复变函数与积分变换 第四章第二节 幂级数课件

1第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考1第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂2一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

2一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域D内3称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数3称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数4称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定4称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那52.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.52.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.6二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必收敛且绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足6二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级7证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,7证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的8而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.[证毕]8而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成92.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.92.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种10(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)存在正实数R,使得|z|<R时级数绝对收敛使得|z|>R时级数发散10(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数11.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.11.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.12答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?12答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:133.收敛半径的求法方法1:比值法那末收敛半径133.收敛半径的求法方法1:比值法那末收敛半径14方法2:根值法那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果14方法2:根值法那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果15三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算15三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算162.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.162.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满17定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质17定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将18(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即18(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,19四、典型例题例1

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为19四、典型例题例1求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的20级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,20级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理21解所以例2求的收敛半径.21解所以例2求的22例3把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出22例3把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解23级数收敛,且其和为23级数收敛,且其和为24例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以24例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:25例5计算解25例5计算解26第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考1第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂27一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

2一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域D内28称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数3称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数29称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定4称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那302.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.52.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.31二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必收敛且绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足6二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级32证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,7证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的33而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.[证毕]8而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成342.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.92.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种35(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)存在正实数R,使得|z|<R时级数绝对收敛使得|z|>R时级数发散10(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数36.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.11.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.37答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?12答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:383.收敛半径的求法方法1:比值法那末收敛半径133.收敛半径的求法方法1:比值法那末收敛半径39方法2:根值法那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果14方法2:根值法那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果40三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算15三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算412.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.162.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满42定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质17定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将43(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即18(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,44四、典型例题例1

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为19四、典型例题例1求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的45级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,20级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理46解所以例2求的收敛半径.21解所以例2求的47例3把函数表成形如的幂级