2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.2平面向量基本定理及坐标表示 教案讲义 （Word解析版）

共13页/第页7.2平面向量基本定理及坐标表示课标要求考情分析核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查数学建模数学运算直观想象1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有使a=λ1e1+λ2e22.平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示设a=x1,y1，b=xa=x12+(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设Ax1,y1，3.平面向量共线的坐标表示设a=x1,y1，b=x21.不共线的两个向量可作为一组基底,基底可以有无穷多组;0不能作为基底;基底一旦确定,分解方式唯一;2.若a与b不共线,λa+μb=03.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系，两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.4.定比分点公式(1)向量形式：设D为△ABC一边BC上一点,设BD=(2)坐标形式：已知两点Ax1,y1，Bx21.【P35T5多选】当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为(

)A.43,2 B.43,32.【P27T3】如图所示△ABC中，AB=a，AC=b，2AE=AB，3AF=AC.线段BF，CE相交于点P．

(1)用向量a与b表示BF及CE;考点一平面向量基本定理及其应用【方法储备】应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。用平面向量基本定理解决问题的一般思路:角度1用基底表示平面向量【典例精讲】例1.(2022·天津市期中)如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB=a，AC=b，以向量a，b为基底，则向量AEA.12a+b B.14a【名师点睛】本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．【靶向训练】练1-1(2021·山东省青岛市期末.多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的(

)A.a=e1+e2，b=e1B.a=2练1-2(2022·浙江省模拟)如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，DF=35AF，设AC=a，AB=b，试用a，b表示AE，AD，BD角度2平面向量基本定理的应用【典例精讲】例2.(2022·山东省淄博市期中.多选)

等边三角形ABC中，BD=DC，EC=2AE，AD与BE交于F，则下列结论正确的是A.AD=12(AB+AC)B.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量基本定理的应用.【靶向训练】练1-3(2022·河南省郑州市模拟)正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF=(

)A.12AB+12AD练1-4(2022·山东省泰安市期末)如图，在△ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点若AE=λAB+μAC，则λμ=

考点二平面向量的坐标运算【方法储备】1.利用向量的坐标运算解题步骤2.两平面向量共线的充要条件有两种形式3.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略【特别提醒】利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由向量平行求参数,当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.角度1平面向量的坐标运算【典例精讲】

例3.(2022·全国乙卷文科)已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则|aA.2 B.3 C.4 D.5【名师点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算．【靶向训练】练2-1(2022·浙江省台州市期中)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(-4,-3)，则向量BC=(

)A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)练2-2(2022·浙江省模拟)在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ，则点Q的坐标是(

)A.(-72,-2) B.(-72,角度2向量平行(共线)的坐标表示【典例精讲】例4.(2022·广东省茂名市月考)已知a=(1,0)，b(1)当k为何值时，ka-b与(2)若AB=2a+3b，BC→=a→+m【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．

(1)结合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再结合向量共线定理可得2(k-2)-(-1)×5=0，解方程即可求出k的值；(2)【靶向训练】练2-3(2021·湖南省邵阳市期中)已知向量a=(1,2),b=(-2,m)，若a//bA.-1 B.-4 C.4 D.1练2-4(2022·山东省临沂市期中)已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ).若c//(2a+角度3定比分点坐标表示【典例精讲】例5.(2021·福建省福州市模拟)设D,E,F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2CE=2EA,AF=2FBA.互相垂直B.同向平行C.反向平行D.既不平行也不垂直【名师点睛】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是中档题目．根据平面向量基本定理和向量的定比分点坐标公式，将AD，BE，CF分别表示出来，再进行运算，即可得出结论．

【靶向训练】练2-5(2021·江苏省苏州市模拟.多选)在平面直角坐标系xOy内，O为坐标原点，已知OA=(-1,4)，OB=(8,-5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(

)A.(2,1) B.(3,0) C.(4,-1) D.(5,-2)练2-6(2022·辽宁省模拟)(1)若a,b是不共线的两个向量，设OAOC=a+mb((2)已知A(1,1),B(5,9)，点C为线段AB上靠近B的四等分点，求点C的坐标．考点三坐标法在向量中的应用【方法储备】1.建立平面直角坐标系，根据向量间的关系，或者具体图形的结构特征，给向量赋予坐标，再进行向量间的运算，凸显向量的代数特征.2.向量与三角函数、解析几何、函数等结合考查时，难度较大，往往选择将向量坐标化，转化为代数问题解决.【典例精讲】例6.(2022·湖北省襄阳市模拟)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n=【名师点睛】建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值．【靶向训练】练3-1(2022·山东省菏泽市模拟)如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，λ练3-2(2022·湖北省联考)已知四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=1，动点P满足|CP|=1，若AP=xAB+yAD则2x+y核心素养系列数学建模、数学运算——平面向量与三角形的四心向量具有代数与几何形式的双重身份，它是联系多个知识的媒介，因此理所当然的成为中学数学知识的一个交汇点，因此，将平面几何与平面向量融合交汇是新课程高考命题改革的一个发展方向和创新的必然趋势．【方法储备】1.四心的概念介绍2.四心与向量的结合(1)重心的向量形式①GA+GB+②PG=13PA+PB③若△ABC的三个顶点坐标为Ax1,y1,Bx(2)内心的向量形式①设a,b,c是△ABC的三条边长,O是②P是△ABC内任意一点,若AP=λABAB+ACAC,λ>0(3)垂心的向量形式OA∙OB(4)外心的向量形式OA=OB=【典例精讲】例7.(2022·山东省烟台市模拟.多选)对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是(

