2018-2019学年第一学期数学湘教七年级第一章有理数课件

具有相反意义的量本课内容本节内容1.1

在日常生产和生活实践中，由于记数、测量、分配等方面的需要产生了自然数、小数、分数.你还见过其他的数吗？说一说

如图1-1所示的温度计上是如何区分零上的度数和零下的度数的？

用不同颜色的数字来区分零上和零下的温度数固然是一种办法，但与在小学数学中学过的整数和分数(或小数)一样，对于数要进行加、减、乘、除等运算.

如果仅用颜色来区分，就不便于运算．因此我们要想其他的办法．（1）在预报北京市某天的天气时，播音员说：“北

京，晴，局部多云，零下6摄氏度到5摄氏度．”

这时,屏幕上是如何显示这天的温度的？观察屏幕上显示“-6~5℃”存入2500元记做“+2500”，支出3000元记做“-3000”．（2）储蓄存折上是怎样表示“存入2500元”和“支出3000元”的？

温度的“零上5摄氏度”与“零下6摄氏度”、储蓄中的“存入2500元”与“支出3000元”分别是一对意义相反的量．

在具有相反意义的一对量中，我们把其中的一种量用正数表示；

而另一种量用负数表示，它是在正数前面加上“-”（读作负）号.例如-3，-1，-0.168，-等就是负数.例如3，125，10.5，等大于0的自然数和分数(或小数)就是正数.

有的时候在正数前面加上“+”（读作正）号，以强调它是正数.例如，“正数5”写作“+5”，但通常把“+”号省略不写.

0既不是正数，也不是负数.结论我们也把正数和0

统称为非负数.

请举出一些具有相反意义的量的例子，并分别表示它们.动脑筋海平面以上与海平面以下表示的意义相反.海平面以上1025m记做“1025m”，海平面以下155m记做“-155m”.

在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记做“2km”，那么向西走2.6km应记做“-2.6km”．

请你举例说明从小学到现在，我们学过的数有哪些.议一议自然数0，1，2，3，…小数3.2，，5.33，…分数…负数-3，-100，-0.125，，…有限小数或无限循环小数也可以化为分数.分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：，…例如：，…负分数-0.125…正分数0.6…1，3，167，…正整数-3，-1，-155，…负整数0有理数正整数、零和负整数统称为整数.正分数和负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.结论1.回答下列问题：（1）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应记做什么?

答：记作-5℃练习（2）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m是什么意思？

答：向西走了50m.2.有下列数:3.6，,-78，0，-0.37，9，-5.14，-1.

其中整数：

；分数：

.-78，0，9，-13.6，，-0.37，-5.143.

下列有理数中哪些是非负数，哪些是负数？答：2.7，2010，0，，2为非负数，

-0.414，-7，，-10.3为负数.中考试题例1

某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如，9:15记为-1等等.依此类推，上午7:45应记为（）A.3

B.-3C.-2.5

D.-7.45

按规定以45分钟为1个时间单位，记10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，从而可知9:15记为-1，8:30记为-2，7:45应记为-3.

故选B.解B正数、零、负数的概念分析中考试题例2

将下列各数按要求分别填入相应的集合中.0.05，1，,-126,72.1,0,-12%,

,+729,-628,

,,-1000.01.

（1）正整数集合：{…}；（2）负整数集合：{…}；（3）正分数集合：{…}；（4）负分数集合：{…}；（5）整数集合：{…}；（6）分数集合：{…}；（7）非负数集合：{…}；（8）非负整数集合：{…}；（9）负数集合：{…}.1，+729，-126，-6281，+729，-126，-628，00.05，72.1，，，-12%，，-1000.01，0.05，72.1，，，，-12%，，-1000.01，0.05，1，72.1，0，，+729，，1，0，+729，，-126，-12%，-628，，-1000.01，解中考试题例3

某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（）kg、（）kg、（）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A.0.8kg

B.0.6kgC.0.5kg

D.0.4kg

这道题考查了正、负数在实际生活中的应用.从已知条件可以看出三种面粉中，最多可超出标准质量（25kg)0.3kg，最少可低于标准质量（25kg)0.3kg，而从中任意拿出两袋，要使它们的质量相差最多，则只可能是两袋都是（）kg这种，所以它们最多相差0.6kg[(25+0.3)kg与(25-0.3)kg].应选B.解B1.2.1数轴

我们看到的刻度尺的边缘上都有一些点，并且这些点在一条直线上，它们分别表示一些数.由此联想，能不能用一条直线上的点来表示数？

小丽从点O出发，沿一条笔直的东西向人行道行走的示意图.由图你能受到什么启发？观察让出发点O表示0，向东走1m到达点A，就让点A表示1；向东走3m到达点C，就让点C表示3；向西走1m到达点B，就让点B表示-1.向西走3m到达点D，就让点D表示-3.

