流体力学第二章课件

第二章流体静力学第二章流体静力学11º研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。2º静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。

①绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。重力压力1º研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡2②相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。重力压力重力直线惯性力压力质量力重力离心惯性力压力②相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但3共同点：不体现粘性，无切应力3º适用范围：理想流体、实际流体4º主要内容：œ

œ

流体平衡微分方程式œ

œ

静力学基本方程式（重点）œ

œ

等压面方程（测压计）œ

œ

作用于平面和曲面上的力（难点）

共同点：不体现粘性，无切应力4第一节流体静压强及其特性

一、

基本概念

1、

流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。设微小面积上的总压力为，则平均静压强：

点静压强：

ΔAΔP即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2(Pa)1、

2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P单位：N(牛)第一节流体静压强及其特性一、基本概念平均静压强：点53、流体静压强单位：

国际单位：N/m2＝Pa物理单位：dyn/cm21N=105dyn，1Pa=10dyn/cm2工程单位：kgf/m2混合单位：1kgf/cm2=1at(工程大气压)≠1atm(标准大气压)1at=1kgf/cm2=9.8×104Pa=10m水柱1atm＝1.013×105Pa＝10.3m水柱3、流体静压强单位：国际单位：N/m2＝Pa6二、流体静压强特性

1、

1、

静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。（垂直并指向作用面）证明：反证法证明之。二、流体静压强特性1、

1、

静压强作用方7§2-1流体静压强及其特性流体静压强的两个特性

特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向§2-1流体静压强及其特性流体静压强的两个特性特性8有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。1、2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即只是位置的函数=(x,y,z)——大小特性。（各向相等）证明思路：1、选取研究对象（微元体）2、受力分析（质量力与表面力）3、导出关系式4、得出结论有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔9流体力学第二章课件101、选取研究对象（微元体）

从静止流体中取出一微小四面体OABC，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、dy、dz，设、、、（n方向是任意的）分别表示作用在OAC、OBC、OAB、ABC表面上的静压强，与x、y、z轴的夹角为、、。2、受力分析（质量力与表面力）流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。（1）表面力表面力与作用面的面积成正比。作用在OAC、OBC、OAB、ABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）1、选取研究对象（微元体）从静止流体中取出一微小四面体OA11流体力学第二章课件12（2）质量力质量力与微元体的体积成正比。四面体的体积：

四面体的质量：设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分量是：

（2）质量力四面体的体积：四面体的质量：设单位质量流体的133、导出关系式

因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有：

将上面各表面力、质量力表达式代入后得又即为ABC在yoz平面上的投影面积，3、导出关系式因流体微团平衡，据平衡条件14则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时，有：

同理：

则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点154、得出结论

因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。在连续介质中，p仅是位置坐标的连续函数p=p(x,y,z).同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。呈什么关系？＝》第二节中讨论说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：4、得出结论因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同16

§2-2流体平衡微分方程式一、方程式的建立它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。l

根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程。

l

方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为dx、dy、dz，然后进行受力分析，列平衡方程。§2-2流体平衡微分方程式一、方程式的建立l

17

§2-2流体平衡微分方程式以x轴方向为例，如图所示1、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，dx、dy、dz→0微元体中心：A(x,y,z)A1点坐标：A1(x-dx/2，y，z)A2点坐标：A2(x+dx/2，y，z)2、受力分析

（1）表面力设A处压强：p(x，y，z)因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒级数展开，§2-2流体平衡微分方程式以x轴方向为例，如图所示18略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：则表面力在x方向的合力为：（2）质量力微元体质量：M＝ρdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。则质量力在x方向的合力为：X·ρdxdydz略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：则表面193、导出关系式：

对微元体应用平衡条件，则4、结论：

同理，在y和z方向可求得：

——欧拉平衡微分方程式3、导出关系式：对微元体应用平衡条件20X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量说明：

公式的物理意义：平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。2）公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量单位质量流21二、方程的积分（压强分布公式）

1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得因为p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为2、势函数（力函数）对于不可压缩流体：ρ＝const因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：二、方程的积分（压强分布公式）1、利用Euler平衡微分方22又因为

