华师大版八上数学课件1323 角边角或角角边

第13章全等三角形13.2三角形全等的判定第3课时角边角或角角边第13章全等三角形13.2三角形全等的判定第3课时1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的定理：角角边2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角2课时流程1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？知1－导

1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，知1－导与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.

图13.2.8知1－导与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图图如图13.2.9,已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.

图13.2.9

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三知1－讲做一

做步骤：

1．画一条线段AB，使它等于3cm;2．画∠MAB=60°,∠NBA=40°，MA与NB交于点C.△ABC即为所求.如图13.2.9,已知两个角和一条线段，试画角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合.所画的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论.

知1－讲

知1－讲角边角

1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为A.S.A.(或角边角)2.证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′.

要点精析：(1)全等的元素：两角及两角夹边；(2)在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系．知1－讲∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，角边角知1－讲∠A＝∠A′，例1如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC.求证：△ABC≌△DCB，AB=DC.证明：在△ABC和△DCB中，∵ABC=∠DCB(已知），BC=CB(公共边），∠ACB=∠DBC(已知），图13.2.11∴△ABC≌△DCB(A.S.A.).AB=DC(全等三角形的对应边相等）.知1－讲

例1如图13.2.11，已知∠ABC=∠D总结知1－讲(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通常采用的目前所学过的方法有：(1)公共角、对顶角分别相等；(2)等角加(减)等角，其和(差)仍相等，即等式的性质；(3)同角或等角的余(补)角相等；(4)角平分线得到相等角；(5)平行线的同位角、内错角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形对应角相等；(8)第三角代换，即等量代换等．

总结知1－讲(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通1如图，∠A=∠B,CA=CB，△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由.

知1－练

1如图，∠A=∠B,CA=CB，△CAD和△CBE2(中考·安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(

)A．∠A＝∠C

B．AD＝CB

C．BE＝DF

D．AD∥BC知1－练

2(中考·安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠C3(中考·宁波改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(

)A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2知1－练

3(中考·宁波改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD2知识点判定两三角形全等的定理：角角边知2－导如图13.2.12,如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应

思考2知识点判定两三角形全等的定理：角角边知2－导思考知2－导

相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.

知2－导相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边

1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，简记为A.A.S.(或角角边)

证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，∵

∴△ABC≌△A′B′C′.

要点精析：(1)全等的元素：两角及其中一角的对边；(2)用S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.证明全等时，要注意图形中隐含的相等的角．例如：对顶角、公共角、同角的余

知2－讲∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等角(补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件．(3)常见的全等三角形类型如图13.2­-19所示．

图13.2­-192．已知两角和一边对应相等就可判定两三角形全等，即“A.S.A.或A.A.S.”

知2－讲角(补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中知2－讲知2－讲

下面我们证明这个定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.(或角角边）.

已知：如图13.2.12,∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′知2－讲下面我们证明这个定理：知2－讲

证明：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，（已知），∠A′+∠B′+∠C′=180°（三角形的内角和等于180°),∴∠A+∠B+∠C′=180°（等量代换）.又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C=∠C′(等式的性质).在△ABC和A′B′C′中，，，，

. 请补充完整证明过程.知2－讲证明：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，（例2如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点,过点C画直线CE,使CE//AB,交AD的延长线于点E.求证AD=ED.

知2－讲例2如图13.2.13，在△ABC中，D是边证明：∵CE//AB(已知），∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∴△ABD≌△ECD(A.A.S.)，∴AD=ED(全等三角形的对应边相等）

知2－讲∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知），证明：∵CE//AB(已知），知2－讲∠ABD=∠总结知2－讲要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法.

可以采用类似的方法证明两个角相等.总结知2－讲要证明两条线段AD、ED相等，我们可以采知2－讲例3求证:全等三角形对应边上的高相等.已知：如图13.2.14,△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的高.求证:AD=A′D′.

你发现AD、A′D′分别是哪两个三角形的边？这两个三角形全等吗？知2－讲例3求证:全等三角形对应边上的高相等.你发知2－讲分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A′D分别属于△ABD与△A′B′D′，要证AD=A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知），∴AB=A′B′（全等三角形的对应边相等），∵∠B=∠B′（全等三角形的对应角相等）.

知2－讲分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A′D分知2－讲在△ABD和△A′B′D′中，∵∴△ABD≌△A′B′D′（A.A.S）∴AD=A′D′(全等三角形的对应边相等).

