专题15 三角形中的范围与最值问题（原卷版）

第页专题15三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．(1)求A；(2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量，，函数．(1)求函数在上的值域；(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．(1)求的值及的对称中心；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC为锐角三角形，记，求m的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若点满足，且，求面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在中，D的边的中点，．(1)求角C；(2)求面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在中，角A､B､C所对应的边分别为a､b､c，若.是锐角三角形，则面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)设，若的外接圆半径为4，且有最大值，求m的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在中，角，，的对边分别为，，．，，．(1)求；(2)求的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积.(1)求边c；(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知，，(1)求的单调递增区间；(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．(1)求角；(2)若的面积为，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．(1)求角B﹔(2)求的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知的三边长分别为，，，角是钝角，则的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数．(1)求函数的最大值；(2)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角的内角所对的边是，且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角中，，角A的角平分线交于点，,则的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且为钝角，则______，的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，则∠ACB＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B，D，E，其中D，E为AC边上的点，若使，则BD＋BE最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在中，，，是内一动点，，则的外接圆半径=______，的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（

）A． B． C． D．例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形的对角线的交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为．题型五：倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知是锐角三角形，若，则的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则最小值是．例41．（2022•道里区校级一模）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为．题型六：角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大小；(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.题型七：中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若是的中线，且，求的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知的内角所对的边分别为.(1)若的面积为为边的中点，求中线的长度；(2)若为边上一点，且，求的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，D为AB的中点，求CD的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________．(1)求C；(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.(1)求角；(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（

）A． B． C． D．∠BAD的最大值为60°题型八：四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．(1)求角A；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的内切圆半径，求的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，则实数m的最大值为（

）A． B． C． D．例54．（2022·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（

）A．3 B． C． D．例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为（）A．1 B． C．1 D．例56．（2022·全国·高三专题练习）已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（

）A．16 B．24 C．25 D．36题型九：坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在中，，，点在内部，，则的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围为．例61．为等边内一动点，且，则的最小值为．例62．（2022•江苏模拟）已知是边长为3的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为，根据以上性质，函数的最小值为A．2 B． C． D．例64．（2022•唐山二模）在等边中，为内一动点，，则的最小值是A．1 B． C． D．例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰中，角，，所对的边分别为，，，其中为钝角，．点与点在直线的两侧，且，则的面积的最大值为A． B． C． D．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，若△的面积为，则的周长的取值范围为．题型十：隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点为的重心，且，则的最大值为．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形中，，，，若，则的最小值为．例70．（2022•涪城区校级开学）若满足条件，，则面积的最大值为．例71．已知，是圆上的动点，，是圆上的动点，则的取值范围是．例72．（2022•合肥模拟）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，例73．（2022•江汉区校级模拟）中，所在平面内存在点使得，则面积最大值为A． B． C． D．例74．（2022•上城区校级模拟）设，为单位向量，向量满足，则的最大值为A．2 B．1 C． D．例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为A．27 B．16 C．10 D．25例76．已知圆，，为圆上的两个动点，且，为弦的中点，，，，．当，在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为A． B．，， C． D．，，题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设的内角，，的对边长，，成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为．例78．（2022•静安区二模）设的内角，，的对边为，，．已知，，依次成等比数列，且，延长边到，若，则面积的最大值为．例79．（2022•常德一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）延长至，使得，求面积的最大值．例80．在中，若，且的周长为12．（1）求证：为直角三角形；（2）求面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”．如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是A． B．1或 C．2或 D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点在上，的最大值是A． B． C． D．例89．（2022春•辽宁期末）设的内角，，所对的边长分别为，，，且，则的最大值为A． B． C． D．例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，在离地面米的处看此树，离此树的水平距离为米时看，的视角最大．例91．如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为．（1）若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程；（2）已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是A． B． C． D．例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为．已知的三个内角均小于，为的费马点，且，则面积的最大值为．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知内接于半径为的圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“”所用的几何图形．已知点，在以线段为直径的圆上，为弧的中点，点在线段上且，点为的中点．设，，那么下列结论：①，②，③，④其中正确的是A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为A．8 B．16 C． D．例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3 B．4 C． D．例100．（2022•冀州市校级模拟）在中，，，以为边作等腰直角三角形为直角顶点，、两点在直线的两侧）．当变化时，线段长的最大值为A．1 B．