北师大版数学七年级下册第五章3简单的轴对称图形课件

初中数学（北师大版）七年级下册第五章生活中的轴对称初中数学（北师大版）第五章生活中的轴对称知识点一

等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做

底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图5-3-1.图5-3-1知识点一

等腰三角形1.等腰三角形的定义图5-3-122.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三

线合一”),其所在的直线是等腰三角形的对称轴.(3)等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直线

为对称轴的轴对称图形,通常只有一条对称轴.注意(1)“等边对等角”是在同一个三角形中,否则,不能使用该性质.(2)等腰三角形“三线合一”的应用非常广泛,它可以用来得到角相等、线

段相等、垂直关系等.(3)等腰三角形的对称轴是直线.2.等腰三角形的性质33.等边三角形(1)等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角

形.(2)等边三角形的性质:①等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.②等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°.3.等边三角形4例1(1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两个角的度数;(2)已知等腰三角形的一个角是160°,求三角形的另外两个角的度数.分析已知等腰三角形的一个角,没有明确是等腰三角形的底角还是顶角,

所以需要分类讨论.解析(1)若已知角是顶角,则另外两角是底角,底角的度数为

×(180°-30°)=75°;若已知角是底角,则顶角的度数为180°-30°×2=120°.所以另外两个角

的度数分别是75°,75°或30°,120°.(2)已知等腰三角形的一个角是160°,由于三角形内角和为180°且等腰三角

形的两个底角相等,因此已知的这个角只能是顶角,所以两个底角的度数都

是

×(180°-160°)=10°.所以另外两个角的度数分别是10°,10°.例1(1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两5知识点二

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线图形定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(也叫中垂线)

直线l是线段AB的垂直平分线,P为l上一点,则PA=PB性质线段垂直平分线上的点与这条

线段两个端点的距离相等知识详解(1)线段的垂直平分线(也称为中垂线)是直线而不是线段.(2)由线段的垂直平分线的性质可直接构造等腰三角形,从而得等角、等边,不必再由三角形全等得到.(3)应用格式,∵l垂直平分AB,点P是l上一点,∴PA=PB.(4)线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴知识点二

线段的垂直平分线线段的垂直平分线图形定义经6例2如图5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB,AC于点E,D.

图5-3-2(1)若△BCD的周长为8,求BC的长;(2)若BC=4,求△BCD的周长.分析由DE是AB的垂直平分线,得AD=BD,所以BD与CD的长度和等于AC

的长,所以由△BCD的周长可求BC的长,同样,由BC的长也可求△BCD的周

长.例2如图5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线7解析

∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周长为8,∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4,∴△BCD的周长=BC+BD+CD=4+5=9.解析

∵DE垂直平分AB,8知识点三

角平分线的性质定理附:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.

内容符号语言表示图形表示角平分线的性质定理角平分线上的点到这

个角的两边的距离相

等如果点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则PD=PE

牢记(1)角平分线的性质定理是证明线段相等的一个比较简单的方法;(2)当遇到有关角平分线的问题时,通常过角平分线上的点向角的两边作垂

线,构造相等的线段知识点三

角平分线的性质定理附:角是轴对称图形,角平分9例3如图5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,△ABC的面积为7,AB

=4,DE=2,则AC的长是

()

图5-3-3A.2B.3C.4D.5例3如图5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥10解析如图5-3-4,过点D作DF⊥AC交AC于点F,∵AD是∠BAC的平分线,

DE⊥AB,∴DE=DF=2.∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=

AB·DE+

AC·DF=

×4×2+

AC×2=7,即4+AC=7,∴AC=3.故选B.

图5-3-4答案

B解析如图5-3-4,过点D作DF⊥AC交AC于点F,∵AD11题型

运用线段的垂直平分线的性质求解或说理例如图5-3-5,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点

D,E.(1)若BC=10,求△ACD的周长;(2)若∠C=25°,求∠CAD的度数.

