6.1 不等关系与不等式doc-高中数学

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第六单元不等式

6.1不等关系与不等式

一、选择题

1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()

A．a＋

eq\f(1,b)

>b＋

eq\f(1,a)

B.

eq\f(b,a)

>

eq\f(b＋1,a＋1)

C．a－

eq\f(1,b)

>b－

eq\f(1,a)

D.

eq\f(2a＋b,a＋2b)

>

eq\f(a,b)

解析：∵a>b>0，∴

eq\f(1,b)

>

eq\f(1,a)

，∴a＋

eq\f(1,b)

>b＋

eq\f(1,a)

.

答案：A

2．下列命题正确的是()

A．若ac＞bc⇒a＞b B． 若a2＞b2⇒a＞b

C．若

eq\f(1,a)

＞

eq\f(1,b)

⇒a＜b D．若

eq\r(a)

＜

eq\r(b)

⇒a＜b

解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.

答案：D

3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是()

A．a＜

eq\f(a2＋b2,2)

＜b B．a＜b＜

eq\f(a2＋b2,2)

C．b＜a＜

eq\f(a2＋b2,2)

D．b＜

eq\f(a2＋b2,2)

＜a

解析：a＝sin15°＋cos15°＝

eq\r(2)

sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝

eq\r(2)

sin61°，∴a＜b，排除C、D两项．又a≠b，∵

eq\f(a2＋b2,2)

＞ab＝

eq\r(2)

sin60°·

eq\r(2)

sin61°＝

eq\r(3)

sin61°＞

eq\r(2)

sin61°＝b，故a＜b＜

eq\f(a2＋b2,2)

成立．

答案：B

4．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()

A．xy＞yzB．xz＞yzC．xy＞xzD．x|y|＞z|y|

解析：由已知3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0.由

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞z，))

得xy＞xz.

答案：C

二、填空题

5．下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中能使

eq\f(1,a)

＜

eq\f(1,b)

成立的充分条件有______．

解析：

eq\f(1,a)

＜

eq\f(1,b)

⇔

eq\f(b－a,ab)

＜0⇔b－a与ab异号，①②④能使b－a与ab异号．

答案：①②④

6．设a＞1且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m、n、p的大小关系为________．

解析：∵a2＋1＞2a(a＞1)，∴loga(a2＋1)＞loga(2a)．

又∵a－1－2a＝－a－1＜0，∴a－1＜2a，∴loga(a－1)＜loga2a.∴m＞p＞n.

答案：m＞p＞n

7．a、b、c、d均为实数，使不等式

eq\f(a,b)

>

eq\f(c,d)

>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________．(只要写出适合条件的一组值即可)

解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如(2,1，－3，－2)．

答案：(2,1，－3，－2)

三、解答题

8．设a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，比较

eq\f(a3,b2)

＋

eq\f(b3,a2)

与a＋b的大小．

解答：作差

eq\f(a3,b2)

＋

eq\f(b3,a2)

－(a＋b)＝(a3－b3)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))

＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)

eq\f(1,a2b2)

，

∵a、b∈(0，＋∞)且a≠b，∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，

eq\f(1,a2b2)

均为正数．

∴(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)

eq\f(1,a2b2)

>0，∴

eq\f(a3,b2)

＋

eq\f(b3,a2)

＞a＋b.

9．设m∈R，a＞b＞1，f(x)＝

eq\f(mx,x－1)

，比较f(a)与f(b)的大小．

解答：f(a)－f(b)＝

eq\f(ma,a－1)

－

eq\f(mb,b－1)

＝

eq\f(m(b－a),(a－1)(b－1))

.

∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0，∴

eq\f(b－a,(a－1)(b－1))

＜0.

当m＞0时，

eq\f(m(b－a),(a－1)(b－1))

＜0，f(a)＜f(b)；

当m＜0时，

eq\f(m(b－a),(a－1)(b－1))

＞0，f(a)＞f(b)；

当m＝0时，

eq\f(m(b－a),(a－1)(b－1))

＝0，f(a)＝f(b)．

10．设a＞0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，试比较P与Q的大小．

解答：∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，∴a>0，a3－1>0，a2－1>0，∴a>1.

又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1，∴loga(a3－1)>loga(a2－1)．即P>Q.

1．(2009·全国Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg

eq\r(e)

，则()

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a

解析：0＜lge＜1，即0＜a＜1；b＝(lge)2＝a2＜a；c＝lg

eq\r(e)

＝

eq\f(1,2)

lge＝

eq\f(1,2)

a＜a，

又b＝(lge)2＜lg

eq\r(10)

·lge＝

eq\f(1,2)

lge＝c，因此b＜c＜a.

答案：B

2．设x1、x2是区间D上的任意两点，若函数y＝f(x)满足f(

eq\f(x1＋x2,2)

)≤

eq\f(f(x1)＋f(x2),2)

成立，则称函数y＝f(x)在区间D上下凸．

(1)证明：函数f(x)＝x＋

eq\f(1,x)

在区间(0，＋∞)上下凸；

(2)若函数y＝f(x)在区间D上下凸，则对任意的x1，x2，…，xn∈D有f(

eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)

)≤

eq\f(f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn),n)

.试根据下凸函数的这一性质，证明：若x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，则(x1＋x2＋…＋xn)(

eq\f(1,x1)

＋

eq\f(1,x2)

＋…＋

eq\f(1,xn)

)≥n2.

证明：(1)设x1>0，x2>0，则f(

eq\f(x1＋x2,2)

)－

eq\f(1,2)

[f(x1)＋f(x2)]＝

eq\f(x1＋x2,2)

＋

eq\f(1,\f(x1＋x2,2))

－

eq\f(1,2)

(x1＋

eq\f(1,x1)

＋x2＋

eq\f(1,x2)

)＝

eq\f(2,x1＋x2)

－

eq\f(1,2)

(

eq\f(1,x1)

＋

eq\f(1,x2)

)＝

eq\f(4x1x2－x2(x1＋x2)－x1(x1＋x2),2x1x2(x1＋x2))

＝

eq\f(－(x1－x2)2,2x1x2(x1＋x2))

≤0，

∴f(

eq\f(x1＋x2,2)

)≤

eq\f(1,2)

[f(x1)＋f(x2)]．由定义可知f(x)＝x＋

eq\f(1,x)

在区间(0，＋∞)上下凸．

(2)由(1)可知f(x)＝x＋

eq\f(1,x)

在(0，＋∞)上下凸，根据性质，有

eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)

＋

eq\f(1,\f(x1＋x2＋…＋xn,n))

≤

eq\f((x1＋\f(1,x1))＋(x2＋\f(1,x2))＋…＋(xn＋\f(1,xn)),n)

，∴

eq\f