华师大版九年级上册课件：2331相似三角形 省一等奖课件

23.3.1相似三角形23.3相似三角形23.3.1相似三角形23.3相似三角形蓦然回首1、什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（如右图△ABC≌DEF）2、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？对应边相等、对应角相等。

3、什么叫做相似多边形？什么叫做相似多边形的相似比？对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。ABCDEFAC1A1B1D1E1F1BCDEF蓦然回首1、什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做探究新知

定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形，即相似三角形。

ABCEDF表示法：∽，读作“相似于”如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为△ABC∽△DEF对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。可要注意呀!相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比或相似系数(求相似三角形的相似比要注意顺序性)这两个三角形的相似比怎样表示呀？探究新知定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？想一想2、如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC与△A2B2C2相似吗？为什么？由此可得相似三角形有什么性质？对应角相等、对应边成比例相似三角形具有传递性ABCDE1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角形有什么关系？【2】两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式！1、所有的直角三角形不都相似，如左图中的两个直角三角形就不相似；2、所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等腰直角三角形中都有一个直角，两个45°的角，且两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍，所以任意两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。议一议【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角形有什么【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于60°，且三边都相等，所以任两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似.【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？所【1】两个全等三角形一定相似【2】两个等腰直角三角形一定相似【3】两个等边三角形一定相似【4】两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似【1】两个全等三角形一定相似【2】两个等腰直角三角形一定相似例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。思考下列问题:1、草坪的形状与其图纸上相应的形状是否相似?2.它们的相似比是多少？例2：如图，已知△ABC∽ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=450，∠ACB=400，求⑴∠ADE和∠AED的度数；⑵DE的长ABCDE运用知识，拓展思维50cm30cm70cm450400？解：设其他两边的实际长度都是xcm，则X=3.5×400=1400cm=14m答：草坪其他两边的实际长度都是14m20mxm5cm3.5cm3.5cm5cm例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得∠AED=∠ACB=400。而在△ADE中∠AED+∠ADE+∠A=1800，所以∠ADE=1800-400-450=950ABCDE⑵因为△ABC∽△ADE，，所以由相似三角形对应边成比例，得AE：AC=DE：BC，即50：

（50+30）=DE：70，所以DE=43.75cm想一想:在上述的条件下,图中有哪些线段成比例?线段DE与BC平行吗?为什么?解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得∠平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与三角形相似吗?

ABCED猜猜看!ABCDE1cm2cm1.5cm3cm2cm6cm课后试试看这样的两个三角形相似吗？平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成随堂练习，巩固新知一、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x、y、m、n的值x20223348303a10800450n02a450550m0y随堂练习，巩固新知一、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形二、请同学们细心判一判

1、如果两个三角形全等，则它们必相似。√2、若两个三角形相似，且相似比为1，则它们必全等。√3、如果两个三角形与第三个三角形相似，则这两个三角形必相似。√4、相似的两个三角形一定大小不等。×二、请同学们细心判一判1、如果两个三角形全等，则它们试一试身手一、填一填：1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____2、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是_____4、已知△ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是______，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为

全等4︰324cm直角三角形150cm2试一试身手一、填一填：全等4︰324cm直角三角形150二、认真选一选1、下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6cm和8cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DE

C.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）3、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（）

A.55°B.100°C.250D.不能确定4、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为BDCC二、认真选一选BCC我们学了些什么？相似三角形定义对应角相等对应边成比例表示法：∽相似比：对应边的比我们学了些什么？相似三角形定义对应角相等对应边成比例表示法：谢谢各位再见谢谢各位再见23.3.2相似三角形的判定23.3相似三角形23.3.2相似三角形的判定23.3相似三角形创设情景尝试探索智海扬帆小结思考创设情景尝试探索智海扬帆小结思考我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？

判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3：三边成比例的两个三角形相似

A

BCA1B1

C1

我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？判定定理

下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形相似例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP，

(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABC

A

BCP下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形A

BCP

分析：这是一道探索性题目

(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即∠ACP＝∠B

(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即AC/AP=AB/ACABCP分析：这是一道探索性题目

解：(1)∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时，

(2)∵∠A＝∠A∴当AC/AP=AB/AC时，△ACP∽△ABCA

BCP△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）解：(1)∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时，例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'

求证：△ABC∽△A'B'C’

证明：∵AB∥A’B’

∴∠1＝∠2，

A’B’/AB＝OB’/OB

∵BC∥B’C’

∴∠3＝∠4，

B’C’/BC＝

OB’/OB

∴∠ABC＝∠A’B’C

A’B’/AB＝B’C’/BC

∴△ABC∽△A'B'C'BcAB’C’OA’1324例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'

