做题技巧是，把指数式化为对数式，并把底数化为相同.已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x，y，z满足，设，则，，．对于A，，故A正确；对于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B错误；对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；对于D，由，可得（），故D正确．故选：ACD已知实数满足：，则________．【答案】【分析】由已知指数式化为对数式求出的值，再由对数的运算性质求出.【详解】因为，所以，则．故答案为：.专题四：对数的运算性质及换底公式知识点：1.对数的性质：（1）（2）（3）零和负数没有对数．2.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)3.对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．4.换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．5.对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．小结：解决对数运算的常用技巧主要有几下几点：对于底数不同的运算式，一般要利用换底公式把底数化为相同，再通过对数的运算性质进行化简求值；题目中有对数式也有指数式时，一般要化成全部是对数式或全部是指数式进行求解；利用对数式中的一个“固定搭配”------.例8.已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换底公式用a，b表示，，然后将换底可求得答案.【详解】解：由题意得：因为，所以，，则.故选：A例9.，则（

）A．64 B．125 C．256 D．625【答案】D【分析】根据对数的运算及性质化简求解即可.【详解】，，，故选：D______．（用数字作答）【答案】1【分析】利用对数换底公