数学分析课件-平面点集与多元函数

数学分析课件平面点集与多元函数数学分析课件平面点集与多元函数例如：

(2)(3)例如：(2)(3)图16–1

(a)

圆C

(b)矩形S

图16–2

(a)

圆邻域

(b)

方邻域

图16–1(a)圆C(b)矩形S由于点

A的任意圆邻域可以包含在点

A的某一方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的邻用记号或来表示.

点

A的空心邻域是指:或并用记号

来表示.域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(注意:不要把上面的空心方邻域错写成

:(请指出※

点和点集之间的关系以下三种关系之一

:任意一点

与任意一个点集

之间必有是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为(i)内点——若则称点

AE的内部,记作intE.

错在何处?)注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出※点和(ii)外点——若则称点A是

E的外点；由

E的全体外点所构成的集合(iii)

界点——若

恒有(

其中

),则称点A是E的界点;由E的全体界点所构成的集合称为E的边界;记作注

E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;

E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:称为E的外部.

(ii)外点——若则称点A是E的外点；由E只有当时,E的外部与

才是两个相同的集合.图16–3例1

设平面点集（见图16–3）于D;满足的一切点也是D的内点;满足的一切点是D的界点,它们都属满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.图点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)

聚点——若在点A的任何空心邻域内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点．注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域内都含有E中的无穷多个点”.注3

E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.作

又称为E

的闭包,记作例如,对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为其中满足

的那些聚点不属于D,而其余

所有聚点都属于D.(ii)

孤立点——若点

,但不是E的聚点（即有某δ

>

0,使得

则称点A是

E的孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必作又称为E的闭包,记作例如,对于例1中为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2

设点集

显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有※

一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.开集——若E所属的每一点都是E的内点(即E=

intE),则称E为开集.为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2E为闭集.例如前面列举的点集中,(2)式所示的C是开集;(3)式所示的S是闭集;(4)式所示的D既非开集,又

非闭集;而(1)式所示的R2

既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2

与

是既开又闭的.开域——若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,闭集——若E的所有聚点都属于E

则称E为闭集.若E没有聚点这时也称

E为闭集.则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.

闭域——开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.在前述诸例中,(2)式的C是开域,(3)式的S

是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.有界点集——对于平面点集E,若使得其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),则称E

为有界点集.否则就为无界点集(请具体写出定义).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,

所谓点集E的直径,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

与P2(x2,y2)之间的距

离,即

于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:

此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集※

举例讨论上述点集的性质例3

证明:对任何恒为闭集.证如图16–4所示,设的任一聚点，欲证（即亦为的界点）.为此由聚点定义，存在图

16–４

再由为界点的定义,

在

※举例讨论上述点集的性质例3证明:对任何恒为闭集.的点.由此推知在内既有的点,又有非的任意性,

为的界点,即,也就证得为闭集．注类似地可以证明:对任何点集

亦恒为闭集.(

留作习题

)例4设

试证

E

为闭集的充要条件是：

内既有的点,又有非的点.所以,由的点.由此推知在内既有的点,又有非的任意性,为的界证下面按循环流程图16–5来分别作出证明.

已知为闭集(

即),欲证

反之显然有

①

②

③图16–5

证下面按循环流程图16–5来分别作出证明.综合起来,便证得②已知欲证为此

外点,反之显然

③综合起来,便证得②已知欲证为此外点,反注此例指出了如下两个重要结论:

(i)闭集也可用“”来定义

(只是使用

起来一般不如“”方便,因为有关聚点

有许多便于应用的性质)．(ii)闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开

集;开集的余集为闭集.利用此性质,有时可以通

过讨论

来认识E.注此例指出了如下两个重要结论:例5

以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)

既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是

“非空连通闭集”；(ii)

要判别一个点集是否是闭域,只要看其去除边界后所得的是否为一开域,即答(i)例如取

这是一个非空连

通闭集.但因它是前面(5)式所示的集合G与其边界(二坐标轴)的并集(即),而G不是例5以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)开域,故S

不是闭域(不符合闭域的定义).(a)(b)(c)

图16–6

(ii)如图16–6所示,集为

(c)

中的点集为易见E为一开域,据定义F则为闭域；然而

(a)中的点集为D;(b)中的点开域,故S不是闭域(不符合闭域的定义).显然不符合它为闭域的定义.由此又可见到:二、R2上的完备性定理

※

平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.

显然不符合它为闭域的定义.定义1

设

为一列点,为一固定点.则称点列{Pn}收敛于点P0,

记作同样地有定义1设为一列点,为一固定点.则称点列{Pn由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因

此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.

