2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹角课件新人教B版选择性必修第一册

1.2.3直线与平面的夹角第一章课标要求1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念;2.理解最小角定理及公式cosθ=cosθ1cosθ2,能用这一公式解决相关问题;3.能用空间向量求直线与平面所成的角问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

直线与平面所成的角

90°0°射影

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.(

)(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成的角的范围为(0,).(

)2.直线与平面所成的角的取值范围是什么?斜线与平面所成的角的取值范围是什么?××知识点2

最小角定理(1)线线角、线面角的关系式如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cosθ=

.

(2)最小角定理平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内

中最小的角.cosθ1cosθ2所有直线所成角

过关自诊1.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是(

)答案B

提示

设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos

45°=cos

θcos

30°,2.将公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?提示不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.知识点3

用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有(2)cosθ=sin<v,n>,sinθ=

.

|cos<v,n>|重难探究•能力素养全提升探究点一用定义法求直线与平面所成的角【例1】

在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.解如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足,则AO∥GE,AO=2GE.连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角.因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD.因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心.连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点.令正四面体ABCD的棱长为1,规律方法

1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.2.找射影的两种方法3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响角度问题.变式探究在本例中将条件“E为棱AD的中点”改为

.其他不变,结论又如何?探究点二向量法求直线与平面所成的角【例2】如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.规律方法

通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.变式训练1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.(1)证明取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,OC,OA1⊂平面OA1C,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.因为平面ABC⊥平面AA1B1B,平面ABC∩平面AA1B1B=AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,分别以OA,OA1,OC为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.探究点三最小角定理的应用【例3】

如图,在正四面体ABCD中,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是(

)答案D

规律方法

1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断.变式训练2PA,PB,PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(

)答案C

解析

设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得cos

60°=cos

30°cos

θ,得

素养培优直线与平面所成角中的探索类问题【典例】

如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在A1B1上,且满足(1)证明:PN⊥AM;(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该最大角的正切值.【规范答题】

归纳提升

(1)此类问题属于逆向思维问题,解决思路也是建立合适的空间直角坐标系,将相关点坐标明确或设出,然后根据空间角的计算公式表达出含参数的方程或函数.(2)解决此类问题还要注意题目中各动点的限制范围.学以致用•随堂检测全达标1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°答案A

解析

设l与α所成的角为θ且0°≤θ≤90°,则sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为(

)A.90°

B.60° C.45°

D.30°答案C

解析

设AC和平面α所成的角为θ,则cos

60°=cos

θcos

45°,故cos

θ=,所以θ=45°.答案D

解析

由题中条件可得,OA,OB,OP两两垂直,以O为原点,分别以OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AB=a,4.等