)AOB.OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC

C.过点G的直线l交AB、AC于E、F，若【名师点睛】本题考查了平面向量的综合应用，涉及了三角形外心、重心、垂心的应用，属于拔高题．

利用向量数量积的定义即可判断选项A，利用向量数量积的运算法则将OA⋅OB=OA⋅OC变形，得到OA⊥BC，利用三角形的外心的定义即可判断选项B，利用平面向量基本定理的推论即可判断选项C，利用向量数量积的运算和向量垂直的条件可判断【靶向训练】练4-1(2021·甘肃省兰州市期末)在△ABC中，设AC2-AB2=2AM⋅BC，则动点A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心练4-2(2022·安徽省合肥市期中)若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若aGA+bGB+A.90° B.60° C.45° D.30°

易错点1．平面向量基本定理理解错误例8.(2022·福建省福州市模拟)若α，β是一组基底，向量γ=xα+yβ(x,y∈R)，则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标．现已知向量a在基底p=(1,-1)，q=(2,1)下的坐标为(-2,2)，则a在另一组基底m=(-1,1)，A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2)易错点2．混淆点的坐标与向量的坐标致错例9.(2021·辽宁省期中)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(-1,-2)，C(3,1)，且BC=2AD，则顶点D的坐标为(

)A.(2,72) B.(2,-1易错点3．记错两个向量平行(共线)的坐标关系例10.(2022·山东省临沂市模拟)已知向量a=(x,1),b=(4,x),则“x=2”是“a//A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案解析【教材改编】1.【解析】由题意，设Px,y，∵P是线段P1P2的一个三等分点，∴P1P=2即x=8-2xy-1=8-2y或x=2-x2y-1=2-y2,解得2.【解析】(1)由题设，BF=BA+AF=13AC-AB=13b-a，

CE=CA+AE=12AB-AC=12a-b．【考点探究】例1.【解析】因为E为CD的中点，则AE=12(AD+AC).因为D为AB的中点，则AD=12AB．

所以练1-1.【解析】对A，因为a不能用b表示，所以a，b不共线，故A符合题意；

对B，因为b=14a，所以a，b共线，故B不符合题意；

对C，因为a不能用b表示，所以a，b不共线，故C符合题意；

对D，因为a不能用b表示，所以a，b不共线，故D练1-2.【解析】因为CB=AB-AC=b-a，CE=23CF=13CB=1例2.【解析】如图，

等边三角形ABC中，BD=DC，D是BC中点，所以AD=12(AB+AC)，A正确；

EC=2AE，所以BE=BC+CE=BC+23CA=BC+23(BA-BC)=13BC练1-3.【解析】∵E，F分别是DC，BC的中点，

∴EF=12练1-4.【解析】因为在△ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，

所以设AE=mAD(0<m<1)．

因为BD=13BC，

所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，即

例3.【解析】∵a=(2,1)，b=(-2,4)，∴故选D.练2-1.【解析】设C(x,y)，因为A(0,1)，AC=(-4,-3)，所以x=-4,y-1=-3,

解得x=-4,y=-2,所以C(-4,-2)，又B(3,2)，所以BC=(-7,-4)练2-2.【解析】设∠POx=α，

因为P(6,8)，所以OP=(10cosα,10sinα)，所以cosα=35，sinα=45，例4.【解析】(1)ka-b因为ka-b与a+2b(2)因为A，B，C三点共线，所以AB=λBC(λ∈R)，即2a+3练2-3.【解析】∵a//b；∴1⋅m-(-2)⋅练2-4.【解析】∵向量a=(1,2)，b=(2,-2)，∴2a+b=(4,2)，∵c=(1,λ)，c例5.【解析】如图所示，

△ABC中，DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，

根据定比分点的向量式，得

AD=AC+2AB1+2=13故选C．练2-5.【解析】∵OA=(-1,4)，OB=(8,-5)，∴AB=OB-OA=(9,-9)，

∵P是线段AB的三等分点，∴AP=13AB或AP=23AB，

则AP=13(9,-9)=(3,-3)或AP练2-6.【解析】(1)由题意得，AB=OB-OA=(2a-b)-(3a+b)=-a-2b，

BC=OC-OB=(a+mb)-(2a-b)=-a+(m+1)b，

∵A，B，C三点共线，∴AB，BC共线，∴m+1=-2例6.【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，

由OA与OC的夹角为α，且tanα=7，∴cosα=152，sinα=752，∴C(1∴B(-35,45)．

解得n=74，m=54，则m+n=3练3-1.【解析】设AB=a，AD=ba≠0,b≠0，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示坐标系，

则A0,0，Ba,则MN=-12a即-1则-12a=λ1a-12λ2a练3-2.【解析】建系如图

设C(0,0)，D(2,0)，A(2,1)，B(0,1)，P(c