定理16.1(柯西准则)收敛的充要条件是:证（必要性）由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因此立即得应用三角形不等式,立刻得到(充分性)

当(6)式成立时,同时有这说明{xn}和{yn}都满足关于数列的柯西准则,

所以它们都收敛.

由点列收敛概念,推知

{

Pn

}

收敛于点P0(x0,y0).

应用三角形不等式,立刻得到(充分性)当(6)式成

(这是一个重要命题,证明留作习题.)※

下述区域套定理,是区间套定理在R2

上的推广.定理16.2(闭域套定理)

设{Dn

}是R2中的一列闭

域,它满足：(这是一个重要命题,证明留作习题.)※下述区域套注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必),则称点A是E的界点;由E例11是定义在R2上的函数,值域有界点集——对于平面点集E,若此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域有界,由聚点定理,由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一显然不符合它为闭域的定义.单位圆域,值域为区间[0,1],4(有限覆盖定理)设图16–7

则存在惟一的点证如图16–7所示,任取点列从而有

由柯西准则知道存在注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必图16–任意取定n,对任何正整数p,有再令由于Dn是闭域,故必定是闭集,

因此

Dn的聚点必定属于Dn

,则得最后证明

的惟一性.若还有则由任意取定n,对任何正整数p,有再令由于Dn推论对上述闭域套{Dn},

注把{Dn

}改为闭集套时,上面的命题同样成立.定理16.3(聚点定理)

若为有界无限点集,则

E在R2中至少有一个聚点.

证现用闭域套定理来证明.由于E有界,因此存在一个闭正方形.如图16–8所示,把D1分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭

正方形含有E中无限多个点,把它记为D2.再对

推论对上述闭域套{Dn},注把{Dn图16–8

D2如上法分成四个更小

的正方形,其中又至少有一个小闭正方形含有E

的无限多个点.如此下去,

得到一个闭正方形序列：很显然,

{

Dn

}

的边长随着而趋于零.

于是由闭域套定理,存在一点图16–8D2如上法分成四个更小的最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道含有E的无限多个点,这就证得了M0是E的聚点.推论任一有界无限点列

必存在收敛子定理16.4(有限覆盖定理)

设为一有界闭域

,为一族开域

,它覆盖了D

中必存在有限个开域

它们

同样覆盖了D,

即

(

证明可仿照R中的相应命题去进行.

)

列最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道含本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)相仿,在此从略.

注

将本定理中的D改设为有界闭集,而将改设为一族开集,此时定理结论依然成立.

例7

设试证E为有界闭集的充要条件

是:E的任一无穷子集Eq必有聚点,且聚点恒属本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)证(必要性)E有界

有界,由聚点定理

,必有聚点.又因的聚点亦为E的聚点,而E是闭集,所以该聚点必属于

E．(充分性)

先证E为有界集.倘若E为无界集,则

存在各项互异的点列易见这个子集无聚点,

这与已知条件相矛盾.再证

E为闭集.为此设P0为E

的任一聚点,由聚

点的等价定义,存在各项互异的点列

使证(必要性)E有界有界,由聚点定理,必有聚点现把看作,由条件的聚点(即)必属于

E,

所以E为闭集.

三、二元函数

※

函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对

应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.

现把看作,由条件定义2

设平面点集,若按照某对应法则f,

D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为

D到R的一个映射),记作也记作或点函数形式定义2设平面点集,若按照某对与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称

为f在点P的函数值;全体函数值的集合为f的

值域,记作.通常把P的坐标x与y称为f的自变量,而把z称为因变量.

当把和它所对应的

一起组成

三维数组(x,y,z)时,三维点集便是二元函数f的图象.通常该图象是一空间曲

与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称面,f的定义域D是该曲面在xOy平面上的投影.

例8

函数的图象是R3

中的一个平面,其定义域是R2,值域是R.例9的定义域是xOy平面上的

单位圆域,值域为区间[0,1],

它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分

(图16–9).

例10是定义在R2上的函数,它的图象是过原点的双曲抛物面(图16–10).面,f的定义域D是该曲面在xOy平面上的投影图16–9

图16–10

图16–11

图16–9图16–10图16–11例11

是定义在R2上的函数,值域是全体非负整数,它的图象示于图16–11.