则有

该函数

U(x,y,z)称为势函数。显然，

U(x,y,z)在

x，y，z方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。（Ⅱ）

（Ⅲ）

代入Ⅱ式得

又因为则有该函数U(x,y,z)称为势函数。（Ⅱ）23所以

令p＝p0时，U＝U0，则C＝p0－ρU0

（Ⅳ）——帕斯卡（Pascal）定律：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。三、等压面1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p＝const）2、方程：所以令p＝p0时，U＝U0，则C＝p0－ρU024由p＝const→dp＝03、

等压面性质①等压面就是等势面。因为。②作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。

③等压面不能相交相交→一点有2个压强值：错误④绝对静止流体的等压面是水平面X＝Y＝0，Z＝－g+性质②⑤两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面由p＝const→dp＝03、

等压面性25证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有：

dp＝

ρ1

dU且

dp＝

ρ2

dU因为

ρ1≠

ρ2≠0所以

只有当dp、dU均为零时，方程才成立。说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp26§2-3重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式

或§2-3重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式或27§2-3重力场中流体的平衡——静力学基本方程形式之一

§2-3重力场中流体的平衡——静力学基本方程形式之一28§2-3重力场中流体的平衡物理意义在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变§2-3重力场中流体的平衡物理意义在重力作用下，静止的不29§2-3重力场中流体的平衡几何意义在重力作用下，静止的不可压缩流体的静水头线和计示静水头线均为水平线§2-3重力场中流体的平衡几何意义在重力作用下，静止的不30§2-3重力场中流体的平衡帕斯卡原理

静压强1自由表面的压强2淹深为、密度为的流体柱产生的压强——静力学基本方程形式之二。

§2-3重力场中流体的平衡帕斯卡原理静压强1自31推广：已知某点压强求任一点压强（3）

（3）静止流体中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。

大小：静力学基本方程式

方向：垂直并且指向作用面（特性一）推广：已知某点压强求任一点压强（3）

（3）静32流体力学第二章课件33§2-3重力场中流体的平衡１绝对压强：以完全真空为基准计量的压强２计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强３真空：§2-3重力场中流体的平衡１绝对压强：以完全真空为基准34注：①只有当时，才用真空度的概念②气体的压强都是绝对压强③尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的注：①只有当时，才用真空度35§2-3重力场中流体的平衡换算

１工程大气压＝１标准大气压＝１巴＝§2-3重力场中流体的平衡换算１工程大气压＝36静力学基本方程式的意义1、

几何意义——位置水头：该点到基准面的高度。

——压力水头:该点压强的液柱高度。

——测压管水头：为一常量静止流体中各点的测压管水头是一个常数静力学基本方程式的意义1、

几何意义——位置水头：该点37§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

测压管

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计测压管38§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

U形管测压计

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计U形管测压计39§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

U形管测压计

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计U形管测压计40§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

测量压差

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计测量压差41§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

倾斜式微压计

微压计系数，0.2、0.3、0.4、0.6、0.8§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计倾斜式微压计微42§2-4液体的相对平衡水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡

静压强的分布规律

代入公式X＝-a，Y＝0，Z＝-g§2-4液体的相对平衡水平直线等加速运动容器中液体43§2-4液体的相对平衡令dp＝0，则:

积分得

倾斜角为

水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡结论：a.等压面是一簇平行斜平面b.等压面与x轴夹角为：（等压面与重力和惯性力的合力垂直）adx+gdz＝0①等压面方程

§2-4液体的相对平衡令dp＝0，则:积分得倾44§2-4液体的相对平衡②自由液面：x＝0，z＝0→C＝0得

水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡则自由液面方程为：

zs——自由液面上点的z坐标§2-4液体的相对平衡②自由液面：x＝0，z＝45③静压强分布

设ρ＝const，对（1）式积分，得

由边界条件：x＝0，z＝0时，p＝p0得：C＝p0则：

——符合静力学基本方程式③静压强分布设ρ＝const，对（1）式积分，得由边46例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压强（装满水）。解：分析：自由液面在哪里？水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合等压面与x轴方向之间的夹角例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m47§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡1、问题描述：容器以ω角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平48§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

