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文档简介
计算题1.计算下面的4阶行列式的值：。解：用行列式的性质将D化为三角形行列式：。2.设，求。解：做辗转相除法有，所以为f(x)与g(x)的一个最大公因式，从而。3.设A=，且，求矩阵B。解由得。由于。，，所以可逆。于是。所以。4.求下面的齐次线性方程组的基础解系：。解所以方程组的一般解为，其中为自由未知数。由此得一个基础解系为，。5.用配方法化下面的二次型为标准形：。解==令，则二次型化为标准形。6.设，，求f(A)。解：由f(A)的定义知：，又，所以。7.设，A为V的线性变换，，求A在基下的矩阵。解：因为所以A在基下的矩阵为。8.设解：由，已知f(1)=-3，f(2)=-1，求a，b的值。得：，解得。9.设为3阶实对称矩阵，判别A是否是正定矩阵。解：A的各阶顺序主子式：。由于A的各阶顺序主子式都大于零，所以A是正定矩阵。10.在欧氏空间中，求向量。解：设，由β与正交得：。解得，所以。证明题1.设，证明：f(x)在有理数域上不可约。证明：假设f(x)在有理数域上可约，由于f(x)的次数为3，所以它至少有一个一次因式，于是f(x)至少有一个有理根，但f(x)的有理根只可能是，直接验证知都不是f(x)的根，所以f(x)在有理数域上不可约。2.设A为对称矩阵，而B与A合同，证明B也是对称矩阵。证明：因为B与A合同，所以存在可逆矩阵P使得，于是，由于A为对称矩阵，所以，又，所以，所以B也是对称矩阵。3.设，证明线性无关。证明：设，则，解得，所以线性无关。4.设线性空间V=P[x]，，证明：A是V的线性变换。证明：由于f(x)的导数由f(x)唯一确定，所以A是V的变换。对任意的，有，对任意的，有，A是V的线性变换。5.设是齐次线性方程组AX=0的两个解向量，证明也
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