※若二元函数的值域是有界数集,则称函数在D上为一有界函数(如例9中的函数).否则,

若是无界数集,则称函数在D上为一无界

函数(如例8、10、11中的函数).与一元函数类似地,设则有例11是例12设函数(

此函数在以后还有特殊用处

)试用等高线法讨论曲面

的形状.解用为一系列常数

)去截曲面得等高线方程例12设函数(此函数在以后还有特殊用处)试用当时,得平面上的四条直线当时,由等高线的直角坐标方程难以看出它

的形状.若把它化为极坐标方程,即令得到如图16–12所示,为所对应的一

族等高线.

当时,得平面上的四条直线图16–12

图16–12图16–13由此便可想象曲面的大致形状如图16–13所示,

坐标原点是曲面的一个鞍点,四道“山谷”与四道

“山脊”在鞍点处相汇.图16–13由此便可想象曲面的大致形状如图16–四、n元函数所有n个有序实数组的全体称为n

维向量空间,简称n维空间,记作Rn.其中每个有

序实数组称为Rn中的一个点;n个

实数是这个点的坐标.设E为Rn中的点集,若有某个对应法则f,使E

中每一点都有惟一的一个实数y

与之对应,则称f为定义在E上的n元函数,记作

四、n元函数所有n个有序实数组的全身体健康，学习进步！身体健康，学习进步！数学分析课件平面点集与多元函数数学分析课件平面点集与多元函数例如：

(2)(3)例如：(2)(3)图16–1

(a)

圆C

(b)矩形S

图16–2

(a)

圆邻域

(b)

方邻域

图16–1(a)圆C(b)矩形S由于点

A的任意圆邻域可以包含在点

A的某一方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的邻用记号或来表示.

点

A的空心邻域是指:或并用记号

来表示.域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(注意:不要把上面的空心方邻域错写成

:(请指出※

点和点集之间的关系以下三种关系之一

:任意一点

与任意一个点集

之间必有是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为(i)内点——若则称点

AE的内部,记作intE.

错在何处?)注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出※点和(ii)外点——若则称点A是

E的外点；由

E的全体外点所构成的集合(iii)

界点——若

恒有(

其中

),则称点A是E的界点;由E的全体界点所构成的集合称为E的边界;记作注

E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;

E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:称为E的外部.

(ii)外点——若则称点A是E的外点；由E只有当时,E的外部与

才是两个相同的集合.图16–3例1

设平面点集（见图16–3）于D;满足的一切点也是D的内点;满足的一切点是D的界点,它们都属满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.图点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)

聚点——若在点A的任何空心邻域内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点．注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域内都含有E中的无穷多个点”.注3

E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.作

又称为E

的闭包,记作例如,对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为其中满足

的那些聚点不属于D,而其余

所有聚点都属于D.(ii)

孤立点——若点

,但不是E的聚点（即有某δ

>

0,使得

则称点A是

E的孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必作又称为E的闭包,记作例如,对于例1中为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2

设点集

显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有※

一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.开集——若E所属的每一点都是E的内点(即E=

intE),则称E为开集.为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2E为闭集.例如前面列举的点集中,(2)式所示的C是开集;(3)式所示的S是闭集;(4)式所示的D既非开集,又

非闭集;而(1)式所示的R2

既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2

与

是既开又闭的.开域——若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,闭集——若E的所有聚点都属于E

则称E为闭集.若E没有聚点这时也称

E为闭集.则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.

闭域——开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.在前述诸例中,(2)式的C是开域,(3)式的S

是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.有界点集——对于平面点集E,若使得其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),则称E

为有界点集.否则就为无界点集(请具体写出定义).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,

所谓点集E的直径,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

与P2(x2,y2)之间的距

离,即

于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:

此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集※

举例讨论上述点集的性质例3

证明:对任何恒为闭集.证如图16–4所示,设的任一聚点，欲证（即亦为的界点）.为此由聚点定义，存在图

16–４

再由为界点的定义,

在

※举例讨论上述点集的性质例3证明:对任何恒为闭集.的点.由此推知在内既有的点,又有非的任意性,

为的界点,即,也就证得为闭集．注类似地可以证明:对任何点集

亦恒为闭集.(

留作习题

)例4设

试证

E

为闭集的充要条件是：

内既有的点,又有非的点.所以,由的点.由此推知在内既有的点,又有非的任意性,为的界证下面按循环流程图16–5来分别作出证明.