求证：△A

例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于点F，AF＝FD。

求证：DE2＝BE·CE

证明：连结AE

DCEBAF∵EF⊥AD，AF=FD∴AE＝DE

∴∠ADE＝∠DAE

∵∠BAD＝∠CAD

∴∠B＝∠CAE

又∵∠BEA＝∠CEA∴△ACE∽△BAE

∴AE/BE

＝CE/AE

即AE2＝BE·CE

∴DE2＝BE·CE

例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O，AO＝BO，DF＝FB

求证：DE2＝EC·EO

证明：∵OA＝OB∴∠3＝∠2

∵DF＝FB

∴∠1＝∠2

∵DC∥AB

∴∠3＝∠4

∴∠1＝∠4

又∵∠DEO＝∠DEC

∴△DEO∽△CED

∴

DE/CE＝

EO/DE

∴DE2＝EC·EO

DCABOE3214F1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O，AO＝BO，2、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C'

求证：△ABC∽△A'B'C'

证明：∵BC∥B’C’

∴∠3＝∠4，

B’C’/BC

＝OC’/OC

∵AC∥A’C’

∴∠1＝∠2∴

A’C’/AC

＝

OC’/OC∴∠ACB＝∠A’C’B’

B’C’/BC

＝

A’C’/AC

∴△ABC∽△A’B’C’BACOB’C’A’13242、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C'

求证：△A3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交AC于E，交BA延长线于F

求证：AD2＝DE·DF证明：∵∠BAC＝90°，BD＝CD

∴AD＝CD，∠C＝∠DAC

∵DE⊥BC，∠B＋∠F＝90°

又∵∠B＋∠C＝90°

∴∠F＝∠C＝∠DAC

∵∠FDA＝∠EDA

∴△FDA∽△ADE

∴

DF/AD＝AD/DE

∴AD2＝DE·DF

BFADCE3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交AC1．下列题设中能判定△ABC∽△A’B’C’的是(

)A∠A＝50°，∠B＝40°∠A‘＝50°，∠C’＝80°

B∠A＝∠A’＝130°，AB＝4，A’B’＝10，A’C’＝24

CAB＝48，BC＝80，AC＝60，A’B’＝24，A’C’＝30，B’C’＝40

D∠A＝∠A’＝90°，AB＝5，BC＝A’C’＝7

2．下列命题中正确的是(

)

A底角相等的两个等腰三角形相似

B有一个角相等的两个等腰三角形相似

C两边对应成比例的两直角三角形相似

D有一条对应边相等的两个直角三角形相似

思考题CC1．下列题设中能判定△ABC∽△A’B’C’的是(3．如图，不能判定△ACD∽△ABC的条件是(

)

A∠ACD＝∠B

B∠ADC＝∠ACB

CAC·BC＝AB·DC

DAC2＝AD·AB

4．如图，DE∥BC，则图中一共有()对相似三角形。

CDBA

A

BCDE(3)(4)C23．如图，不能判定△ACD∽△ABC的条件是()

A5如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC则图中与△CDE相似的三角形一共有()个。

ABCDE45如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC则图中与△

本讲我们学习了三角形相似判定定理的应用，应掌握:

1、探索性问题的思维方法。

2、掌握相似三角形的判定中，运用中间比作为桥梁的解题的思维方法。

3、

从例题的学习中，还要掌握分析问题的思维方法，提高解决问题的能力。

这节课我们主要学习了什么？

本讲我们学习了三角形相似23.3.1相似三角形23.3相似三角形23.3.1相似三角形23.3相似三角形蓦然回首1、什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（如右图△ABC≌DEF）2、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？对应边相等、对应角相等。

3、什么叫做相似多边形？什么叫做相似多边形的相似比？对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。ABCDEFAC1A1B1D1E1F1BCDEF蓦然回首1、什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做探究新知