受力分析：液体中任一质点所受的质量力有

重力

：

G

惯性力：

F，且

F∝mw2r则随r增大而增大。2、压强分布、等压面方程坐标固定在容器上，坐标原点O在旋转轴与自由液面的交点，z轴竖直向上。因为

（力）所以

（单位质量力）所以

（1）§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平49§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

（2）

（3）

把（1）、（2）、（3）式代入Euler方程的积分式①

①

等压面方程令（4）式dp＝0，得所以得等压面方程

结论：等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。

（4）

§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平50§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

②自由液面方程

对于自由液面，r＝0，z＝0得C＝0则得到自由液面方程

（7）

（7’）

zs为水面高出xoy平面的垂直距离。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平51§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

③流体静压强分布

不可压ρ＝const，积分（4）式得：代入边界条件：r＝0，z＝0时，p＝p0

得：C＝p0结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平52§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

例1：（1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：（不能体现绝压、表压）作用于顶盖上的压强：（表压）§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平53（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：

边缘A、B处：r＝R，z＝0时，p＝0

作用于顶盖上的压强：

（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：54例2：

已知：r1，r2，Δh求：ω0解：因为

所以

例2：已知：r1，r2，Δh因为所以55§2-4液体的相对平衡特例一

顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）等角速旋转容器中液体的相对平衡

§2-4液体的相对平衡特例一顶盖中心开口的旋转容56§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

特例二

顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）

§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平57§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡特例二

边界条件时得§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平58气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构设计时需要计算作用于结构物表面上的流体静压力？结构物表面分平面和曲面两种情况。气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构设计时需要计算作用于59§2-5静止液体作用在平面上的总压力

作用面上的总压力1º解决问题：力的大小、方向、作用点2º预备知识面积矩

惯性矩移轴定理力矩原理平行力系合成微积分

3º作用面：平面：水平、垂直、倾斜曲面：二向（柱面）、三向（球面）4º方法：解析法、图解法5°说明：p一般用相对压强（表压）表示静止液体作用在平面上的总压力

§2-5静止液体作用在平面上的总压力作用面上的总压力面积矩60§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

平行力系问题。1、问题描述：设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为α，面积为A。2、坐标：选坐标如图原点——取在自由液面上；X轴——平面或其延伸面与自由液面的交线；Y轴——垂直于ox轴沿着平面向下。§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总61§2-5静止液体作用在平面上的总压力3、分析（一）总压力的大小在A上取微元面积dA，坐标为y，其上所受总压力为dP，dA对应水下深度为h。则：在面积A上积分：

面积A对ox轴的面积矩，即所以:——总压力计算公式§2-5静止液体作用在平面上的总压力3、分析在面积A上积分：62结论：总压力＝形心处压强×平面面积问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）（二）

总压力的方向：

垂直并指向平面

（三）

总压力的作用点（压力中心）

设总压力P的作用点为D点，对应坐标为yD。

根据平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x轴的静力矩之和应该等于作用在面积A上的合力对x轴的静力矩。即：§2-5静止液体作用在平面上的总压力因为（*）式结论：总压力＝形心处压强×平面面积§2-5静止液体作用在平面63得§2-5静止液体作用在固体壁面上的总压力所以其中：是面积A对

ox轴的惯性矩。由于y坐标，计算不便，可利用平行移轴定理换算成：对通过面积形心c且平行于ox轴的轴线的惯性矩Jc据平行移轴定理，有：所以得§2-5静止液体作用在固体壁面上的总压力所以其中：是面64其中偏心距其中，Jc——平面对通过形心c并与x轴平行的轴的惯性矩，单位m4。

yc——形心c到坐标原点的距离。

压力中心（作用点）D永远在平面形心C的下边，距离为偏心距e§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

结论：作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积与其形心点所受水静压强的乘积。水静压力的方向：沿着受压面的内法线方向。其中偏心距其中，Jc——平面对通过形心c并与x轴65§2-5静止液体作用在平面上的总压力（四）

说明：

①当α＝90º，；当α＝0º，hD＝hC，yD＝yC②两侧都有液体：P＝P1－P2

③形心yc若p0≠0折算成水柱高度：p0＝0（等效自由液面）yc=?5m?10m?2.5m?7.5m?静止液体作用在平面上的总压力

§2-5静止液体作用在平面上的总压力（四）说明：①当α66§2-5静止液体作用在平面上的总压力它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。如图：P＝Ωb（9）b——受压面宽Ω——压强分布图面积Ω在如图情况下的计算方法：压力方向：水平向右。压力作用点：在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。静止液体作用在平面上的总压力

