期权定价公式的推导课件

Black-Scholes期权定价公式的推导1Black-Scholes期权定价公式的推导11973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack和MyronScholes发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。这个公式的出现也被称为是华尔街第二次革命。21973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack和3344

三个数学概念:

随机游走布朗运动鞅

5

三个数学概念:

随机游走5证券交易价格是随机的。虽然证券的当前价值一般并不等于其未来价值的数学期望，实际上，长期以来，金融学术界一直认为在一定条件下，证券的当前价值应该等于其未来价值的数学期望。——金融学中的“学院派”的最根本的观点。这一观点的修正和发展在金融学上称为是有效市场假设：如果由于金融市场的充分发展，使得它对证券价格的调整效率非常高，那么证券的市场价格已经充分反映了证券的真实价值。即使它的未来价格还会有一定的随机波动，但这种波动并不是一种价格趋势，其平均值还是与当前价格一样。所以，我们可以认为证券的未来价格与当前价格之间只相差一项随机干扰。6证券交易价格是随机的。6假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…，pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。于是它们之间就有这样的关系：

其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可以引出随机游走和布朗运动的概念。7假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中p0是由上面这些关系式，我们可以引出由此得到的反映证券价格变化的随机序列称为随机游走。这个名称最初是对ε以相同概率取的随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越长，他就可能离原点越远。8由上面这些关系式，我们可以引出8令∆t代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变量z在∆t时间内的变化，则标准的布朗运动∆z具有下述两个特征：特征1：，其中ε是服从标准正态分布的随机变量。特征2：对于任意两个不同的时间间隔∆t，∆z相互独立。

由特征1可知，∆z也服从正态分布，其均值为0，标准差为。由特征2可知，标准布朗运动是马尔可夫过程的一种特殊形式。9令∆t代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变量z在∆t时间“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义鞅——一个随机序列称为鞅，就是指它满足上述式子。10“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义对于证券来说，它并不是证券价格的直接增量形成随机游走，而是证券价格的比例增量形成随机游走。其中是均值为1的独立同分布随机变量。令。对上式的两端取对数，就得到即（1）是随机游走序列。11对于证券来说，它并不是证券价格的直接增量形成随机游走，不再成立。这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价格变化的关系式连续化，就得到这里zt是标准布朗运动。1212由于dzt是标准布朗运动，因此，在一个较短的时间间隔∆t以后，证券价格的变化为：可见也服从正态分布，其均值为μ∆t，标准差为。也就是13由于dzt是标准布朗运动，因此，在一个较短的时间间隔∆t以后

风险对冲

随机过程

偏微分方程

f为期权价格Black-Scholes期权定价公式

14风险对冲

随机过程资产定价基本原理只要市场没有套利机会，那么一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价值”的“鞅性质”。

证券折现价格的“鞅性质”证券折现价格的水平始终不变，或者说，在任何时候，证券折现价格的期望净收益率都是0，毛收益率都是1。

15资产定价基本原理只要市场没有套利机会，实际贴现率（effectiverateofdiscount）

实际贴现率：一定时期内的利息与期末累积值的比率，通常用字母d表示。贴现因子：期末的1元在期初的现值，一般用v来表示，那么16实际贴现率（effectiverateofdiscou利息力（forceofinterest）利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累积函数的相对变化率定义如下：式中为在时点t的利息力。17利息力（forceofinterest）利息力是在确切时在复利条件下的利息力可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t无关。将这个式子变形，可以得到复利的实际利率18在复利条件下的利息力18实际利率i实际贴现率d贴现因子v常数利息力δ实际利率i—实际贴现率—1-v贴现因子v1-d—利息力δln(1+i)-ln(1-d)-lnv—19实际利率i实际贴现率d贴现因子v常数利息力δ实际利率i—实际欧式股票买入期权的定价公式

其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期权的价格。

X是期权的协议价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率，σ称为股价的波动率，N是标准整体分布随机变量的分布函数，它定义为20欧式股票买入期权的定价公式20这个公式当T=0时，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-X)+表示S-X的正部，即当时，它等于S-X，当S-X<0时，它为0。除股价的波动率σ外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。在严格的意义下，r是无风险瞬时收益率，但是在实际计算中，它直接可以用短期利率带入。21这个公式当T=0时，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-风险证券t时刻的价格St遵循几何布朗运动，而满足下列随机微分方程：风险证券的折现价格

就是折现价格。

这说明仍然遵循几何布朗运动，且只有当时才是鞅。

μ——股票价格的平均（瞬时）收益率;r——无风险（瞬时）收益率。根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。22风险证券t时刻的价格St遵循几何布朗运动，而满足下列随机微分股票的折现价格对新的等价概率测度就满足这里表示在新的等价概率测度下的标准布朗运动。对于时刻T，由此可得其中是t=0时的股票价格考虑到σWT是一个均值为0、方差为σ2T的正态随机变量，就是一个所谓对数正态分布随机变量。23股票的折现价格对新的等价概率测度就满足23欧式买入期权的当前价格就是这里S是当前的股价，即S=S0，ST是T时刻的股价，e-rT是折现因子，X是期权的协议价格。24欧式买入期权的当前价格就是24Black-Scholes期权定价公式25Black-Scholes期权定价公式25可以证明其中WT是均值为0、方差为T的正态随机变量，即，而x是标准正态随机变量。该等式涉及几何布朗运动的特殊性质，需联系“伊藤公式”。在μ=r时股价St的平均收益率应为μ=r，但把它写成指数函数形式时，指数是26可以证明26当时27当时272828风险中性理论受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率μ并未包括在期权的价值决定公式中：S——标的证券当前市价X——执行价格（X）t——时间