图5-3-5题型

运用线段的垂直平分线的性质求解或说理例如图5-12解析(1)因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△ACD的周长=AC

+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.(2)因为AB=AC,所以∠B=∠C=25°,所以∠BAC=130°,因为AD=BD,所以∠BAD=∠B=25°,所以∠CAD=130°-25°=105°.点拨运用线段的垂直平分线的性质求三角形周长常利用转化思想,即把

三角形的周长转化成已知长度的几条线段的和.解析(1)因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以13易错点

对“三线合一”的性质理解有误而出错例如图5-3-6所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=

.

图5-3-6错解36°正解18°错解提示本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线、腰上的中

线、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高相互重合.易错点

对“三线合一”的性质理解有误而出错例如图5-14知识点一

等腰三角形1.(2017山东烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图5-3-1所示,已知AB

∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为

(

)图5-3-1A.48°

B.40°

C.30°

D.24°知识点一

等腰三角形1.(2017山东烟台中考)某城市15答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.162.(2018安徽合肥期中检测)如图5-3-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,

∠BAD=35°,则∠C的度数为

()

图5-3-2A.35°

B.45°

C.55°

D.60°答案

C∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD是∠BAC

的平分线(等腰三角形“三线合一”).又∵∠BAD=35°,∴∠BAC=2∠BAD

=70°,∴∠C=

×(180°-70°)=55°.故选C.2.(2018安徽合肥期中检测)如图5-3-2,在△ABC中173.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图5-3-3(2),其

中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=

度.

图5-3-3解析由对顶角相等可得∠AOB=30°,∵OA=OB,∴∠A=

=75°.3.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,184.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC、AB边上的高,求∠BFC的度数.

图5-3-4解析∵△ABC是等边三角形,BE、CD分别是AC、AB边上的高,∴∠FBC=∠FCB=

×60°=30°,∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.4.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是A19知识点二

线段的垂直平分线5.(2017湖北荆州中考)如图5-3-5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平

分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为

()

图5-3-5A.30°

B.45°

C.50°

D.75°知识点二

线段的垂直平分线5.(2017湖北荆州中考)20答案

B∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∵AB的垂直平分线交AC于D,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,∴∠BDC=60°,∴∠CBD=180°-75°-60°=45°.故选B.答案

B∵AB=AC,∠A=30°,216.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于

AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,

延长AC至M,则∠BCM的度数为()

图5-3-6A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,∵C在l上,∴AC=BC,

∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BCM=50°,故选B.6.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分22知识点三

角平分线的性质定理7.如图5-3-7所示,AO是∠BAC的平分线,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,若ON=8

cm,则OM的长为

()

图5-3-7A.8cm

B.4cmC.5cm

D.不能确定答案

A∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∴OM=ON,

而ON=8cm,∴OM=8cm.故选A.知识点三

角平分线的性质定理7.如图5-3-7所示,A238.如图5-3-8,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为

()

图5-3-8A.7.5

B.8

C.15

D.无法确定8.如图5-3-8,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=24答案

A如图,过点D作DE⊥BC于点E.

∵∠A=90°,∴AD⊥AB.又∵BD平分∠ABC,∴DE=AD=3.又∵BC=5,∴S△BCD=

BC·DE=

×5×3=7.5.答案

A如图,过点D作DE⊥BC于点E.251.(2017安徽阜阳颍州月考)若等腰三角形的一个内角是30°,则顶角的度数

是

()A.30°B.120°C.30°或120°

D.60°答案

C当底角是30°时,顶角为180°-30°×2=120°,符合题意;当顶角为30°

时,符合题意.故选C.1.(2017安徽阜阳颍州月考)若等腰三角形的一个内角是30262.(2018安徽安庆宿松二中期中预测)在△ABC中,AB=AC,∠C=75°,则∠A的

度数是

()A.150°

B.50°

C.30°

D.75°答案

C∵AB=AC,∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.又∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.2.(2018安徽安庆宿松二中期中预测)在△ABC中,AB=273.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论不正确的是

()

A.∠BAD=45°B.△ABD≌△ACDC.AD=

BCD.AD=

AB3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥28答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=