§2-5静止液体作用在平面上的总压力它是利用画出流体静压强的67§2-5静止液体作用在平面上的总压力5、例题：

闸门宽1.2m，铰在A点，压力表G的读数为－14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度γ0＝8.33KN/m3，问在B点加多大的水平力才能使闸门AB平衡？静止液体作用在平面上的总压力

§2-5静止液体作用在平面上的总压力5、例题：闸门宽1.268解：把p0折算成水柱高：

相当于液面下移1.5m，如图示虚构液面则左侧：

压力中心距A点：3.11－2＝1.11m

右侧：

静止液体作用在平面上的总压力

解：把p0折算成水柱高：相当于液面下移1.5m，如图示虚构69设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩∑MA＝0静止液体作用在平面上的总压力

设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩∑MA＝0静70

§2-6静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐标系的三个分量，求出各分量后再合成。工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。

§2-6静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面71求总压力问题就是空间力系的合成问题。取坐标如图，原点——自由液面上；y轴——与二向曲面的母线平行。设α为dA法线方向与x轴方向夹角，则

一、总压力大小

①化整为零②变不平行为平行即曲面上所受的液体总静压力P可分解为在ox轴方向的水平分力Px和在oz轴方向的垂直分力Pz。§2-6静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

求总压力问题就是空间力系的合成问题。§2-6静止流体作用在72§2-6静止流体作用在曲面上的总压力1、水平分力所以

式中为面积A在yoz平面上的投影面对oy轴的面积矩。（1）

§2-6静止流体作用在曲面上的总压力1、水平分力所以式中73§2-6静止流体作用在曲面上的总压力2、垂直分力

因为

（2）

令γ＝C，对（2）式积分

（3）

为压力体体积3、总压力：

静止液体作用在曲面上的总压力

§2-6静止流体作用在曲面上的总压力2、垂直分力因为（74二、总压力的方向总压力的方向与垂线夹角为θ，则三、总压力的作用点P应通过Px与Pz的汇交点E，于是根据E点和α角可确定P作用线位置，此线与曲面交点D即为所求。四、压力体——用于求垂直分力（↑或↓）

1、定义：

静止液体作用在曲面上的总压力

二、总压力的方向三、总压力的作用点四、压力体——用于求垂直分75由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）相交形成的无限多微小体积的总和。1、组成：a.

自由液面或其延伸面b.

曲面c.

沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的铅垂面2、

压力体的画法a.

找自由液面（或其延伸面）p表＝0（当p表≠0，等效方法：h=p/γ）b.找出液固分界面c.据静压力作用方向的不同（↑或↓）找特殊点，分段。d.做虚实压力体。静止液体作用在曲面上的总压力

由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）764、分类a.

a.

实压力体b.

b.

虚压力体c.

c.

综合压力体例如：实压力体（a）：Pz↓充满液体虚压力体（b）：Pz↑空4、分类771）水平分力是受压面边界线封闭的面积在铅直面上的投影面积上的液体压力。2）压力体：通过受压曲面的边界线，向相对压强为0的液面作铅直投射柱面来决定。§2-6静止流体作用在曲面上的总压力结论：1）水平分力是受压面边界线封闭的面积在铅直面上的投影面积上的78五、例题：一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为0.14个大气压，圆柱体长L＝1.2m，半径R＝0.6m，求：圆柱体保持如图所示位置时所静水压力的大小（圆柱体重量不计）。静止液体作用在曲面上的总压力

五、例题：静止液体作用在曲面上的总压力79解：水平分力：→垂直分力：↑

静止液体作用在曲面上的总压力

解：垂直分力：↑静止液体作用在曲面上的总压力80静止液体作用在曲面上的总压力

压力体

曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积

实压力体

虚压力体

§2-6静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力压力体曲面和自由液面或者自由81静止液体作用在曲面上的总压力

