2022年秋高中数学第六章计数原理综合训练新人教A版选择性必修第三册

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14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种.

15.二项式(1+2x)4的展开式的各项系数的和为.

16.(2022浙江绍兴模拟)已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,m为常数,若a5=-7,则m=,a6+a5+…+a1=.

四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2022上海虹口期末)已知(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n为正整数).(1)若a2=15a0-13a1,求n的值;(2)若n=2022,A=a0+a2+a4+…+a2022,B=a1+a3+a5+…+a2021,求A+B和A2-B2的值(结果用指数幂的形式表示).18.某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加医疗队.(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?19.在3x−123(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.20.有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?21.(2022北京昌平期末)有7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人.(1)共有多少种不同的坐法?(2)如果甲和乙都在第二排,共有多少种不同的坐法?(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端,共有多少种不同的坐法?22.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)各项的二项式系数的和;(2)分别求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和;(3)各项系数之和;(4)分别求奇数项系数的和与偶数项系数的和.

第六章综合训练1.A令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.2.B根据算盘的运算法则以及题干中描述的操作,从个、十、百上珠中选1粒往下拨,则有C31下珠往上拨分两种情况,全部来自个、十、百,即C31或者来自个、十、百中的两个,即C32故算盘表示的数的个数为C31(C故选B.3.C由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41C32=4×3=第2类,3人中是2男1女,共有C42C31=6×3=所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.4.D(1+ax)6的展开式的通项为Tr+1=C6rarxr,令r=1,则C61a=12,解得a=2,则b=C65.C因为(x+y)5的通项公式为C5k·x5-k·yk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,y2x·C51x4y=5x3y3,当k=3时,x·C53x2y3=10x3y3,6.D二项式可以化为[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,则二项式的展开式中含x9y3的项为-4xy×C51(x2)4·(-4y2)1=80x9所以x9y3的系数为80,故选D.7.A根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故各有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种).8.B物理、化学、生物、历史、地理、思想政治六选三,且物理、化学必选,所以只需在生物、历史、地理、思想政治中四选一,有C41=4(种对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有C21C4第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有C31=3(语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3×A22=也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有C41A2其他三科可以全排列,有C31(6+8)A33=综上,共有4×(192+252)=1776(种).故选B.9.ABD若任意选择三门课程,选法种数为C73,故A若物理和化学至少选一门,选法种数为C21C52若物理和历史不能同时选,选法种数为C73−C2若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21C52+C210.ACD选项A:表示先着色中间两格和下面一格.从4种颜色中取3种,有A43种方法,上面一格,从与中间两格不同的颜色中取出一个,有A21种方法,故共有A43选项B:A42×A42选项C:表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色中取2种,共有A42种方法,上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个,各有A21种方法,故共有A42(A选项D:表示两种情况:①上下两格颜色相同,中间两格从3个剩下的颜色中取2种,共有C41A32种不同方法;②上下两格颜色不同,中间两格从2个剩下的颜色中取2种,共有C42A22A22种不同方法.综合①②11.BCD由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,因为x2与x-12的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=0,由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=15,解得k=2,所以系数为C10212.ABD由二项式系数的性质可得:展开式中所有项的二项式系数的和为22021,故A正确;令x=1,则(1-2)2021=a0+a1+…+a2021=-1,①令x=-1,则(1+2)2021=a0-a1+a2-…-a2021=32021,②①+②整理可得a0+a2+…+a2020=32021-12,所以展开式中所有偶次项的系数和为32021①-②整理可得a1+a3+…+a2021=-32021+12,所以展开式中所有奇次项的系数和为-32021+1令x=0,则a0=1,再令x=12,则1-2×122021=a0+a12+a222+…+a202122021=0,所以a1故选ABD.13.72第1步,甲、乙抢到红包,有A42=4×3=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=3×2=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6=14.90先分组C52C32C11A215.81令x=1,则二项式的展开式的各项的系数和为(1+2)4=81.16.-1-2由已知可得a5为x5的系数,则展开式中含x5的项为x×C51x4·m-2×C50x5=所以5m-2=-7,解得m=-1,令x=0,则a0=-2×(-1)5=2,令x=1,则a0+a1+…+a6=(1-2)(1-1)5=0,所以a6+a5+…+a1=-2.17.解(1)令x=0,则a0=1,二项式的展开式中含x项的系数为a1=Cn1·(-3)1=-二项式的展开式中含x2项的系数为a2=Cn2·(-3)2则由已知可得9n(n-1)2=15×1-13×(-3n),即9n2-87n-30=0,解得n=故n的值为10.(2)若n=2022,则原式为(1-3x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022,令x=1,则a0+a1+a2+…+a2022=(1-3)2022=22022,①令x=-1,则a0-a1+a2-…+a2022=[1-3×(-1)]2022=42022=24044,②①+②可得A=22021+24043,①-②可得B=22021-24043,所以A+B=22022,A2-B2=(A+B)(A-B)=22022·24044=26066.18.解(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有C144=1001(种);甲、乙两人都没被选派共有C124=故甲、乙两人至少有一人参加,有1001-495=506(种).(2)此时4名医生的组成可分为三类:第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有C81C6第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有C82C6第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有C83C61故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.19.解通项为Tk+1=(由已知,(-12)0得2×12Cn1=1+14Cn2,(1)令k=3,得T4=(-12(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=35(3)令x=1,得各项的系数和为128=125620.解(1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C72=21(种)第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=720(种)一共有21×720=15120(种)不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C7所以所求分法种数为4200+12600=16800.21.解(1)7个人分成两排就座/r/