BC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∴AD=BD=

BC,故A、C正确;在△ABD与△ACD中,∵

∴△ABD≌△ACD(SAS),故B正确;由已知条件无法推得AD=

AB,故D错误.答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠B294.(2017浙江台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,

BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是

()

A.AE=EC

B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC

D.∠EBC=∠ABE答案

C∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由题意可知BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,故选C.4.(2017浙江台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB305.(2017山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长

度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于

MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是

()A.15

B.30

C.45

D.60答案

B由题意得AP是∠BAC的平分线,如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∴DE=CD=4,∴△ABD的面积=

AB·DE=

×15×4=30.

5.(2017山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=9316.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是

.答案100°解析∵100°>90°,∴100°的角是顶角,故答案为100°.6.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°,327.(2017江苏常州中考)如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足

为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是

.

答案15解析∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15,故答案为15.7.(2017江苏常州中考)如图,已知在△ABC中,DE是B331.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,

则该等腰三角形的底边长为

()A.2cm

B.4cmC.6cm

D.8cm答案

A当腰长为2cm时,底边长为6cm,但是2+2=4<6,即两边之和小于

第三边,不合题意;当底边长为2cm时,腰长为4cm,符合题意,故选A.1.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10cm342.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则

该等腰三角形的周长是

.答案15解析当腰为3时,3+3=6,∴3、3、6不能组成三角形;当腰为6时,3+6=9>6,∴3、6、6能组成三角形,∴该三角形的周长为3+6+6=15.2.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分353.(2018甘肃敦煌期末)如图5-3-9,△ABC中,AB+AC=7cm,BC的垂直平分线l

与AC相交于点D,则△ABD的周长为

cm.

图5-3-9答案7解析∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=7cm,故答

案为7.3.(2018甘肃敦煌期末)如图5-3-9,△ABC中,AB364.(2018吉林松原宁江期末)如图5-3-10,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,

M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.(8分)

图5-3-10求证:(1)AM⊥DM;(2)M为BC的中点.4.(2018吉林松原宁江期末)如图5-3-10,四边形AB37证明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.(2)如图,过M作MN⊥AD交AD于N,∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM,即M为BC的中点.证明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,381.(2017湖南湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于

点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段

.

答案

BC=BE(或DC=DE或BE=AE)解析已知∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用角平

分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得△BCD≌△BED,根据全等

三角形的性质可得BC=BE.1.(2017湖南湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=9392.(2017湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC

的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为

.

2.(2017湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,40解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°,∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°,∴∠BEC=∠ABC,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2a+3b.答案2a+3b解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b41一、选择题1.(2017北京昌平临川育人学校第二次月考,10,★☆☆)下列说法中正确的

是

()①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等;②角是轴对称图形;③线段不是轴对称图形;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.A.①②③④

B.①②③C.②④

D.②③④答案

C角平分线上的点到角两边的距离(垂线段长度)相等;线段是轴

对称图形.一、选择题答案

C角平分线上的点到角两边的距离(垂线422.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如图5-3-11,在△ABC中,点D在边BC

上,若∠BAD=∠CAD,AB=6,AC=3,S△ABD=3,则S△ACD=

()

图5-3-11A.3

B.6

C.

D.

2.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如图5-3-143答案

C如图,过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,DQ⊥AB于Q,∵∠BAD

=∠CAD,∴DP=DQ,∵S△ABD=

AB·DQ=

×6·DQ=3,∴DQ=1,∴DP=1,∴S△ACD=

·AC·DP=

,故选C.

答案

C如图,过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,D443.(2018陕西榆林府谷期中,19,★☆☆)如图5-3-12,在△ABC中,AD⊥BC于

点D,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F,已知AE=AB,则AB,BD,DC三

者之间有怎样的数量关系?说明理由.(6分)

图5-3-12二、解答题3.(2018陕西榆林府谷期中,19,★☆☆)如图5-3-145解析

AB+BD=DC.理由:∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE,∵点E在AC的垂直平分线上,∴AE=CE,∴AB=CE,∴AB+BD=CE+DE=DC,即AB+BD=DC.解析

AB+BD=DC.464.(2019上海杨浦月考,29,★★☆)如图5-3-13,已知△ABC和△BDE都是等

边三角形,试说明:BD+DC=AD.