复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出静止液体作用在曲面上的总压力复杂曲面的压力体，可以采用分段82第二章流体静力学第二章流体静力学831º研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。2º静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。

①绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。重力压力1º研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡84②相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。重力压力重力直线惯性力压力质量力重力离心惯性力压力②相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但85共同点：不体现粘性，无切应力3º适用范围：理想流体、实际流体4º主要内容：œ

œ

流体平衡微分方程式œ

œ

静力学基本方程式（重点）œ

œ

等压面方程（测压计）œ

œ

作用于平面和曲面上的力（难点）

共同点：不体现粘性，无切应力86第一节流体静压强及其特性

一、

基本概念

1、

流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。设微小面积上的总压力为，则平均静压强：

点静压强：

ΔAΔP即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2(Pa)1、

2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P单位：N(牛)第一节流体静压强及其特性一、基本概念平均静压强：点873、流体静压强单位：

国际单位：N/m2＝Pa物理单位：dyn/cm21N=105dyn，1Pa=10dyn/cm2工程单位：kgf/m2混合单位：1kgf/cm2=1at(工程大气压)≠1atm(标准大气压)1at=1kgf/cm2=9.8×104Pa=10m水柱1atm＝1.013×105Pa＝10.3m水柱3、流体静压强单位：国际单位：N/m2＝Pa88二、流体静压强特性

1、

1、

静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。（垂直并指向作用面）证明：反证法证明之。二、流体静压强特性1、

1、

静压强作用方89§2-1流体静压强及其特性流体静压强的两个特性

特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向§2-1流体静压强及其特性流体静压强的两个特性特性90有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。1、2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即只是位置的函数=(x,y,z)——大小特性。（各向相等）证明思路：1、选取研究对象（微元体）2、受力分析（质量力与表面力）3、导出关系式4、得出结论有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔91流体力学第二章课件921、选取研究对象（微元体）

从静止流体中取出一微小四面体OABC，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、dy、dz，设、、、（n方向是任意的）分别表示作用在OAC、OBC、OAB、ABC表面上的静压强，与x、y、z轴的夹角为、、。2、受力分析（质量力与表面力）流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。（1）表面力表面力与作用面的面积成正比。作用在OAC、OBC、OAB、ABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）1、选取研究对象（微元体）从静止流体中取出一微小四面体OA93流体力学第二章课件94（2）质量力质量力与微元体的体积成正比。四面体的体积：

四面体的质量：设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分量是：

（2）质量力四面体的体积：四面体的质量：设单位质量流体的953、导出关系式

因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有：

将上面各表面力、质量力表达式代入后得又即为ABC在yoz平面上的投影面积，3、导出关系式因流体微团平衡，据平衡条件96则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时，有：

同理：

则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点974、得出结论

因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。在连续介质中，p仅是位置坐标的连续函数p=p(x,y,z).同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。呈什么关系？＝》第二节中讨论说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：4、得出结论因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同98

§2-2流体平衡微分方程式一、方程式的建立它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。l

根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程。

l

方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为dx、dy、dz，然后进行受力分析，列平衡方程。§2-2流体平衡微分方程式一、方程式的建立l

99

§2-2流体平衡微分方程式以x轴方向为例，如图所示1、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，dx、dy、dz→0微元体中心：A(x,y,z)A1点坐标：A1(x-dx/2，y，z)A2点坐标：A2(x+dx/2，y，z)2、受力分析

（1）表面力设A处压强：p(x，y，z)因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒级数展开，§2-2流体平衡微分方程式以x轴方向为例，如图所示100略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：则表面力在x方向的合力为：（2）质量力微元体质量：M＝ρdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。则质量力在x方向的合力为：X·ρdxdydz略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：则表面1013、导出关系式：

对微元体应用平衡条件，则4、结论：

同理，在y和z方向可求得：

——欧拉平衡微分方程式3、导出关系式：对微元体应用平衡条件102X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量说明：

公式的物理意义：平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。2）公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量单位质量流103二、方程的积分（压强分布公式）

1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得因为p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为2、势函数（力函数）对于不可压缩流体：ρ＝const因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：二、方程的积分（压强分布公式）1、利用Euler平衡微分方104又因为

