小学数学讲义秋季五年级超常第14讲方程法解行程超常体系

第14讲第十四讲方程法解行程站牌五年级寒假钟问题级春季解行程级秋季级秋季解行程级春季及综合与发车程中找到等量关系，并利用方程解决行程问题.释义第9级下超常体系教师版 引入数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．目标精讲1.审题，分析题意，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系.2.设未知数，3.列方程4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则.5.答题检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位，写出答案二、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系，s、v、t三个量的关系为s=vt，或2第9级下超常体系教师版第14讲三、相遇问题基本公式：速度和×相遇时间遇路程四、追及问题基本公式速度差×及时间=追及点回顾为4米/秒，两人同时出发.（1）____秒时两人会到同一地点.（2）____秒时两人相距100米.【分析】（1）在同一地点，有可能是相遇，也可能是追及，因此有两种情况，答案为20秒或100（2）相距100米，有可能是未相遇，也可能是相遇后再分开，答案为10秒或30秒.也可思路1如图：甲，乙两人同时匀速从A地出发到B地，甲到B地后直接返回，在C地与乙相遇，共用时30分，且知道甲每分走的路程比乙每分走的路程的2倍少30米.（1）若AB的距离为2700米，则乙的速度为_____米/分.（2）若BC的距离为750米，则乙的速度为_____米/分.A C 【分析】（1）设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（2x-30）米/分.两人相遇共走了2个全程，因此可列出方程：x2x3030=2700xy2第9级下超常体系教师版 乙26（y-30y）×30=750y注：此题说明了相遇与追及问题的实质为：路程的和差向北，乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等，在继续行走24分钟后，二人距A的距离也相等.问：甲、乙二人的速度各多少？y第一次距A相等时，甲与乙的路程和为560；第二次距A相等时，甲与乙的路程差为560时.因此可列出方程组如下：4(xy)56028(xy)560

xy26分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离．（学案对应：超常1）【分析】先画图如下：甲A B 设甲的速度是x米/分钟由甲乙追及的距离等于甲乙相遇的距离，那么有(x50)26(x50)6，解得x80AB两地的距离为(8050)6780(米)，或(8050)26780(米)4第9级下超常体系教师版第14讲测距法同学们可能很想知道日常生活中一些身边的距离到底是多少米，但又不会随身带着尺子度量长度的工具。其实不需要尺子，我们一样可以估算一段比较长的距离。其实，每人都有一副灵便的尺子，随时带在身边，这副尺子就是我们的双脚。用双脚测量距离，首先要知道自己的步子有多大。成年人一步的距离大约在75厘米到85厘米之间，而同学们的步子会小一些。但是无论如何，每个人在一段时间内的身高变化不会太大，而迈幅度又已经养成了习惯，因此步子大小变化也不会太大。接下来，当确定了我们每一步走出的距离后，就可以通过数步数的方法简单地计算我们所走过的距离了。在这里需要注意的是，迈步要自然，与平时走路的幅度、频率基本相同，60200100120（米）。测距离的方法是不是很方便呢？同学们可以在生活中尝试使用哦！34相遇再过5分钟，乙与丙相遇.那么绕湖一周的路程是多少？（学案对应：带号1）【分析】设甲丙经过x小时相遇，由乙丙5分钟走的路程和等于甲乙x小时的路程差可列出方程如下：

(4.23)(5.44.2)x

，解得：x0.5，因此绕湖一周的路程为（5.4+3）×0.5=4.2千米.4，35.

1号队员以45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1号队员从离队开始到与队员重新会合经过了多长时间【分析】从1号队员离队开始计算，当他行进10千米时，所用的时间：102小时，之后1号与 x2(4535)(4535)x

x1,因此共经过了211（小时） 第9级下超常体系教师版 10分、12分追上骑车人.已知快、慢车的速度分别为24千米/时和19千米/时，求中速车的速度.【分析】设骑车人的速度为x千米/时，根据三车距骑车人的距离相等可列出方程：

(24x)

(19x)，解得：x=14.的速度为 14205王平要从甲村走到乙村.如果他每小时走4千米，那么走到预定时间，离乙村还有0.5千米;如果他路程是多少千米？【分析】设预定时间为x小时，甲乙两村之间路程为y千米，则：x0.55

xy.56甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是___千米．【分析】矩形图法：设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V千米．预定的相遇时间为t小时.由图可知，矩形图的面积实际上就是走的路程.因为走的都是全程，因此每个图中阴影部分面积相等t-1t t t列方程组得：2(t1)V3t2(V3)