图5-3-134.(2019上海杨浦月考,29,★★☆)如图5-3-13,47解析∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°,∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS),∴DC=AE,∴AD=ED+AE=BD+CD.解析∵△ABC和△BDE都是等边三角形,481.(2018浙江宁波镇海期末,17,★★☆)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平

分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是45cm2,AB=16cm,AC=14

cm,则DE=

cm.

1.(2018浙江宁波镇海期末,17,★★☆)如图,在△AB49解析∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵△ABC的面积是45cm2,AB=16cm,AC=14cm,∴

×16·DE+

×14·DF=45,∴DE=3cm.答案3解析∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,答案502.(2017内蒙古乌加河学校期末,13,★☆☆)已知等腰三角形的两边长分别

是4cm和5cm,则它的周长是

;若等腰三角形的两边长分别是4cm

和9cm,则它的周长是

.答案13或14cm;22cm解析三角形的三边长分别为4cm,4cm,5cm或4cm,5cm,5cm,故周长为

4+4+5=13cm或4+5+5=14cm;因为4+4<9,所以三角形的三边长不能为4cm,4cm,9cm,只能为4cm,9cm,9cm,故周长为9+9+4=22cm.2.(2017内蒙古乌加河学校期末,13,★☆☆)已知等腰三513.(2018广东云浮云城期末,19,★★☆)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平

分线,AE=5cm,△ABD的周长为17cm,求△ABC的周长.

解析∵DE垂直平分AC,∴AE=EC=5cm,AD=DC,∵AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm,∴AB+BC+AC=17+10=27cm.即△ABC的周长为27cm.3.(2018广东云浮云城期末,19,★★☆)如图,在△AB524.(2019河北保定十三中阶段性考试,22,★★☆)如图,Ox,Oy是两条公路,在

两条公路夹角的内部有一油库A,现在想在两条公路上建两个加油站,为使

运油的油罐车从油库出发先到一加油站,再到另一加油站,最后回到油库的

路程最短,问两加油站应如何选址?

4.(2019河北保定十三中阶段性考试,22,★★☆)如图,53解析如图,取点A关于Ox,Oy的对称点A1,A2,连接A1A2,分别交Ox,Oy于点B,

C,则B,C两点为两加油站的地址.

解析如图,取点A关于Ox,Oy的对称点A1,A2,连接A154一、选择题1.(2019广西北部湾经济区中考,7,★★☆)如图5-3-14,在△ABC中,AC=BC,

∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为

()

图5-3-14A.40°

B.45°C.50°

D.60°一、选择题55答案

C由作法得CG⊥AB,∵BC=AC,∴CG平分∠ACB,∠A=∠B,∴∠ACB=180°-40°-40°=100°,∴∠BCG=

∠ACB=50°.故选C.答案

C由作法得CG⊥AB,562.(2019内蒙古赤峰中考,8,★★☆)如图5-3-15,DE是△ABC的边AB的垂直

平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是

()

图5-3-15A.12

B.13

C.14

D.15答案

B∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线,∴AE=BE,∵AC=8,BC=5,∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.2.(2019内蒙古赤峰中考,8,★★☆)如图5-3-15,573.(2019山东青岛中考,7,★★☆)如图5-3-16,BD是△ABC的角平分线,AE⊥

BD,垂足为F,若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为

()

图5-3-16A.35°

B.40°C.45°

D.50°3.(2019山东青岛中考,7,★★☆)如图5-3-16,B58答案

C∵BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,∴∠ABD=∠EBD=

∠ABC=17.5°,∠AFB=∠EFB=90°,∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°=72.5°,∴AB=EB,∴AF=EF,∴AD=ED,∴∠DAF=∠DEF,∴∠BED=∠BAD,∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°,∴∠BED=95°,∴∠DEC=180°-95°=85°,∴∠CDE=180°-85°-50°=45°,故选C.答案

C∵BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,∴∠594.(2019四川成都中考,12,★★☆)如图5-3-17,在△ABC中,AB=AC,点D,E都

在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为

.

