2020-2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册

4.4.3不同函数增长的差异4.4.3不同函数增长的差异2020_2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册必备知识·自主学习三种函数的性质及增长速度比较导思1.指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？2.为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？指数函数对数函数一元一次函数解析式y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)单调性在(0，+∞)上单调递增图象(随x的增大)趋向于和x轴_____趋向于和x轴_____呈直线上升垂直平行必备知识·自主学习三种函数的性质及增长速度比较导思1.指数函指数函数对数函数一元一次函数增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越___y的增长速度越来越___y的增长速度_____归纳总结总会存在一个x0，当x>x0时，___________快慢不变ax>kx>logax指数函数对数函数一元一次函数增长速度y的增长速度越来越___(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.(2)应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点【思考】在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”？提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.【思考】提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y=x的衰减速度越来越慢. (

)(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (

)(3)对应任意x∈(0，+∞)，总有2x>x2. (

)【基础小测】提示：(1)√.由函数y=x的图象可知其衰减速度越来越慢.(2)√.增长速度不变时图象为直线，故是一次函数.(3)×.当x=2时，22=22.提示：(1)√.由函数y=x的图象可知其衰减速度越来2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 (

)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校3.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是 (

)A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=a+b(a>0)x12345y1.55.913.424.1373.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：x12【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快关键能力·合作学习类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.下列函数中，增长速度最快的是 (

)A.y=2020x B.y=2020xC.y=log2020x D.y=2020关键能力·合作学习类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观2.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.则x，y最合适的函数是 (

)A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2xx0.500.992.013.98y-1.010.010.982.002.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.x0.3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_______.

①y=3×1.04x；②y=20+x10；③y=40+lg(x+1)；④y=80.3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.2.选D.根据x=0.50，y=-1.01，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；由于随着x的增大，y的增长比较缓慢，符合y=log2x模型.3.结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.答案：①【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.【解题策略】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.【解题策略】(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.(多选题)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是 (

)A.x>2 B.x>4C.0<x<2 D.2<x<4类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)2.已知函数f(x)=lnx，g(x)=0.5x-1的图象如图所示.

(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小.2.已知函数f(x)=lnx，g(x)=0.5x-1的图象【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.【解析】1.选BC.由图象可知，当0<x<2或x>4时，符合不等式log2x<x2<2x.2.(1)C1对应的函数为g(x)=0.5x-1，C2对应的函数为f(x)=lnx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x)；【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.当x=x1或x2时，g(x)=f(x).综上，当x=x1或x2时，g(x)=f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(0，x1)或(x2，+∞)时，g(x)>f(x).当x=x1或x2时，g(x)=f(x).【解题策略】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【解题策略】【跟踪训练】在同一坐标系中，画出函数y=x+5和y=2x在(0，+∞)上的图象，并比较x+5与2x的大小.【解析】函数y=x+5与y=2x的图象如图所示：当0<x<3时，x+5>2x，当x=3时，x+5=2x，当x>3时，x+5<2x.【跟踪训练】【补偿训练】函数f(x)=1.1x，g(x)=lnx+1，h(x)=的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).【补偿训练】【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)=，曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由图象可得：当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)角度1利用曲线描述函数变化规律

【典例】当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_______；B对应_______；C对应_______；D对应_______.

类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)2020_2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线.【解析】A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与(4)对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.答案：(4)

(1)

(3)

(2)【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对【变式探究】若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线.

【解析】容器内溶液的变化曲线为：

【变式探究】角度2实际问题中的增长模型

【典例】为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据月份x/月12345植物面积y/m22436角度2实际问题中的增长模型

月份x/月12345植物面积y现有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式.(2)若市环保局在2019年年底投放了11m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由.(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点.但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右.试用所学的知识解释这些现象的成因.你从中得到了什么启示？现有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=mx2+n【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.(2)利用投放的植物面积检验模型.(3)利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因.【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.【解析】(1)由已知得⇒所以y=由已知得⇒所以y=(2)若用模型y=则当x=0时，y1=，若用模型y=，则当x=0时，y2=，易知，使用模型y=更为合适.【解析】(1)由已知得⇒(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快.当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内.从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题.(答案不唯一)(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指【解题策略】1.关于曲线的选择首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓.2.关于函数模型的选择选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证.【解题策略】【题组训练】1.明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是 (

)【题组训练】2.某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，8)的数据：i12345678x3840444648505256y45556163656667682.某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y=a+bx与y=c+d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)(2)若(1)中的a=7，b=1.2，c=4.2，d=0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z=200y-x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y=a+bx与2020_2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册【解析】1.选A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减小.2.(1)补齐的图如图：【解析】1.选A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取y=c+d更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式.(2)依题意得，z=200×(4.2+0.07)-x(32≤x≤64)，化简得z=840+14-x(32≤x≤64)，设t=(4≤t≤8)，则有z=-t2+14t+840，z=-(t-7)2+889.故当t=7即投入的年宣传费x=49千元时，年利润取到最大值.由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，课堂检测·素养达标1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是 (

)A.y=100 B.y=100xC.y=1.01x D.y=log2x【解析】选C.结合函数y=100，y=100x，y=1.01x及y=log2x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y=1.01x.课堂检测·素养达标1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的2.如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N.当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是 (

)2.如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂【解析】选C.假设∠A=45°，AD=2，AB=4，点M的速度为1，则当0≤t≤2时，AM=MN=t，则S=t2，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为一次函数.【解析】选C.假设∠A=45°，AD=2，AB=4，点3.(教材二次开发：练习改编)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.43.(教材二次开发：练习改编)x1357911y151356则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (

)A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (4.函数y=x2与函数y=xlgx在区间(0，+∞)上增长较快的一个是_______.