则有

该函数

U(x,y,z)称为势函数。显然，

U(x,y,z)在

x，y，z方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。（Ⅱ）

（Ⅲ）

代入Ⅱ式得

又因为则有该函数U(x,y,z)称为势函数。（Ⅱ）105所以

令p＝p0时，U＝U0，则C＝p0－ρU0

（Ⅳ）——帕斯卡（Pascal）定律：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。三、等压面1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p＝const）2、方程：所以令p＝p0时，U＝U0，则C＝p0－ρU0106由p＝const→dp＝03、

等压面性质①等压面就是等势面。因为。②作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。

③等压面不能相交相交→一点有2个压强值：错误④绝对静止流体的等压面是水平面X＝Y＝0，Z＝－g+性质②⑤两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面由p＝const→dp＝03、

等压面性107证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有：

dp＝

ρ1

dU且

dp＝

ρ2

dU因为

ρ1≠

ρ2≠0所以

只有当dp、dU均为零时，方程才成立。说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp108§2-3重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式

或§2-3重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式或109§2-3重力场中流体的平衡——静力学基本方程形式之一

§2-3重力场中流体的平衡——静力学基本方程形式之一110§2-3重力场中流体的平衡物理意义在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变§2-3重力场中流体的平衡物理意义在重力作用下，静止的不111§2-3重力场中流体的平衡几何意义在重力作用下，静止的不可压缩流体的静水头线和计示静水头线均为水平线§2-3重力场中流体的平衡几何意义在重力作用下，静止的不112§2-3重力场中流体的平衡帕斯卡原理

静压强1自由表面的压强2淹深为、密度为的流体柱产生的压强——静力学基本方程形式之二。

§2-3重力场中流体的平衡帕斯卡原理静压强1自113推广：已知某点压强求任一点压强（3）

（3）静止流体中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。

大小：静力学基本方程式

方向：垂直并且指向作用面（特性一）推广：已知某点压强求任一点压强（3）

（3）静114流体力学第二章课件115§2-3重力场中流体的平衡１绝对压强：以完全真空为基准计量的压强２计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强３真空：§2-3重力场中流体的平衡１绝对压强：以完全真空为基准116注：①只有当时，才用真空度的概念②气体的压强都是绝对压强③尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的注：①只有当时，才用真空度117§2-3重力场中流体的平衡换算

１工程大气压＝１标准大气压＝１巴＝§2-3重力场中流体的平衡换算１工程大气压＝118静力学基本方程式的意义1、

几何意义——位置水头：该点到基准面的高度。

——压力水头:该点压强的液柱高度。

——测压管水头：为一常量静止流体中各点的测压管水头是一个常数静力学基本方程式的意义1、

几何意义——位置水头：该点119§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

测压管

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计测压管120§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

U形管测压计

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计U形管测压计121§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

U形管测压计

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计U形管测压计122§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

测量压差

§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计测量压差123§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计

倾斜式微压计

微压计系数，0.2、0.3、0.4、0.6、0.8§2-3重力场中流体的平衡液柱式测压计倾斜式微压计微124§2-4液体的相对平衡水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡

静压强的分布规律

代入公式X＝-a，Y＝0，Z＝-g§2-4液体的相对平衡水平直线等加速运动容器中液体125§2-4液体的相对平衡令dp＝0，则:

积分得

倾斜角为

水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡结论：a.等压面是一簇平行斜平面b.等压面与x轴夹角为：（等压面与重力和惯性力的合力垂直）adx+gdz＝0①等压面方程

§2-4液体的相对平衡令dp＝0，则:积分得倾126§2-4液体的相对平衡②自由液面：x＝0，z＝0→C＝0得

水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡则自由液面方程为：

zs——自由液面上点的z坐标§2-4液体的相对平衡②自由液面：x＝0，z＝127③静压强分布

设ρ＝const，对（1）式积分，得

由边界条件：x＝0，z＝0时，p＝p0得：C＝p0则：

——符合静力学基本方程式③静压强分布设ρ＝const，对（1）式积分，得由边128例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压强（装满水）。解：分析：自由液面在哪里？水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合等压面与x轴方向之间的夹角例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m129§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡1、问题描述：容器以ω角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平130§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