图5-3-17二、填空题4.(2019四川成都中考,12,★★☆)如图5-3-17,60答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE,∴CE=BD=9,故答案为9.答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BAD和△CA615.(2018湖南湘潭中考,12,★★☆)如图5-3-18,在等边三角形ABC中,点D是

边BC的中点,则∠BAD=

.

图5-3-18答案30°解析∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.又点D是边BC的中点,∴∠BAD=

∠BAC=30°.5.(2018湖南湘潭中考,12,★★☆)如图5-3-18,621.(2018湖北黄冈中考,4,★★☆)如图,在△ABC中,直线DE是AC的垂直平分

线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD的度数为

(

)

A.50°

B.70°

C.75°

D.80°1.(2018湖北黄冈中考,4,★★☆)如图,在△ABC中,63答案

B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.答案

B因为直线DE是AC的垂直平分线,642.(2018江苏扬州中考,7,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于

D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是

()

A.BC=EC

B.EC=BEC.BC=BE

D.AE=EC2.(2018江苏扬州中考,7,★★☆)如图,在Rt△ABC65答案

C∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE.故选C.答案

C∵∠ACB=90°,CD⊥AB,663.(2019甘肃兰州中考,14,★☆☆)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=

.答案70°解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=

×(180°-40°)=70°.3.(2019甘肃兰州中考,14,★☆☆)在△ABC中,AB671.如图5-3-19,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别

在AB,AD上,且AE=DF,请说明四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.

图5-3-191.如图5-3-19,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平68解析如图,作CG⊥AB于点G,CH⊥AD于点H,因为AC为∠BAD的平分线,

所以CG=CH.因为AB=AD,AE=DF,所以S△ABC=S△ACD,S△AEC=S△CDF.因为S四边形AECF

=S△AEC+S△ACF,所以S四边形AECF=S△CDF+S△ACF=S△ACD=

S四边形ABCD.

解析如图,作CG⊥AB于点G,CH⊥AD于点H,因为AC为692.如图5-3-20,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N.(1)若△CMN的周长为18cm,求AB的长;(2)若∠MCN=50°,求∠ACB的度数.

图5-3-202.如图5-3-20,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分A70解析(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC,所以AM=CM,CN=BN.因为△CMN的周长为18cm,即CM+CN+MN=18cm,所以AB=AM+BN+MN=CM+CN+MN=18cm.(2)如图,因为DM垂直平分AC,所以AM=CM,所以∠1=∠2.因为EN垂直平分

BC,所以BN=CN,所以∠3=∠4,又因为∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°,则2(∠1

+∠4)=180°-50°=130°,即∠1+∠4=65°,所以∠ACB=(∠1+∠4)+∠MCN=65°

+50°=115°.

解析(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC,所以AM=71如图,在一张长为8cm,宽为6cm的长方形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点A重合,其余的两个顶点都在长方形的边上).这个等腰三角形的剪法有

()

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种答案

C当等腰三角形中以A为顶点的角为顶角时,如图1,此时AE=AF=5

cm.如图,在一张长为8cm,宽为6cm的长方形纸片上,要剪72

图1当等腰三角形中以A为顶点的角为底角时,有两种情况:如图2,图3.

故选C.

