《312 椭圆及其标准方程 》课件 优质公开课 北师大选修2 1

《3.1.2椭圆及其标准方程》课件《3.1.2椭圆及其标准方程》课件重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索拓研创新6名师辩误作答7课堂巩固训练8知能目标解读1重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索知能目标解读知能目标解读1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数求椭圆的标准方程．3．通过对椭圆的概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修214．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21重点难点点拨重点难点点拨本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．知能自主梳理知能自主梳理1．平面内与两个定点F1、F2的_____________________________________的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1、F2叫作椭圆的________，两焦点的距离|F1F2|叫作椭圆的________．2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是_______．距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点焦点焦距线段1．平面内与两个定点F1、F2的______________a>b

a2＝b2＋c2

a>ba2＝b2＋c2学习方法指导学习方法指导1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件，即对椭圆上任一点M有|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|；否则，若2a＝|F1F2|，则轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|这一个条件．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21(3)标准方程中涉及到三个常数a、b、c，它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为c2＝a2－b2.(4)由标准方程判断焦点的位置的方法看x2、y2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上，即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上等价于标准方程中y2项的分母较大．(3)标准方程中涉及到三个常数a、b、c，它们是确定椭圆特征《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修214．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．4．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条思路方法技巧思路方法技巧椭圆的标准方程椭圆的标准方程《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21求适合下列条件的椭圆的方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.[分析]

设出椭圆标准方程―→代入已知条件―→确定方程．求适合下列条件的椭圆的方程：《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

椭圆的焦点与顶点问题(1)由标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点的横坐标(或纵坐标)实际即为a与b的值．(2)椭圆长轴的端点距焦点最远(a＋c)或最近(a－c)．[点评]椭圆的焦点与顶点问题[分析]

根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．椭圆定义的应用[分析]根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，[解析]

设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，[解析]设圆P的半径为r，《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．[点评]如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[解析]

如图所示，连结F2A并延长交椭圆于P，在椭圆上任取异于点P的一点P′，连结P′F1、P′F2、P′A.由三角形任意两边之和大于第三边得|P′F1|＋|P′A|＋|AF2|>|P′F1|＋|P′F2|＝|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PA|＋|AF2|，∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|.又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与椭圆联立求出P点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为所求最小值．

[解析]如图所示，连结F2A并延长交椭圆于P，在椭圆上任取探索拓研创新探索拓研创新

根据椭圆的标准方程求参数的取值范围根据椭圆的标准方程求参数的取值范围[答案]

D[点评]

本题考查椭圆的标准方程，要注意到a>b这个条件．[答案]D《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21解得①②得－3<a<－1或a>1.当a>1时，③不成立．当－3<a<－1时，得a<－2.综上可得：a的取值范围是－3<a<－2.解得①②得－3<a<－1或a>1.[解析]

设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，∵||PF1|－|PF2||≤2c，∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c，∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即a－c≤|PF1|≤a＋c∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.

最值问题[解析]设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|[点评]

椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．[点评]椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端[答案]

B[答案]B名师辩误作答名师辩误作答[误解]

∵2c＝6，∴c＝3.由椭圆标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16，∵m>0，∴m＝4.[误解]∵2c＝6，∴c＝3.《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．[点评]椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2[例6]

动点M到两点A(－1,0)，B(1,0)的距离和为2，则动点M的轨迹是(

)A．椭圆 B．线段C．直线 D．不存在[误解]

选A[正解]

因为距离和为2等于|AB|，所以不是椭圆，而是线段AB.故选B.[答案]

B[例6]动点M到两点A(－1,0)，B(1,0)的距离和为[点评]

在应用椭圆的定义解决相关的问题时，除了看动点到两个定点的距离之和是否是常数之外，还要注意这个和与这两个定点间的距离之间的大小关系，否则容易出错．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[答案]

(－10，－2)∪(－2,6)[点评]

本题由于忽视椭圆标准方程中的条件a>b>0导致错解．[答案](－10，－2)∪(－2,6)课堂巩固训练课堂巩固训练[答案]