V18

因此两地距离为1810180千米.16第9级下超常体系教师版第14讲

1y

15xy30xy

x

法2：矩形图法．时间：分x1 2 15x1(y15)30x3(y30)

x7某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行．发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔度相同，均是水速的7倍．那么货船的发出间隔是______分钟．【分析】 4，设顺水船距为1，那么逆水船距就是34，船速为x，有6vx 20，8vx .得到，货船发出间隔为1(224

8)28分钟.【铺垫】河水是流动的，在B点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A点到B点，然后穿过湖到C点，共用3小时；若他由C到B再到A，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从B流向C，那么，这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时；问在这样的条件下，他由C到B再到A，共需多少小时？【分析】设人在静水中的速度为x，水速为y，人在静水中从B点游到C点需要t小时．根据题意，有6x(6t)y3x(3t)y，即

(3

t)y

，同样，有2.5x2.5y3x(3t)y，即x(2t1)y；所以，2t13t，即t1.5，所以x2y；(2xy)2.5(2yy)7.5(小时)，所以在这样的条件下，他由C到B再到A共需7.5小时．【铺垫】沿江有两个城市，相距600千米，甲船往返两城市需要35小时，其中顺水比逆水少用5第9级下超常体系教师版 小时，乙船的速度是每小时15千米，那么乙船往返两城市需要____小时.x如下： + x+y = x+y 600

8少平方米?【分析】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．乙14分钟行走了60AE的路程，乙20分钟走了60ADDF的路程．

60AE

,,

，即5ED＝2DF．ADAEED605ED2DF

，解得

AE于是下的位置关系：8第9级下超常体系教师版第14讲SBCD

SABE

SEDF

SFCB497.5 6087184515(87+18) 出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时经过了山路上的同一个点。的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在这里。点总结1.行程问题的基本公式：svt，

2.相遇与追及问题的基本公式：相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间判断相遇与追及问题的关键是：路程和，路程差.作业1.A、B两地相距12千米，甲从A地到B地，在B地停留半小时后，又从B地返回A地；乙从B地到A地，在A地停留40分钟后，又从A地返回B地.已知两人同时分别从A、B两地出发，经过4小时后，他们在各自返回的路上相遇.如果甲的速度比乙的速度每小时快1.5千米，求两人的速度.

解得=4.5第9级下超常体系教师版 2.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲18分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知甲每分钟行50米，求乙的速度．x3.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？（67.5-60）x=(60+75)×2x4.有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度【分析】队伍长度为x米，则先是追及然后是相遇，因此 1.42.6

，解得x600，即队伍有600米.5.甲、乙二人从相距60千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，6小时后在途中相遇．如速度．x.根据第一次相遇的6xy60，则xy10，即甲、乙两人的速度和为10千米/小时，.1千米或多1千米，即(6x1)千米，或(6x1)千米.由此可列第二条方程：5(x1)6x1或5(x1)6x1.因此可列的方程组有：xy105(x1)6x1

x解得y

，或

xy10

xy

/6.北京大学为庆祝其建校110周年举行徒步比赛.甲、乙、丙三名运动员同时从同一个出发点起步41？15(t4)4v 3t(v3)110第9级下超常体系教师版第14讲V+15

t-4 t tt+17.一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距?【分析】如下画出示意图

7,解得8.如图,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120 【分析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.第9级下超常体系教师版11

120

PD1=PC1 且有PD=DC-PC=1-PC,代入有1

PC

,解得

PC PMMC DP

816

CB 120

816

x .即

AN 所以ANBN

背向而行，则经过3分钟后两人相遇.原来甲、乙两人每分钟各行多少米？【分析】设甲，乙两人的速度分别为x米/分与y米/分.则45(xy)10803(x50y30)108017812第9级下超常体系教师版第14讲贝追上了一支从A向B的游行队伍的队尾，与此同时晶晶到了游行队伍的队头；10点30分，贝贝.By行了xy，10:00~10:30，经过30分，贝贝与晶晶合起来行了xy，由于两人速度没有变，30分行的路程应为15分行的路程的2倍，有2xyxy，x3y也就是AB全长【超常班学案3】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，【分析】从A到B，再返回，整个过程恰好走了1个上坡的全程和1个下坡的全程.总时间为34，设上坡速度为x，202033，x8，设AC为y， 2x

2，y12.故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．头同时出发相向而行，到途中的C地后返回，结果乙比甲先到达C地0.5小时，而乙返回B码头 __千米.水流方向早1小时A【分析】令AC=S1，CB=S2.

C早0.5小时

B 302

302

SS1

（千米）123班学案【分析】设经过x分钟B地在甲乙两人的中点上.思路：-甲行走的距离乙行走的距离-001000-35x=45x-100010001000=4535x=25第9级下超常体系教师版13【超常123班学案2】A、B两地相距22.4千米.有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进.当游头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰地还有________千米.【分析】设甲从游行队伍队尾追到队