73初中数学（北师大版）七年级下册第五章生活中的轴对称初中数学（北师大版）第五章生活中的轴对称知识点一

等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做

底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图5-3-1.图5-3-1知识点一

等腰三角形1.等腰三角形的定义图5-3-1752.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三

线合一”),其所在的直线是等腰三角形的对称轴.(3)等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直线

为对称轴的轴对称图形,通常只有一条对称轴.注意(1)“等边对等角”是在同一个三角形中,否则,不能使用该性质.(2)等腰三角形“三线合一”的应用非常广泛,它可以用来得到角相等、线

段相等、垂直关系等.(3)等腰三角形的对称轴是直线.2.等腰三角形的性质763.等边三角形(1)等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角

形.(2)等边三角形的性质:①等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.②等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°.3.等边三角形77例1(1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两个角的度数;(2)已知等腰三角形的一个角是160°,求三角形的另外两个角的度数.分析已知等腰三角形的一个角,没有明确是等腰三角形的底角还是顶角,

所以需要分类讨论.解析(1)若已知角是顶角,则另外两角是底角,底角的度数为

×(180°-30°)=75°;若已知角是底角,则顶角的度数为180°-30°×2=120°.所以另外两个角

的度数分别是75°,75°或30°,120°.(2)已知等腰三角形的一个角是160°,由于三角形内角和为180°且等腰三角

形的两个底角相等,因此已知的这个角只能是顶角,所以两个底角的度数都

是

×(180°-160°)=10°.所以另外两个角的度数分别是10°,10°.例1(1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两78知识点二

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线图形定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(也叫中垂线)

直线l是线段AB的垂直平分线,P为l上一点,则PA=PB性质线段垂直平分线上的点与这条

线段两个端点的距离相等知识详解(1)线段的垂直平分线(也称为中垂线)是直线而不是线段.(2)由线段的垂直平分线的性质可直接构造等腰三角形,从而得等角、等边,不必再由三角形全等得到.(3)应用格式,∵l垂直平分AB,点P是l上一点,∴PA=PB.(4)线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴知识点二

线段的垂直平分线线段的垂直平分线图形定义经79例2如图5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB,AC于点E,D.

图5-3-2(1)若△BCD的周长为8,求BC的长;(2)若BC=4,求△BCD的周长.分析由DE是AB的垂直平分线,得AD=BD,所以BD与CD的长度和等于AC

的长,所以由△BCD的周长可求BC的长,同样,由BC的长也可求△BCD的周

长.例2如图5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线80解析

∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周长为8,∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4,∴△BCD的周长=BC+BD+CD=4+5=9.解析

∵DE垂直平分AB,81知识点三

角平分线的性质定理附:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.

内容符号语言表示图形表示角平分线的性质定理角平分线上的点到这

个角的两边的距离相

等如果点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则PD=PE

牢记(1)角平分线的性质定理是证明线段相等的一个比较简单的方法;(2)当遇到有关角平分线的问题时,通常过角平分线上的点向角的两边作垂

线,构造相等的线段知识点三

角平分线的性质定理附:角是轴对称图形,角平分82例3如图5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,△ABC的面积为7,AB

=4,DE=2,则AC的长是

()

图5-3-3A.2B.3C.4D.5例3如图5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥83解析如图5-3-4,过点D作DF⊥AC交AC于点F,∵AD是∠BAC的平分线,

DE⊥AB,∴DE=DF=2.∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=

AB·DE+

AC·DF=

×4×2+

AC×2=7,即4+AC=7,∴AC=3.故选B.

图5-3-4答案

B解析如图5-3-4,过点D作DF⊥AC交AC于点F,∵AD84题型

运用线段的垂直平分线的性质求解或说理例如图5-3-5,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点

D,E.(1)若BC=10,求△ACD的周长;(2)若∠C=25°,求∠CAD的度数.

图5-3-5题型

运用线段的垂直平分线的性质求解或说理例如图5-85解析(1)因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△ACD的周长=AC

+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.(2)因为AB=AC,所以∠B=∠C=25°,所以∠BAC=130°,因为AD=BD,所以∠BAD=∠B=25°,所以∠CAD=130°-25°=105°.点拨运用线段的垂直平分线的性质求三角形周长常利用转化思想,即把

三角形的周长转化成已知长度的几条线段的和.解析(1)因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以86易错点

对“三线合一”的性质理解有误而出错例如图5-3-6所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=

.