【解析】当x变大时，x比lgx增长要快，所以x2要比xlgx增长的要快.答案：y=x24.函数y=x2与函数y=xlgx在区间(0，+∞)上增长4.4.3不同函数增长的差异4.4.3不同函数增长的差异2020_2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册必备知识·自主学习三种函数的性质及增长速度比较导思1.指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？2.为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？指数函数对数函数一元一次函数解析式y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)单调性在(0，+∞)上单调递增图象(随x的增大)趋向于和x轴_____趋向于和x轴_____呈直线上升垂直平行必备知识·自主学习三种函数的性质及增长速度比较导思1.指数函指数函数对数函数一元一次函数增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越___y的增长速度越来越___y的增长速度_____归纳总结总会存在一个x0，当x>x0时，___________快慢不变ax>kx>logax指数函数对数函数一元一次函数增长速度y的增长速度越来越___(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.(2)应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点【思考】在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”？提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.【思考】提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y=x的衰减速度越来越慢. (

)(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (

)(3)对应任意x∈(0，+∞)，总有2x>x2. (

)【基础小测】提示：(1)√.由函数y=x的图象可知其衰减速度越来越慢.(2)√.增长速度不变时图象为直线，故是一次函数.(3)×.当x=2时，22=22.提示：(1)√.由函数y=x的图象可知其衰减速度越来2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 (

)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校3.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是 (

)A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=a+b(a>0)x12345y1.55.913.424.1373.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：x12【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快关键能力·合作学习类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.下列函数中，增长速度最快的是 (

)A.y=2020x B.y=2020xC.y=log2020x D.y=2020关键能力·合作学习类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观2.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.则x，y最合适的函数是 (

)A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2xx0.500.992.013.98y-1.010.010.982.002.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.x0.3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_______.

①y=3×1.04x；②y=20+x10；③y=40+lg(x+1)；④y=80.3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.2.选D.根据x=0.50，y=-1.01，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；由于随着x的增大，y的增长比较缓慢，符合y=log2x模型.3.结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.答案：①【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.【解题策略】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.【解题策略】(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.(多选题)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是 (

)A.x>2 B.x>4C.0<x<2 D.2<x<4类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)2.已知函数f(x)=lnx，g(x)=0.5x-1的图象如图所示.

(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小.2.已知函数f(x)=lnx，g(x)=0.5x-1的图象【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.【解析】1.选BC.由图象可知，当0<x<2或x>4时，符合不等式log2x<x2<2x.2.(1)C1对应的函数为g(x)=0.5x-1，C2对应的函数为f(x)=lnx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x)；【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.当x=x1或x2时，g(x)=f(x).综上，当x=x1或x2时，g(x)=f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(0，x1)或(x2，+∞)时，g(x)>f(x).当x=x1或x2时，g(x)=f(x).【解题策略】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【解题策略】【跟踪训练】在同一坐标系中，画出函数y=x+5和y=2x在(0，+∞)上的图象，并比较x+5与2x的大小.【解析】函数y=x+5与y=2x的图象如图所示：当0<x<3时，x+5>2x，当x=3时，x+5=2x，当x>3时，x+5<2x.【跟踪训练】【补偿训练】函数f(x)=1.1x，g(x)=lnx+1，h(x)=的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).【补偿训练】【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)=，曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由图象可得：当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)角度1利用曲线描述函数变化规律

【典例】当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_______；B对应_______；C对应_______；D对应_______.

类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)2020_2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线.【解析】A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与(4)对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.答案：(4)

(1)

(3)

(2)【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对【变式探究】若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线.

【解析】容器内溶液的变化曲线为：

【变式探究】角度2实际问题中的增长模型

【典例】为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据月份x/月12345植物面积y/m22436角度2实际问题中的增长模型

月份x/月12345植物面积y现有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式.(2)若市环保局在2019年年底投放了11m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由.(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点.但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右.试用所学的知识解释这些现象的成因.你从中得到了什么启示？现有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=mx2+n【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.(2)利用投放的植物面积检验模型.(3)利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因.【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.【解析】(1)由已知得⇒所以y=由已知得⇒所以y=(2)若用模型y=则当x=0时，y1=，若用模型y=，则当x=0时，y2=，易知，使用模型y=更为合适.【解析】(1)由已知得⇒(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快.当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内.从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题.(答案不唯一)(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指【解题策略】1.关于曲线的选择首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓.2.关于函数模型的选择选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证.【解题策略】【题组训练】1.明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是 (

)【题组训练】2.某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，8)的数据：i12345678x3840444648505256y45556163656667682.某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y=a+bx与y=c+d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)(2)若(1)中的a=7，b=1.2，c=4.2，d=0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z=200y-x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y=a+bx与2020_2021学年新教材高中数学443不