案例声学原理

讲授周期力/一般力强迫振动求解思路双振子/多振子振动求解思路弦的振动2周期力强迫振动如何解?一般力分析方法3方波的分解图v03v05v00（基频为v

）x1+

x3+

x5OOOOO任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列谐振动的叠加例如:：（基频为v0）由

理论，有x(t)0

0

0

3

5x

(t)

4

sin

2π

t

4

sin

6π

t

4

sin

10π

t

结论：1.

可分解为v0

，3v0

，5

v0

等谐振动的叠加。2.谐频次数越高的项振幅越小。Avv03v05v0

7v频谱图0OO5o

1

3

5

71o

1 3 5 71o1

2

3

4

5

6

710x6tooooa矩形b三角形c锯齿形d阻尼振荡o离散谱和连续谱0.2.40020246810121416幅度/Pa010002000010203040幅度/PaCW波（正弦调制脉冲）7？X

()e

jt

d8n0f

(t)

nnj

tC

ejn

Zn

(n

)C

e

jntxn(t)

n

x(t)

xn

(t)nT2

T2

1nf

(t)e

dt

j

tTCnn

f

(t)e

jt

dt2F

()

1F

()e

jt

d2f

(t)

1F

()jZ

()X

()

x(t)

周期力一般力高次减小谐频响应平坦单

度振子在外力作用下响应模式910作业习题11-37多度系统振动受力分析11微分方程组xn

C

cos(t

)

C

cos(t

)双振子

振动振型固有频率13双振子特征值和特征向量

0

m

解：建立广义坐标如图，由视察法得到方程0

k

k

2k

M

m

K

2k2

1m

1W

M

1

K

k

2

0m

k

2

m

2k

2

特征方程为三

度系统M

x

K

x

0W

I

0展开为

0mmmm

k

2

k

2

k

k14特征值为m1

3

k

km21

3

k

m

(

)2

k

m

(

)15

11X

1

特征向量

i

I

adj

Wm

k

m

m

2

k

3

kadj

3

km2

kkmmm1

3

k16

22mkm

k特征向量

i

I

adj

W

km2

m

m

2

k

k

kadj

k

m m

2

kkmm

22mkmk

1711X

1三振子解：建立广义坐标如图，由视察法得到方程0

m

0 0

2kM

0

m0

0

m2

0k

0

K

k

2k

k

0

k

2k

2

1 0

2

11m

W

M

1

K

k

1

0m

m

mk

k

2k

2

m

2k

m

k

2

m

2k特征方程为三

度系统M

x

K

x

0W

I

0展开为

0

k

2

k

m

m002

k

k

m

mk

2

kmkmm182

0m

m

k

2k

k

2

k

m

m

m

m

2k

2k特征值为

kmm2

2

k2

km3

2

km

1

2

2

1

0.765km

2

1.414km3

1.8484k

k

2

2

0

m

2

m

2km

16

8

19

m

m

k

2

k

22

k

1m

2

1

2

1

1X

特征向量iadj

W

I

2

kmm

k

adj

m

2

k

2

km

km0m2

km0

k

2

2

m

k2

k

2

m2

km2

km1

2

222km2

k

m

m

k20

1

1

2X

0

特征向量iadj

W

I

m

k

20

kmmm

mm

mk

2

km

2

k

2

k

km

k

2

k

2

km0adj

m2

2

k

222 0

m

kmk

m

k节点21

12

1

3X

特征向量iadj

W

I

2

kmm

k

adj

km

km0m2

km0

k

2

2

m

m

k2

k

2

m2

km

2

k

2

2

km3

2

222mkm

2

k

mk节点22求出各个频率

i

后，代回到原方程可求得X

，i

只能求出各质点位移的相对值（保持不变）振型23M

x

K2

2

21

1

22

2

m

x

k

x

k

x

0m1x1

k11

x1

k12

x2

0

xt

X

sin

t

k

2

M

X

0k

2

M

0未知数的一元n次方程。这是一个以为2解出1,2

,......,nn

度系统，质量阵和刚度阵是n×n矩阵，有n个特征值和特征向量固有圆频率n

度系统，有n个固有圆频率

i

2

(i

=1,2,…,n

)1

2

n主振型和振型矩阵n

度系统，有n个主振型{x

}i

(i

=1,2,…,n

)，振型矩阵为

节点第i个主振型有i-1个节点24多度系统在简谐激励下稳态响应特性多

度系统在简谐激励下稳态响应为简谐振动，振动频率与激励力频率相同；放大因子随无量纲激励频率变化的规律是：

、

振、

…交替出现。25xkkxm02222

kk22k1

x1

F1

sin

t

2

m1

0

x1

0

x

X

x1

X1

sin

t

2

2

代入方程,

消去不恒等于零的简谐

得

02

2

k1

k2

2m1222

kX

k2

X1