图5-3-6错解36°正解18°错解提示本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线、腰上的中

线、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高相互重合.易错点

对“三线合一”的性质理解有误而出错例如图5-87知识点一

等腰三角形1.(2017山东烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图5-3-1所示,已知AB

∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为

(

)图5-3-1A.48°

B.40°

C.30°

D.24°知识点一

等腰三角形1.(2017山东烟台中考)某城市88答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.892.(2018安徽合肥期中检测)如图5-3-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,

∠BAD=35°,则∠C的度数为

()

图5-3-2A.35°

B.45°

C.55°

D.60°答案

C∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD是∠BAC

的平分线(等腰三角形“三线合一”).又∵∠BAD=35°,∴∠BAC=2∠BAD

=70°,∴∠C=

×(180°-70°)=55°.故选C.2.(2018安徽合肥期中检测)如图5-3-2,在△ABC中903.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图5-3-3(2),其

中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=

度.

图5-3-3解析由对顶角相等可得∠AOB=30°,∵OA=OB,∴∠A=

=75°.3.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,914.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC、AB边上的高,求∠BFC的度数.

图5-3-4解析∵△ABC是等边三角形,BE、CD分别是AC、AB边上的高,∴∠FBC=∠FCB=

×60°=30°,∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.4.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是A92知识点二

线段的垂直平分线5.(2017湖北荆州中考)如图5-3-5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平

分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为

()

图5-3-5A.30°

B.45°

C.50°

D.75°知识点二

线段的垂直平分线5.(2017湖北荆州中考)93答案

B∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∵AB的垂直平分线交AC于D,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,∴∠BDC=60°,∴∠CBD=180°-75°-60°=45°.故选B.答案

B∵AB=AC,∠A=30°,946.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于

AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,

延长AC至M,则∠BCM的度数为()

图5-3-6A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,∵C在l上,∴AC=BC,

∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BCM=50°,故选B.6.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分95知识点三

角平分线的性质定理7.如图5-3-7所示,AO是∠BAC的平分线,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,若ON=8

cm,则OM的长为

()

图5-3-7A.8cm

B.4cmC.5cm

D.不能确定答案

A∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∴OM=ON,

而ON=8cm,∴OM=8cm.故选A.知识点三

角平分线的性质定理7.如图5-3-7所示,A968.如图5-3-8,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为

()

图5-3-8A.7.5

B.8

C.15

D.无法确定8.如图5-3-8,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=97答案

A如图,过点D作DE⊥BC于点E.

∵∠A=90°,∴AD⊥AB.又∵BD平分∠ABC,∴DE=AD=3.又∵BC=5,∴S△BCD=

BC·DE=

×5×3=7.5.答案

A如图,过点D作DE⊥BC于点E.981.(2017安徽阜阳颍州月考)若等腰三角形的一个内角是30°,则顶角的度数

是

()A.30°B.120°C.30°或120°

D.60°答案

C当底角是30°时,顶角为180°-30°×2=120°,符合题意;当顶角为30°

时,符合题意.故选C.1.(2017安徽阜阳颍州月考)若等腰三角形的一个内角是30992.(2018安徽安庆宿松二中期中预测)在△ABC中,AB=AC,∠C=75°,则∠A的

度数是

()A.150°

B.50°

C.30°

D.75°答案

C∵AB=AC,∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.又∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.2.(2018安徽安庆宿松二中期中预测)在△ABC中,AB=1003.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论不正确的是

()

A.∠BAD=45°B.△ABD≌△ACDC.AD=

BCD.AD=

AB3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥101答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=

BC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∴AD=BD=

BC,故A、C正确;在△ABD与△ACD中,∵

∴△ABD≌△ACD(SAS),故B正确;由已知条件无法推得AD=

AB,故D错误.答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠B1024.(2017浙江台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,

BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是

()

A.AE=EC

B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC

D.∠EBC=∠ABE答案

C∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由题意可知BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,故选C.4.(2017浙江台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB1035.(2017山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长

度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于

MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是

()A.15

B.30

C.45

D.60答案

B由题意得AP是∠BAC的平分线,如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∴DE=CD=4,∴△ABD的面积=

AB·DE=

×15×4=30.

