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7.5二阶线性微分方程解结构掌握并灵活利用线性微分方程解结构二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程一、概念二、二阶线性微分方程解结构1.二阶齐次方程解结构:问题:注:齐次线性方程解符合叠加原理.比如线性无关线性相关比如定义2.二阶线性非齐次方程解结构:一阶线性非齐次微分方程对应齐次方程通解非齐次方程一个特解（与c=0对应特解）结论：一阶线性非齐次微分方程通解等于它一个特解与对应齐次方程通解之和2.二阶非齐次线性方程解结构:解叠加原理定理4通常称为非齐次线性微分方程解叠加原理定理4一样能够推广到n阶非齐次方程情形三、常数变易法是（1）一个已知非零特解作变量替换：代入（1）得：注意:1.降阶法----刘维尔公式----二阶齐次方程通解是（1）一个已知非零特解作变量替换：作变量替换：分离变量得:两边积分得:是（1）一个已知非零特解作变量替换：作变量替换：刘维尔公式是方程例1:设一个解,试求方程通解解:令代入方程并化简得作变量替换：并将代入化简得两边积分得:是方程例1:设一个解,试求方程通解解:令作变量替换：两边积分得:所以三、常数变易法假如对应齐次线性方程则由常数变易法可设（1）有以下形式特解：2.常数变易法----求非齐次线性方程特解有通解:补充条件:则由常数变易法可设（1）有以下形式特解：补充条件:所以代入（1）并化简得则由常数变易法可设（1）有以下形式特解：代入（1）并化简得解之得：则由常数变易法可设（1）有以下形式特解：若能求得（2）一个特解则可按以下步骤求得（1）通解：（2）由常数变易法求出（1）一个特解：从而得到齐次方程（2）通解：（1）由刘维尔公式求出（2）另一个特解，（3）写出方程（1）通解通解例2:求方程解:由刘维尔公式得齐次方程（2）通解为：由常数变易法，设所求方程特解为:由得通解例2:求方程解:由常数变易法，设所求方程特解为:解方程组得：积分并取一个原函数得：作业：习题7--5:

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