数学建模投资收益和风险的模型0001

投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则，将投资分散化。一问题的提出某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（5）（如债券、股票等）可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买S,的期望收益率（,）、交易费率（匕）、风险损失率（％）以及同期银行存款利率（=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响，而净收益和总体风险只受r,,p,%影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，风险尽可能小.表1投资项目si期望收益率r（%）i风险损失率q（%）i交易费率p（%）i存银行s0300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中,0,1,2,3,4,5.二问题假设及符号说明问题假设⑴总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；⑵在投资中，不考虑通货膨胀因素，因此所给的s,的期望收益率r为实际的平均收益率;

⑶不考虑系统风险，即整个资本市场整体性风险，它依赖于整个经济的运行情况，投资者无法分散这种风险，而只考虑非系统风险，即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。符号说明X.：购买第f种资产的资金数额占资金总额的百分比；Mx:购买第i种资产的资金数额； Mx：存银行的金额;R:净收益;f(x):交易费用;R:净收益;。：总体风险;。：总体风险;P.:第i种投资的净收益率。三模型的分析与建立令交易费用则净收益为总体风险为约束条件为可以简化约束条件为同时将M=M£(1+p)x代入，得i=0略去M,原问题化为双目标决策问题:(3.1)minQ=maxxq(3.1)04V51'以下设r-p>0，否则不对该资产投资。四模型的求解4.1固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，将模型(3.1)化为minQ=maxqx0<i<5'1£(r-p)x=R,(1)i=0

i=0£(1+£(1+p)x=1,⑵(4.1)iii=0,1,L,5此模型又可改写为

令p,=（r-pi）/（1+p）,pi表示第i种投资的净收益率，则pi必大于p0，否则，若匕<po,则不对Si投资，因为对该项目投资纯收益率不如存银行，而风险损失率又大于存银行。将pi从小到大排序，设pk最大，则易见对模型（4.1）的可行解必有0.03<R<pk.当R=0.03时，所有资金都存银行，Q=0;当R=pk时，所有资金用于购买S,,Q=-q-；当0.03<R<p时，有如下结论⑺。+p kk结论：若0.03<R<pk,（x0,XjL,x5）是模型（3.2.2）的最优解，则苧1=L=x5q§⑺。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即\%=x2q2=L=x5q§时，总体风险最小⑻。证：设y,y,L,y5是满足xq-xq=L=x5q5的一组解，即yq=yq=L=yq=Q*。显然此时Q*为总体风险。由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。（比如说将y1的值增加为y1*会使得y1*q1>Q*，总体风险显然增加；反之，若减小八的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。）因此，当Rg（0.03,pk）时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去x0；2）将xi=Qi代入解出Q；3）由x-Q，1<i<5，x-1—£（1+p）x求出最优解。iq 0 iii i-1所以，我们算得如下结果：R=0.03时，x=1,x-x-x-x-x=0,Q-0；（2）（3）R-0.26/1.01时，x（2）（3）R-0.26/1.01时，x0-x2-x3-x4-x5-0,x1-1/1.01,Q-0,024/1.01；Rg(0.03,0.26/1.01)时，Q-Rj*；,x1R—0.03 ，x0.9641 2R—0.030.6428R—0.03 ，2.0889R—0.03 ，0.8838x-R―0.03，x-1-1.01x-1.02x-1.045x-1.065x-R—0.03 ，0.88385 0.6026 0 1 2 3 4 5事实上应用Lingo软件可算得如下结果:表1最小风 投资S的资金百分比x （i-0,1,2,3,4,5.）收益R险广Q i i

0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/1.010.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00004.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，将模型(3.2.1)化为maxR=25(r-p)x,i=0‘J",s.t.|2(1+p)x=1, (3.2.3)i=0^x>0,(i=0,1,L,5.)