σ——证券价格的波动率r——无风险利率均是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：——对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。29风险中性理论受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率μ并未风险中性定价原理

在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

注意：风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。30风险中性定价原理

在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券N(d2)——在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率。因此，e-rtXN(d2)是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带来的收入现值。SN(d1)=e-rtSTN(d1)是ST的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的现值。因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值。31N(d2)——在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式Black-Scholes期权定价公式的推导32Black-Scholes期权定价公式的推导11973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack和MyronScholes发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。这个公式的出现也被称为是华尔街第二次革命。331973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack和343354

三个数学概念:

随机游走布朗运动鞅

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三个数学概念:

随机游走5证券交易价格是随机的。虽然证券的当前价值一般并不等于其未来价值的数学期望，实际上，长期以来，金融学术界一直认为在一定条件下，证券的当前价值应该等于其未来价值的数学期望。——金融学中的“学院派”的最根本的观点。这一观点的修正和发展在金融学上称为是有效市场假设：如果由于金融市场的充分发展，使得它对证券价格的调整效率非常高，那么证券的市场价格已经充分反映了证券的真实价值。即使它的未来价格还会有一定的随机波动，但这种波动并不是一种价格趋势，其平均值还是与当前价格一样。所以，我们可以认为证券的未来价格与当前价格之间只相差一项随机干扰。37证券交易价格是随机的。6假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…，pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。于是它们之间就有这样的关系：

其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可以引出随机游走和布朗运动的概念。38假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中p0是由上面这些关系式，我们可以引出由此得到的反映证券价格变化的随机序列称为随机游走。这个名称最初是对ε以相同概率取的随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越长，他就可能离原点越远。39由上面这些关系式，我们可以引出8令∆t代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变量z在∆t时间内的变化，则标准的布朗运动∆z具有下述两个特征：特征1：，其中ε是服从标准正态分布的随机变量。特征2：对于任意两个不同的时间间隔∆t，∆z相互独立。

由特征1可知，∆z也服从正态分布，其均值为0，标准差为。由特征2可知，标准布朗运动是马尔可夫过程的一种特殊形式。40令∆t代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变量z在∆t时间“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义鞅——一个随机序列称为鞅，就是指它满足上述式子。41“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义对于证券来说，它并不是证券价格的直接增量形成随机游走，而是证券价格的比例增量形成随机游走。其中是均值为1的独立同分布随机变量。令。对上式的两端取对数，就得到即（1）是随机游走序列。42对于证券来说，它并不是证券价格的直接增量形成随机游走，不再成立。这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价格变化的关系式连续化，就得到这里zt是标准布朗运动。4312由于dzt是标准布朗运动，因此，在一个较短的时间间隔∆t以后，证券价格的变化为：可见也服从正态分布，其均值为μ∆t，标准差为。也就是44由于dzt是标准布朗运动，因此，在一个较短的时间间隔∆t以后

风险对冲

随机过程

偏微分方程

f为期权价格Black-Scholes期权定价公式

45风险对冲

随机过程资产定价基本原理只要市场没有套利机会，那么一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价值”的“鞅性质”。

证券折现价格的“鞅性质”证券折现价格的水平始终不变，或者说，在任何时候，证券折现价格的期望净收益率都是0，毛收益率都是1。

46资产定价基本原理只要市场没有套利机会，实际贴现率（effectiverateofdiscount）

实际贴现率：一定时期内的利息与期末累积值的比率，通常用字母d表示。贴现因子：期末的1元在期初的现值，一般用v来表示，那么47实际贴现率（effectiverateofdiscou利息力（forceofinterest）利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累积函数的相对变化率定义如下：式中为在时点t的利息力。48利息力（forceofinterest）利息力是在确切时在复利条件下的利息力可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t无关。将这个式子变形，可以得到复利的实际利率49在复利条件下的利息力18实际利率i实际贴现率d贴现因子v常数利息力δ实际利率i—实际贴现率—1-v贴现因子v1-d—利息力δln(1+i)-ln(1-d)-lnv—50实际利率i实际贴现率d贴现因子v常数利息力δ实际利率i—实际欧式股票买入期权的定价公式

其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期权的价格。

X是期权的协议价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率，σ称为股价的波动率，N是标准整体分布随机变量的分布函数，它定义为51欧式股票买入期权的定价公式20这个公式当T=0时，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-X)+表示S-X的正部，即当时，它等于S-X，当S-X<0时，它为0。除股价的波动率σ外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。在严格的意义下，r是无风险瞬时收益率，但是在实际计算中，它直接可以用短期利率带入。52这个公式当T=0时，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-风险证券t时刻的价格St遵循几何布朗运动，而满足下列随机微分方程：风险证券的折现价格

就是折现价格。

这说明仍然遵循几何布朗运动，且只有当时才是鞅。

μ——股票价格的平均（瞬时）收益率;r——无风险（瞬时）收益率。根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。53风险证券t时刻的价格St遵循几何布朗运动，而满足下列随机微分股票的折现价格对新的等价概率测度就满足这里表示在新的等价概率测度下的标准布朗运动。对于时刻T，由此可得其中是t=0时的股票价格考虑到σWT是一个均值为0、方差为σ2T的正态随机变量，就是一个所谓对数正态分布随机变量。54股票的折现价格对新的等价概率测度就满足23欧式买入期权的当前价格就是这里S是当前的股价，即S=S0，ST是T时刻的股价，e-rT是折现因子，X是期权的协议价格。55欧式买入期权的当前价格就是24Black-Scholes期权定价公式56Black-Scholes期权定价公式25可以证明其中WT