已知为闭集(

即),欲证

反之显然有

①

②

③图16–5

证下面按循环流程图16–5来分别作出证明.综合起来,便证得②已知欲证为此

外点,反之显然

③综合起来,便证得②已知欲证为此外点,反注此例指出了如下两个重要结论:

(i)闭集也可用“”来定义

(只是使用

起来一般不如“”方便,因为有关聚点

有许多便于应用的性质)．(ii)闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开

集;开集的余集为闭集.利用此性质,有时可以通

过讨论

来认识E.注此例指出了如下两个重要结论:例5

以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)

既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是

“非空连通闭集”；(ii)

要判别一个点集是否是闭域,只要看其去除边界后所得的是否为一开域,即答(i)例如取

这是一个非空连

通闭集.但因它是前面(5)式所示的集合G与其边界(二坐标轴)的并集(即),而G不是例5以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)开域,故S

不是闭域(不符合闭域的定义).(a)(b)(c)

图16–6

(ii)如图16–6所示,集为

(c)

中的点集为易见E为一开域,据定义F则为闭域；然而

(a)中的点集为D;(b)中的点开域,故S不是闭域(不符合闭域的定义).显然不符合它为闭域的定义.由此又可见到:二、R2上的完备性定理

※

平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.

显然不符合它为闭域的定义.定义1

设

为一列点,为一固定点.则称点列{Pn}收敛于点P0,

记作同样地有定义1设为一列点,为一固定点.则称点列{Pn由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因

此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.

定理16.1(柯西准则)收敛的充要条件是:证（必要性）由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因此立即得应用三角形不等式,立刻得到(充分性)

当(6)式成立时,同时有这说明{xn}和{yn}都满足关于数列的柯西准则,

所以它们都收敛.

由点列收敛概念,推知

{

Pn

}

收敛于点P0(x0,y0).

应用三角形不等式,立刻得到(充分性)当(6)式成

(这是一个重要命题,证明留作习题.)※

下述区域套定理,是区间套定理在R2

上的推广.定理16.2(闭域套定理)

设{Dn

}是R2中的一列闭

域,它满足：(这是一个重要命题,证明留作习题.)※下述区域套注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必),则称点A是E的界点;由E例11是定义在R2上的函数,值域有界点集——对于平面点集E,若此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域有界,由聚点定理,由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一显然不符合它为闭域的定义.单位圆域,值域为区间[0,1],4(有限覆盖定理)设图16–7

则存在惟一的点证如图16–7所示,任取点列从而有

由柯西准则知道存在注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必图16–任意取定n,对任何正整数p,有再令由于Dn是闭域,故必定是闭集,

因此

Dn的聚点必定属于Dn

,则得最后证明

的惟一性.若还有则由任意取定n,对任何正整数p,有再令由于Dn推论对上述闭域套{Dn},

注把{Dn

}改为闭集套时,上面的命题同样成立.定理16.3(聚点定理)

若为有界无限点集,则

E在R2中至少有一个聚点.

证现用闭域套定理来证明.由于E有界,因此存在一个闭正方形.如图16–8所示,把D1分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭

正方形含有E中无限多个点,把它记为D2.再对

推论对上述闭域套{Dn},注把{Dn图16–8

D2如上法分成四个更小

的正方形,其中又至少有一个小闭正方形含有E

的无限多个点.如此下去,

得到一个闭正方形序列：很显然,

{

Dn

}

的边长随着而趋于零.

于是由闭域套定理,存在一点图16–8D2如上法分成四个更小的最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道含有E的无限多个点,这就证得了M0是E的聚点.推论任一有界无限点列

必存在收敛子定理16.4(有限覆盖定理)

设为一有界闭域

,为一族开域

,它覆盖了D

中必存在有限个开域

它们

同样覆盖了D,

即

(

证明可仿照R中的相应命题去进行.

)

列最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道含本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)相仿,在此从略.

注

将本定理中的D改设为有界闭集,而将改设为一族开集,此时定理结论依然成立.

例7

设试证E为有界闭集的充要条件

是:E的任一无穷子集Eq必有聚点,且聚点恒属本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)证(必要性)E有界

有界,由聚点定理

,必有聚点.又因的聚点亦为E的聚点,而E是闭集,所以该聚点必属于

E．(充分性)

先证E为有界集.倘若E为无界集,则

存在各项互异的点列易见这个子集无聚点,

这与已知条件相矛盾.再证

E为闭集.为此设P0为E

的任一聚点,由聚

点的等价定义,存在各项互异的点列

使证(必要性)E有界有界,由聚点定理,必有聚点现把看作,由条件的聚点(即)必属于

E,

所以E为闭集.

三、二元函数

※

函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对

应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.

现把看作,由条件定义2

设平面点集,若按照某对应法则f,

D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为

D到R的一个映射),记作也记作或点函数形式定义2设平面点集,若按照某对与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称

为f在点P