定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形，即相似三角形。

ABCEDF表示法：∽，读作“相似于”如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为△ABC∽△DEF对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。可要注意呀!相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比或相似系数(求相似三角形的相似比要注意顺序性)这两个三角形的相似比怎样表示呀？探究新知定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？想一想2、如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC与△A2B2C2相似吗？为什么？由此可得相似三角形有什么性质？对应角相等、对应边成比例相似三角形具有传递性ABCDE1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角形有什么关系？【2】两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式！1、所有的直角三角形不都相似，如左图中的两个直角三角形就不相似；2、所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等腰直角三角形中都有一个直角，两个45°的角，且两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍，所以任意两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。议一议【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角形有什么【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于60°，且三边都相等，所以任两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似.【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？所【1】两个全等三角形一定相似【2】两个等腰直角三角形一定相似【3】两个等边三角形一定相似【4】两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似【1】两个全等三角形一定相似【2】两个等腰直角三角形一定相似例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。思考下列问题:1、草坪的形状与其图纸上相应的形状是否相似?2.它们的相似比是多少？例2：如图，已知△ABC∽ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=450，∠ACB=400，求⑴∠ADE和∠AED的度数；⑵DE的长ABCDE运用知识，拓展思维50cm30cm70cm450400？解：设其他两边的实际长度都是xcm，则X=3.5×400=1400cm=14m答：草坪其他两边的实际长度都是14m20mxm5cm3.5cm3.5cm5cm例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得∠AED=∠ACB=400。而在△ADE中∠AED+∠ADE+∠A=1800，所以∠ADE=1800-400-450=950ABCDE⑵因为△ABC∽△ADE，，所以由相似三角形对应边成比例，得AE：AC=DE：BC，即50：

（50+30）=DE：70，所以DE=43.75cm想一想:在上述的条件下,图中有哪些线段成比例?线段DE与BC平行吗?为什么?解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得∠平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与三角形相似吗?

ABCED猜猜看!ABCDE1cm2cm1.5cm3cm2cm6cm课后试试看这样的两个三角形相似吗？平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成随堂练习，巩固新知一、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x、y、m、n的值x20223348303a10800450n02a450550m0y随堂练习，巩固新知一、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形二、请同学们细心判一判

1、如果两个三角形全等，则它们必相似。√2、若两个三角形相似，且相似比为1，则它们必全等。√3、如果两个三角形与第三个三角形相似，则这两个三角形必相似。√4、相似的两个三角形一定大小不等。×二、请同学们细心判一判1、如果两个三角形全等，则它们试一试身手一、填一填：1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____2、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是_____4、已知△ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是______，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为

全等4︰324cm直角三角形150cm2试一试身手一、填一填：全等4︰324cm直角三角形150二、认真选一选1、下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6cm和8cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DE

C.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）3、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（）

A.55°B.100°C.250D.不能确定4、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为BDCC二、认真选一选BCC我们学了些什么？相似三角形定义对应角相等对应边成比例表示法：∽相似比：对应边的比我们学了些什么？相似三角形定义对应角相等对应边成比例表示法：谢谢各位再见谢谢各位再见23.3.2相似三角形的判定23.3相似三角形23.3.2相似三角形的判定23.3相似三角形创设情景尝试探索智海扬帆小结思考创设情景尝试探索智海扬帆小结思考我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？

判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3：三边成比例的两个三角形相似

A

BCA1B1

C1

我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？判定定理

下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形相似例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP，

(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABC

A

BCP下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形A

BCP

分析：这是一道探索性题目

(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即∠ACP＝∠B

(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即AC/AP=AB/ACABCP分析：这是一道探索性题目

解：(1)∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时，

(2)∵∠A＝∠A∴当AC/AP=AB/AC时，△ACP∽△ABCA

BCP△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）解：(1)∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时，例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'

求证：△ABC∽△A'B'C’

证明：∵AB∥A’B’

∴∠1＝∠2，

A’B’/AB＝OB’/OB

∵BC∥B’C’

∴∠3＝∠4，

B’C’/BC＝

OB’/OB

∴∠ABC＝∠A’B’C

A’B’/AB＝B’C’/BC

∴△ABC∽△A'B'C'BcAB’C’OA’1324例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'

求证：△A

例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于点F，AF＝FD。

求证：DE2＝BE·CE

证明：连结AE

DCEBAF∵EF⊥AD，AF=FD∴AE＝DE

∴∠ADE＝∠DAE

∵∠BAD＝∠CAD

∴∠B＝∠CAE

又∵∠BEA＝∠CEA∴△ACE∽△BAE

∴AE/BE

＝CE/AE

即AE2＝BE·CE

∴DE2＝BE·CE

例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O，AO＝BO，DF＝FB

求证：DE2＝EC·EO

证明：∵OA＝OB∴∠3＝∠2

∵DF＝FB

∴∠1＝∠2

∵DC∥AB

∴∠3＝∠4

∴∠1＝∠4

又∵∠DEO＝∠DEC

∴△DEO∽△CED

∴

DE/CE＝

EO/DE

∴DE2＝EC·EO

DCABOE3214F1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O，AO＝BO，2、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C'

求证：△ABC∽△A'B'C'

证明：∵BC∥B’C’

∴∠3＝∠4，

B’C’/BC

＝OC’/OC

∵AC∥A’C’

∴∠1＝∠2∴

A’C’/AC

＝

OC’/OC∴∠ACB＝∠A’C’B’

B’C’/BC

＝

A’C’/AC

∴△ABC∽△A’B’C’BAC