对于每一个Q,用模型(3.2.3)都能求出R,由净收益率pi=(r「pi)/(1+p),直观上想到pi越大，、应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。结论［7］设(%,\,L,x5)是模型(3.2.3)的最优解，若pi>pj,%」>0，则xi=Q/q,。证明：反证法。假设pi>p」,Xj>0，而x<Q/qi。选取充分小的正数£，使得(Xi+e)q<Q，e(1+p)<x(1+p)。令x.*=x.+e，x.*=x-£(1+p)/(1+p)，当k中i,j时，令x*=x，则x*>0,且2x2x*(1+p)-k kk-o2x*(1+p)+(x+e)(1+p)+[xk ki ijk丰i1,j_£(1+pi)/(1+p)](1+p)=12x*(r一p)=2x*(r一p)+(x+£)(r-p)+[x-£(1+p)/(1+p)](r一p)>2x(r一p)。则kkk kkki iij i jjj kkkk-0 k丰i,j k=0(x0*,x1*,L,x5*)才是最优解，因此(x0,x『L,x5)不是模型(3.2.3)的最优解。此处矛盾，则结论成立，证毕。由此结论，我们可将pi从大到小排序，使pi最大的k应尽量满足xkqk-Q,若还有多余资金,再投资p次大的，LL。对于不同的Q，会有不同的投资方案，我们可以算出Q的临界值，从而确i定各项目的投资值。因此，设p1>p2>p3>p4>p5>p0,则可用下面的方法算出各临界值Cjc/;，cc。只有一种投资时,C](1+p1)=q1，C]=qj(1+p1)=0.023762。当有两种投资时，将\=cJq,x2-c2/q2，代入xJ1+pj+x2(1+p2)=1，得c2=qqJ[(1+p1)q2+(1+pJqJ=0.009449。同理可得：c=qqq/[(1+p)qq+(1+p)qq+(1+p)qq]=0.007941，于是得最优解：当Q=0.000000时，x=1,x=x=x=x=x=0。当0<Q<0.004131时，x1=QZ，x2=Qq2，x3=Q/q3，x4=Qq4,x5=Qq5,"0=1二(1+P)%。i=1当0.004131<Q<0.005736时，X1=X1=Q”,X2-Qq2,X3-Qq3,X4-QqX=[1-X(1+p)X],(1+p),X=0。4,5 iii—1当0.005736<Q<0.007941时，X1X1=QqX2=Qq2,X3=Qq,X=[1-2(1+p)X]..'(1+p),X当0.007941<Q<0.009449时，X]=Qjq、,x2=Qjq,X=[1-2(1+pX]=Qjq、,x2=Qjq当0.009449<Q<0.023762时，x—Q/q,x—[1-(1+p)x]/(1+p),x—x—x—x—0。当Q>0.023762时，X—1/（1+p）,X—X—X—X—X—0。当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。为了能够给不同风险承受能力的投资者提供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最优收益值R和最小风险度Q的值之间的对应关系。因此，我们将模型（3.2.3）改写成如下形式:)x+L+G-pmaxR—(r-p)x+)x+L+G-p为此编写MATLAB程序（见附录），从风险度Q—0开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索⑸根据附录中程序一，最优收益值R和最小风险度Q以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下:风险度Q最优收益投资si的资金百分比x. ii―0,1,2,3,4,5.)R00.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.2667

0.00500.20440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000从上表可以看出，风险越大，收益也越大，冒险的投资者可能会集中投资，而保守的投资着者则会尽量分散投资。但是，在风险度Q从0.0000增长到0.0080过程中，风险增加很少时，收益增加也很快，而风险度Q在0.0080之后，风险增加很大时而收益却增加的很缓慢。由于在风险度Q从0.0240之后，最优收益尺已经达到最大，不再增加，所以对于一般投资者来说，选择Q=0.0240,R=0.2574时的安排才为最优投资组合方案。使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益一风险最大原则，可取模型maxR.Q，

由于q。=0，因而取同上，由于q°：0x=1,x=x=L=由于q。=0，因而取同上，由于q°：0minQ；R,因而取x0=1,\=x2=L=x5=0时，minQ/R=0,从而可知，全部钱存银行是最优解。对于此问题，其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解，故这种模型不够好。偏好系数模型由偏好系数法，我们选取偏好系数M0<^<1）,建立模型max[（1-日）R一日y],具体数据可应用参数规划法进行计算。权重r[0,0.7200]最小风投资S.的资金百分比x^ (i=0,1,2,3,4,5)险度Q0.02380.00000.99010.00000.00000.00000.0000[0.7210,0.7920]0.00790.00000.33090.49630.15270.00000.0000[0.7930,0.9070]0.00520.00000.21490.32230.09920.00000.3438[0.9090,0.9750]0.00410.00000.17190.25790.07940.18760.2751[0.9760,1]0.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000附录一模型一Lingo语句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab程序>>R=0.03>>whileR<0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fvalx=xplot(R,Q,'m.')axis([00.300.03])xlabel('收益R')ylabel(,最小风险度Q,)title('最小风险度Q随收益R的变化趋势图,)holdonR=R+0.01;gridonendR=0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab程序>>Q=0>>while(1.1-Q)>1%orQ<0.1;C=[-0.03-0.26-0.20-0.205-0.165-0.19];A=[00.0240000;000.016000;0000.05200;00000.0220;000000.015];B=[Q;Q;Q;Q;Q];Aeq=[11.011.021.0451.0651.02];Beq=[1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(5,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fvalx=xplot(Q,R,'m.')axis([00.100.5])xlabel('风险度Q')ylabel('最优收益R,)title('最优收益R随风险度Q的变化趋势图')holdonQ=Q+0.001;gridonenda=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub二口；[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo语句max[(1-日)R一日y