浙江省杭州市第二中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷 PDF打印版含答案

杭州二中2021学年其次学期高二班级期中考试数学试卷命题：徐存旭审核：陈永毅校对：金诚10330分求的.1.空间中，与向量a(3,0,4)同向共线的单位向量e为（ ）Ae(1,0,1) Be(1,0,1)e1,0,1) e (,0, ) e (,0, ) e ( ,0, )C． 5 5 D． 5 5或 5 5

在下列三个说法中：①已知A、DABBCCDDA0abc}为空间的一组基底，{ab,bc,ca}也构成空间的一组基底．③|(ab)||a||b||c|．其中正确说法的个数是（ ）A．３ B．２ C．１ D．0路灯距地平面为8一个身高为1.6m的人以2m/s的速率在地平面上，从路灯在地平面上射影点C开沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为（ ）7 7 7 1A.20 m/s B.24m/s C.22m/s D.2 m/s函数y2xcosx，则y等于（ ）2cosx B．2sinx C．2sinx D．2xsinx“函数yx33ax在x1处的切线的斜率为6”是“直线xy0和直线xay=0相互垂”的（ 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

fx)asinxbcosxexx

6处有极值，则函数yasinxbcosx的图象可能是（ ）——三节棍，“”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为（0,0,B0,4,C4,4,0D（0,0,，则此三节棍体外接球的表面积是（ ）A.B.C.D.已知B,C三点不共线对平面ABC外的任一点下列条件中能确保点M与点B,C共面的（ A.OMOAOBOC B.OM2OAOBOC

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.411.设A（3,4,1,0,C（0,1,）则AB中点M到点C距离为 .4 x 12.已知函数f(x) ax3 x2（aR）在 3处取得极,则a的值为 .13.若a(1,,2)，b(2,1,1)，a与b的夹角为600，则的值为 .yf(xPyx8，则1 OMOA OB 1

OM OA OB OC

f(5)f(5)= .1 1 C. 2 3 D. 6 3 2 1 1 6.已知空间四周体DABC的每条边都等于1，点E,F分别是AB,AD的 F 点，则FEDC等于（ ） A E

已知ab是两个相互垂直的单位向量，而|c|13ca3cb4.则对1 1A．4 B．43 3

B12于任意实数t,t12

|ctat，1 ，

b|的最小值是 .2C．4 D．42

x3-

x0 x0, 2]aa7.若点M是曲线yx2lnx上的点，则点M到直线xy20的最小距离为（ ）A．2 B．5 C．2 D．3

若不等式 a 值为 ．

的最小如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱ABACAD都在平面若顶点到平面12.建立如图所示的空间直角坐标系的一个法向量为(xy

)x=1则y0= ，z0= ，且顶点D到平面的距离是 .

0 0 0 0杭州二中2021学年其次学期高二班级期中考试数学答题卷题号12345678910答案一、选择题：本大题共题号12345678910答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11．12．13．14．15.16.17.，，三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（10分）f(x)x3ax2bxcx1处取得极值，yf(x在原点处的切线的斜率为3f(x的解析式和极值；m,m,n,t若f(x)在x1处取得的是微小值，问是否存在实数 [1,2]使得f(m)f(n)f(t)成立，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.18.（10分）正方体ABCDABCD的棱长为2OACBDEBB上一点，111 1 1且BE1（Ⅰ）求证：BD平面DAC；1 2 1 1DCD1 1（Ⅱ）求异面直线DO与AD所成角的余弦值；1 1 BA 11（Ⅲ）DOAEC所成角的正弦值．1 ED COA B（11分）PABC中，直线PAABC，且ABC，又点Q，MN分PBABBCKMN.（1）证明：直线QK//平面PAC； P（2）若PAABBC，求二面角QANM的平面角的余弦值.

（11分）已知函数fx)alnx1x21(aR且a0).2 2Q （1）f(x)的单调区间；A M K B

（2）是否存在实数a，使得对任意的x1,，都有f(x)0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.ADBD，ACBD，∴BD平面DAC．1 1 1 1 1（Ⅱ）ADDO所成的角为D(0,0,2)O(1,1,0)1 1 1 ，A(2,0,2)．∴AD(2,0,2)，1 1 |ADDO| 2 3cos 1 1 DO2)．∴ |AD||DO| 2 2 6 6．1 1 13ADDO所成角的余弦值为61 11（Ⅲ）设平面AEC与直线DO1

所成的角为

．设平面

AEC的法向量为n(x,y,z)．3 3 3E(2,2, 2

，C(0,2,0)

，

AE(0,2, ) EC(2,0, )， 2， 2． x3z4nAE0 4 nEC0

3 3 3 3 y

z x ,y

n

, ,1) 4

，令z1，则 4 4， 4 4 ．高二数学参考答案

sin

cosDO

|nDO1

7 51一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 |n||DO| 51．1．7 51题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C A D A C B D A二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

所求平面AEC与直线DO所成角的正弦值为51 ．119（本题满分12分）1）f(x)3x22axb1f(0)0 c0f0 2ab0 f'(0)3 3

a0,b3,c01 1 由题可得 ，解得11. 14 ；12. 2；13.1或-17；14.2； 15.12； 16. 4; 17. 2，6，6三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.Dxyz

f(x)x33x且f(x)的极大值为f(1)2，微小值为f(1)20 b2a318.（本题满分8分）:（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ．D(0,0,0)C(0,2,0)A(2,0,0)B(2,2,2)D(0,0,2)

（2）由题32ab01 1 f(x)x3ax2(2a3)x,f'(x)3x22ax(2a(x2a∴11AD(2,0,2)，AC(2,2,0)，BD(2,2,2)．∴11

2a31

131ADBD40401 1

ACBD4401

,AC

ADA点

由于f(x)在x1处取得的是微小值，则可得 3 3 3f(x)

2

m,n,t2

f(m)f(n)f(t)且 在

上单调递增，要想存在实数 使得

成立，则只需2ff(3) 2(2a)3a9a23 a232， 4 8 10， 10.20.（本题满分10分解以B为原点以BCBA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系设PAABBC2 f(x)的单调递增区间是(0, a)，单调递减区间是( a,).则（0,2,，0,10，（1,0,，p(0,2,2),Q(0,1,1),AQ=(0,-1,1), AN(1,2,0)nAQ0yz

①当a1，即0a1f(x)在[1,.所以f(x)在[1,)上的最大值为f(1)0，即对任意的x[1,)，都有f(x)0.记n(x,y,z为平面AQN的一个法向量，则nAN取yz则x2 n(2,1,1)

x2y0又平面ANM的一个法向量21.（本题满分12分）

m

，所以cos