5.(2017山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=91046.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是

.答案100°解析∵100°>90°,∴100°的角是顶角,故答案为100°.6.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°,1057.(2017江苏常州中考)如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足

为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是

.

答案15解析∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15,故答案为15.7.(2017江苏常州中考)如图,已知在△ABC中,DE是B1061.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,

则该等腰三角形的底边长为

()A.2cm

B.4cmC.6cm

D.8cm答案

A当腰长为2cm时,底边长为6cm,但是2+2=4<6,即两边之和小于

第三边,不合题意;当底边长为2cm时,腰长为4cm,符合题意,故选A.1.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10cm1072.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则

该等腰三角形的周长是

.答案15解析当腰为3时,3+3=6,∴3、3、6不能组成三角形;当腰为6时,3+6=9>6,∴3、6、6能组成三角形,∴该三角形的周长为3+6+6=15.2.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分1083.(2018甘肃敦煌期末)如图5-3-9,△ABC中,AB+AC=7cm,BC的垂直平分线l

与AC相交于点D,则△ABD的周长为

cm.

图5-3-9答案7解析∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=7cm,故答

案为7.3.(2018甘肃敦煌期末)如图5-3-9,△ABC中,AB1094.(2018吉林松原宁江期末)如图5-3-10,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,

M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.(8分)

图5-3-10求证:(1)AM⊥DM;(2)M为BC的中点.4.(2018吉林松原宁江期末)如图5-3-10,四边形AB110证明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.(2)如图,过M作MN⊥AD交AD于N,∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM,即M为BC的中点.证明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,1111.(2017湖南湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于

点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段

.

答案

BC=BE(或DC=DE或BE=AE)解析已知∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用角平

分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得△BCD≌△BED,根据全等

三角形的性质可得BC=BE.1.(2017湖南湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=91122.(2017湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC

的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为

.

2.(2017湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,113解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°,∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°,∴∠BEC=∠ABC,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2a+3b.答案2a+3b解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b114一、选择题1.(2017北京昌平临川育人学校第二次月考,10,★☆☆)下列说法中正确的

是

()①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等;②角是轴对称图形;③线段不是轴对称图形;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.A.①②③④

B.①②③C.②④

D.②③④答案

C角平分线上的点到角两边的距离(垂线段长度)相等;线段是轴

对称图形.一、选择题答案

C角平分线上的点到角两边的距离(垂线1152.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如图5-3-11,在△ABC中,点D在边BC

上,若∠BAD=∠CAD,AB=6,AC=3,S△ABD=3,则S△ACD=

()

图5-3-11A.3

B.6

C.

D.

2.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如图5-3-1116答案

C如图,过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,DQ⊥AB于Q,∵∠BAD

=∠CAD,∴DP=DQ,∵S△ABD=

AB·DQ=

×6·DQ=3,∴DQ=1,∴DP=1,∴S△ACD=

·AC·DP=

,故选C.

答案

C如图,过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,D1173.(2018陕西榆林府谷期中,19,★☆☆)如图5-3-12,在△ABC中,AD⊥BC于

点D,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F,已知AE=AB,则AB,BD,DC三

者之间有怎样的数量关系?说明理由.(6分)

图5-3-12二、解答题3.(2018陕西榆林府谷期中,19,★☆☆)如图5-3-1118解析

AB+BD=DC.理由:∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE,∵点E在AC的垂直平分线上,∴AE=CE,∴AB=CE,∴AB+BD=CE+DE=DC,即AB+BD=DC.解析

AB+BD=DC.1194.(2019上海杨浦月考,29,★★☆)如图5-3-13,已知△ABC和△BDE都是等

边三角形,试说明:BD+DC=AD.

图5-3-134.(2019上海杨浦月考,29,★★☆)如图5-3-13,120解析∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°,∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS),∴DC=AE,∴AD=ED+AE=BD+CD.解析∵△ABC和△BDE都是等边三角形,1211.(2018浙江宁波镇海期末,17,★★☆)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平

分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是45cm2,AB=16cm,A