受力分析：液体中任一质点所受的质量力有

重力

：

G

惯性力：

F，且

F∝mw2r则随r增大而增大。2、压强分布、等压面方程坐标固定在容器上，坐标原点O在旋转轴与自由液面的交点，z轴竖直向上。因为

（力）所以

（单位质量力）所以

（1）§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平131§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

（2）

（3）

把（1）、（2）、（3）式代入Euler方程的积分式①

①

等压面方程令（4）式dp＝0，得所以得等压面方程

结论：等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。

（4）

§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平132§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

②自由液面方程

对于自由液面，r＝0，z＝0得C＝0则得到自由液面方程

（7）

（7’）

zs为水面高出xoy平面的垂直距离。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平133§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

③流体静压强分布

不可压ρ＝const，积分（4）式得：代入边界条件：r＝0，z＝0时，p＝p0

得：C＝p0结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平134§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

例1：（1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：（不能体现绝压、表压）作用于顶盖上的压强：（表压）§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平135（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：

边缘A、B处：r＝R，z＝0时，p＝0

作用于顶盖上的压强：

（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：136例2：

已知：r1，r2，Δh求：ω0解：因为

所以

例2：已知：r1，r2，Δh因为所以137§2-4液体的相对平衡特例一

顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）等角速旋转容器中液体的相对平衡

§2-4液体的相对平衡特例一顶盖中心开口的旋转容138§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

特例二

顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）

§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平139§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡特例二

边界条件时得§2-4液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平140气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构设计时需要计算作用于结构物表面上的流体静压力？结构物表面分平面和曲面两种情况。气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构设计时需要计算作用于141§2-5静止液体作用在平面上的总压力

作用面上的总压力1º解决问题：力的大小、方向、作用点2º预备知识面积矩

惯性矩移轴定理力矩原理平行力系合成微积分

3º作用面：平面：水平、垂直、倾斜曲面：二向（柱面）、三向（球面）4º方法：解析法、图解法5°说明：p一般用相对压强（表压）表示静止液体作用在平面上的总压力

§2-5静止液体作用在平面上的总压力作用面上的总压力面积矩142§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

平行力系问题。1、问题描述：设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为α，面积为A。2、坐标：选坐标如图原点——取在自由液面上；X轴——平面或其延伸面与自由液面的交线；Y轴——垂直于ox轴沿着平面向下。§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总143§2-5静止液体作用在平面上的总压力3、分析（一）总压力的大小在A上取微元面积dA，坐标为y，其上所受总压力为dP，dA对应水下深度为h。则：在面积A上积分：

面积A对ox轴的面积矩，即所以:——总压力计算公式§2-5静止液体作用在平面上的总压力3、分析在面积A上积分：144结论：总压力＝形心处压强×平面面积问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）（二）

总压力的方向：

垂直并指向平面

（三）

总压力的作用点（压力中心）

设总压力P的作用点为D点，对应坐标为yD。

根据平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x轴的静力矩之和应该等于作用在面积A上的合力对x轴的静力矩。即：§2-5静止液体作用在平面上的总压力因为（*）式结论：总压力＝形心处压强×平面面积§2-5静止液体作用在平面145得§2-5静止液体作用在固体壁面上的总压力所以其中：是面积A对

ox轴的惯性矩。由于y坐标，计算不便，可利用平行移轴定理换算成：对通过面积形心c且平行于ox轴的轴线的惯性矩Jc据平行移轴定理，有：所以得§2-5静止液体作用在固体壁面上的总压力所以其中：是面146其中偏心距其中，Jc——平面对通过形心c并与x轴平行的轴的惯性矩，单位m4。

yc——形心c到坐标原点的距离。

压力中心（作用点）D永远在平面形心C的下边，距离为偏心距e§2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

结论：作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积与其形心点所受水静压强的乘积。水静压力的方向：沿着受压面的内法线方向。其中偏心距其中，Jc——平面对通过形心c并与x轴147§2-5静止液体作用在平面上的总压力（四）

说明：

①当α＝90º，；当α＝0º，hD＝hC，yD＝yC②两侧都有液体：P＝P1－P2

③形心yc若p0≠0折算成水柱高度：p0＝0（等效自由液面）yc=?5m?10m?2.5m?7.5m?