∠ADB=∠A′D′B′=90°（已知），∠B=∠B′（已证），AB=A′B′（已证），知2－讲在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB=∠A总结知2－讲判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什么条件，再去证什么条件，简言之：即综合利用分析法和综合法寻找证明途径．

总结知2－讲判定两三角形全等，先根据已知条件或知2－讲

全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？思考

知2－讲思考知2－讲全等三角形除了对应边相等、对应角相等外，还有以下几条性质：(1)全等三角形的周长相等，面积相等；(2)全等三角形的对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．

知2－讲全等三角形除了对应边相等、对应角相等外，1如图，∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.知3－练

1如图，∠1=∠2，∠C=∠D.求证：A2(中考·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(

)A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD知3－练

2(中考·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列3(中考·通辽)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.求证：△ABC与△DEC全等．知3－练

3(中考·通辽)如图，四边形ABCD中，E点在AD上证明三角形全等的“三类条件”：直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角．隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角．间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角，需要进一步推理．

证明三角形全等的“三类条件”：第13章全等三角形13.2三角形全等的判定第3课时角边角或角角边第13章全等三角形13.2三角形全等的判定第3课时1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的定理：角角边2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角2课时流程1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？知1－导

1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，知1－导与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.

图13.2.8知1－导与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图图如图13.2.9,已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.

图13.2.9

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三知1－讲做一

做步骤：

1．画一条线段AB，使它等于3cm;2．画∠MAB=60°,∠NBA=40°，MA与NB交于点C.△ABC即为所求.如图13.2.9,已知两个角和一条线段，试画角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合.所画的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论.

知1－讲

知1－讲角边角

1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为A.S.A.(或角边角)2.证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′.

要点精析：(1)全等的元素：两角及两角夹边；(2)在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系．知1－讲∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，角边角知1－讲∠A＝∠A′，例1如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC.求证：△ABC≌△DCB，AB=DC.证明：在△ABC和△DCB中，∵ABC=∠DCB(已知），BC=CB(公共边），∠ACB=∠DBC(已知），图13.2.11∴△ABC≌△DCB(A.S.A.).AB=DC(全等三角形的对应边相等）.知1－讲

例1如图13.2.11，已知∠ABC=∠D总结知1－讲(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通常采用的目前所学过的方法有：(1)公共角、对顶角分别相等；(2)等角加(减)等角，其和(差)仍相等，即等式的性质；(3)同角或等角的余(补)角相等；(4)角平分线得到相等角；(5)平行线的同位角、内错角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形对应角相等；(8)第三角代换，即等量代换等．

总结知1－讲(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通1如图，∠A=∠B,CA=CB，△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由.

知1－练

1如图，∠A=∠B,CA=CB，△CAD和△CBE2(中考·安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(

)A．∠A＝∠C

B．AD＝CB

C．BE＝DF

D．AD∥BC知1－练

2(中考·安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠C3(中考·宁波改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(

)A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2知1－练

3(中考·宁波改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD2知识点判定两三角形全等的定理：角角边知2－导如图13.2.12,如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应

思考2知识点判定两三角形全等的定理：角角边知2－导思考知2－导

相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.

知2－导相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边

1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，简记为A.A.S.(或角角边)

证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，∵

∴△ABC≌△A′B′C′.

要点精析：(1)全等的元素：两角及其中一角的对边；(2)用S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.证明全等时，要注意图形中隐含的相等的角．例如：对顶角、公共角、同角的余

知2－讲∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等角(补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件．(3)常见的全等三角形类型如图13.2­-19所示．

图13.2­-192．已知两角和一边对应相等就可判定两三角形全等，即“A.S.A.或A.A.S.”

知2－讲角(补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中知2－讲知2－讲

下面我们证明这个定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.(或角角边）.

已知：如图13.2.12,∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′知2－讲下面我们证明这个定理：知2－讲

证明：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，（已知），∠A′+∠B′+∠C′=180°（三角形的内角和等于180°),∴∠A+∠B+∠C′=180°（等量代换）.又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C=∠C′(等式的性质).在△ABC和A′B′C′中，，，，

. 请补充完整证明过程.知2－讲证明：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，（例2如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点,过点C画直线CE,使CE//AB,交AD的延长线于点E.求证AD=ED.

知2－讲例2如图13.2.13，在△ABC中，D是边证明：∵CE//AB(已知），∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∴△ABD≌△ECD(A.A.S.)，∴AD=ED(全等三角形的对应边相等）

知2－讲∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知），证明：∵CE//AB(已知），知2－讲∠ABD=∠总结知2－讲要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法.

可以采用类似的方法证明两个角相等.总结知2－讲要证明两条线段AD、ED相等，我们可以采知2－讲例3求证:全等三角形对应边上的高相等.已知：如图13.2.14,△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的高.求证:AD=A′D′.

你发现AD、A′D′分别是哪两个三角形的边？这两个三角形全等吗？知2－讲例3求证:全等三角形对应边上的高相等.你发知2－讲分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A′D分别属于△ABD与△A′B′D′，要证AD=A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知），∴AB=A′B′（全等三角形的对应边相等），∵∠B=∠B′（全等三角形的对应角相等）.

知