八年级数学下册 23.3 矩形、菱形与正方形（第3课时）（原卷版）

第第页23.3矩形、菱形与正方形（第3课时）一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.证明：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.如图23-3-19,已知：四边形ABCD是一个正方形，对角线AC、BD相交于点0.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.∵四边形ABCD是一个正方形，∴AC=BD(矩形的两条对角线相等),OA=OC=AC,OB=OD=AD(平行四边形的对角线相互平分),∴OA=OC=OB=OD.∵四边ABCD是一个正方形，∴AC⊥BD(菱形的两条对角线互相垂直).∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形.三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：题型1：正方形的性质辨析1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（

）A．四条边都相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角都是直角 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．四条边相等3．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线平分内角4．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直5．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（）A． B． C． D．题型2：根据正方形的性质求长度Ⅰ6．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（

）A．1 B．3 C． D．47．正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（

）A．2 B．4 C．8 D．8．若一个正方形的对角线长为，则它的周长为（

）A．2 B． C．4 D．9．正方形的对角线长度为2，则其边长为（

）A．2 B． C．1 D．题型3：根据正方形的性质求长度Ⅱ10．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为．11．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为cm．

12．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是．13．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为题型4：根据正方形的性质求角度Ⅰ14．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（

）

A． B． C． D．15．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为．16．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是．题型5：根据正方形的性质求角度Ⅱ17．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是．18．如图，在正方形外侧，作等边，则为（）A．75° B．55° C．15° D．25°19．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则．20．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（

）

A． B． C． D．21．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．22．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（

）A． B． C． D．23．如图，正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，，若，则等于（

）A． B． C． D．题型6：与正方形有关的面积问题24．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（

）A． B． C． D．25．如图，在正方形中，，E，F分别为，边上的点，且，连接，交于点G，则四边形的面积为．26．如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为．27．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为．28．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定29．如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为．

30．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（

）A．2 B．4 C．6 D．8题型7：正方形的判定；添加一个条件成为正方形31．下列说法中，正确的是（

）A．有一组邻边相等的四边形是正方形B．有一个角是直角的平行四边形是正方形C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形32．如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（

）A． B． C． D．33．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（

）A．，， B．，C．， D．，，34．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．35．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（

）A． B．C． D．题型8：特殊平行四边形的判定36．下列说法正确的是（

）．A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形37．下列判断错误的是（

）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的矩形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形38．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（

）．A．当时，四边形是矩形B．当时，四边形是正方形C．当时，四边形是菱形D．当时，四边形是矩形39．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（

）①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型9：特殊平行四边形的关系图的应用40．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（

）A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角41．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（

）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直42．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（

）A．①可表示一个角是直角B．②可表示对角线互相平分、垂直C．③可表示一组邻边相等D．①可表示对角线互相平分题型10：解答证明题43．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．

44．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:．45．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．求证：．46．如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：．47．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形．(2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形．(3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形．48．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点．(1)求证：；(2)求的长．49．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且．(1)请你判断的形状，并说明理由．(2)若此正方形的面积为16，求的长．50．综合与实践如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内，射线交边于点．射线交正方形的边于点．【特例感知】（1）如图1，当，两点重合时，的长为_____．【问题探究】（2）如图2，当为线段的中点时．①求证：．②求的长．【拓展延伸】（3）当为线段的三等分点时，请直接写出的长．一、单选题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角都是直角 B．对角线互相平分C．对角相等 D．对角线互相垂直2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对边相等 B．对边平行C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A．22.5° B．25° C．23° D．20°4．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（

）A．， B．，C．， D．，5．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（

）A． B． C． D．6．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题7．如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么度．8．如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则．9．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为．10．如图，边长为4和8的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为．11．如图，在正方形中，，是边上一点，，且，则的长为．12．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为．三、解答题13．如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：．14．如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的