A[解析]

点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝8,8－5＝3.[答案]A[答案]

B[解析]

∵169>144，∴焦点在y轴上，又∵c2＝a2－b2＝169－144＝25，∴c＝5，∴焦点坐标为(0，±5)．[答案]B[答案]

C[答案]C《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[答案]

(－1,0)[答案](－1,0)[答案]

5或3[解析]

由题意得2c＝2，c＝1，当焦点为x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4＝1，∴m＝5，当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，c2＝4－m＝1，∴m＝3.[答案]5或3[分析]

根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的值．[分析]根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决此题的关键．[点评]根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决《3.1.2椭圆及其标准方程》课件《3.1.2椭圆及其标准方程》课件重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索拓研创新6名师辩误作答7课堂巩固训练8知能目标解读1重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索知能目标解读知能目标解读1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数求椭圆的标准方程．3．通过对椭圆的概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修214．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21重点难点点拨重点难点点拨本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．知能自主梳理知能自主梳理1．平面内与两个定点F1、F2的_____________________________________的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1、F2叫作椭圆的________，两焦点的距离|F1F2|叫作椭圆的________．2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是_______．距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点焦点焦距线段1．平面内与两个定点F1、F2的______________a>b

a2＝b2＋c2

a>ba2＝b2＋c2学习方法指导学习方法指导1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件，即对椭圆上任一点M有|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|；否则，若2a＝|F1F2|，则轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|这一个条件．《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21(3)标准方程中涉及到三个常数a、b、c，它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为c2＝a2－b2.(4)由标准方程判断焦点的位置的方法看x2、y2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上，即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上等价于标准方程中y2项的分母较大．(3)标准方程中涉及到三个常数a、b、c，它们是确定椭圆特征《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修214．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．4．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条思路方法技巧思路方法技巧椭圆的标准方程椭圆的标准方程《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21求适合下列条件的椭圆的方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.[分析]

设出椭圆标准方程―→代入已知条件―→确定方程．求适合下列条件的椭圆的方程：《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

椭圆的焦点与顶点问题(1)由标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点的横坐标(或纵坐标)实际即为a与b的值．(2)椭圆长轴的端点距焦点最远(a＋c)或最近(a－c)．[点评]椭圆的焦点与顶点问题[分析]

根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．椭圆定义的应用[分析]根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，[解析]

设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，[解析]设圆P的半径为r，《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．[点评]如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[解析]

如图所示，连结F2A并延长交椭圆于P，在椭圆上任取异于点P的一点P′，连结P′F1、P′F2、P′A.由三角形任意两边之和大于第三边得|P′F1|＋|P′A|＋|AF2|>|P′F1|＋|P′F2|＝|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PA|＋|AF2|，∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|.又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与椭圆联立求出P点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为所求最小值．

[解析]如图所示，连结F2A并延长交椭圆于P，在椭圆上任取探索拓研创新探索拓研创新

根据椭圆的标准方程求参数的取值范围根据椭圆的标准方程求参数的取值范围[答案]

D[点评]

本题考查椭圆的标准方程，要注意到a>b这个条件．[答案]D《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21解得①②得－3<a<－1或a>1.当a>1时，③不成立．当－3<a<－1时，得a<－2.综上可得：a的取值范围是－3<a<－2.解得①②得－3<a<－1或a>1.[解析]

设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，∵||PF1|－|PF2||≤2c，∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c，∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即a－c≤|PF1|≤a＋c∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.

最值问题[解析]设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|[点评]

椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．[点评]椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端[答案]

B[答案]B名师辩误作答名师辩误作答[误解]

∵2c＝6，∴c＝3.由椭圆标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16，∵m>0，∴m＝4.[误解]∵2c＝6，∴c＝3.《312椭圆及其标准方程》课件优质公开课北师大选修21[点评]

椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．[点评]椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2[例6]

动点M到两点A(－1,0)，B(1,0)的距离和为2，则