从上面的例子受到启发，我们可以用一条直线上的点来直观地表示数.结论

画一条直线(通常把它水平放置)，O0

在直线上取一点O，把点O叫做原点，用原点表示数0.

规定直线的正方向（标上箭头）.O0

通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向.

选取适当的长度为单位长度.O012-1-2

从原点向右，距原点1个单位长度的点表示数1，

距原点2个单位长度的点表示数2，…；

从原点向左，距原点1个单位长度的点表示数-1，

距原点2个单位长度的点表示数-2，….

像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.结论例1

如图1-7，数轴上的点M，P，Q分别表示哪个有理数？图1-7解：M，

P，Q分别表示-3，-0.5，2.5.举例例2画一条数轴，并标出表示下列各数的点：解：所画数轴及各数在数轴上对应的点如图所示.1.把下列各数和数轴上对应的点用线连起来：练习0-23-3.54.25

2.填空：

（1）数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示的数是

；

（2）数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示的数是

；

（3）数轴上距原点2个单位长度的点有

个，它们分别表示数

.3.72和-2两

3.画一条数轴，并标出表示下列各数的点：

-2，-0.8，0.8，2.012-1-2-0.80.81.2.2相反数

如图1-9，点A和点B表示的有理数之间有什么关系？观察图1-9

点A与原点的距离是5，点B与原点的距离也是5.

点A表示-5，点B表示5，它们只有符号不同.

像5和-5这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.例如，2.6的相反数是-2.6，

-2.6的相反数是2.6.

我们把数a的相反数记做-a．于是“-2.6

的相反数是2.6”就可以记做“-(-2.6)=2.6”．0的相反数是0.结论

表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.例3画一条数轴，并标出表示下列各数的相反数的点：解：3的相反数是-3；1.5的相反数是-1.5；-6的

相反数是6，且-3，-1.5，6在数轴上对应的

点分别为A，B，C，如图所示3，1.5，-6.-(+1)=?

说一说-(-1)=?

因为+1的相反数是-1，所以-(+1)=-1.因为-1的相反数是1，所以-(-1)=1.例4填空：-(+0.8)=

；-(-3)=

.解：

-(+0.8)=

；-0.8-(-3)=

.31.把右边各数中互为相反数的两个数用线连起来，并在一条数轴上标出表示它们的点.练习92.51-2.500-9-12.填空：-(+6.7)=

；-(+8）=

；-(-4)=

；=

.-6.7-843.已知a的相反数是3.5，则a等于多少？答：a是-3.5.1.2.3绝对值

小明家、学校、小李家在数轴上的位置分别如图中点A，

O，

B所示.动脑筋

若数轴的单位长度表示1km，则A，B两点表示的有理数分别是多少？1km

小明、小李各自从家到学校要走多远？小明家学校小李家点A表示-4，小明从家到学校要走4

km.点B表示2，小李从家到学校要走2

km.小明家学校小李家

我们把4叫做-4的绝对值，记做“|-4|=4”；把2叫做2的绝对值，记做“|2|=2”.小明家学校小李家正数的绝对值是它本身.结论负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.从而，互为相反数的两个数的绝对值相等.

从上述例子看到，-4的绝对值等于数轴上表示-4

的点A与原点之间的距离，2的绝对值等于数轴上表示2的点B与原点之间的距离，如图所示.一般地，有下述结论：

一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离.

例5

求下列各数的绝对值：

12，，-7.5，0.举例解|12|12是正数，正数的绝对值等于它本身.=12

是负数，负数的绝对值等于它的相反数.=|-7.5|-7.5是负数，负数绝对值等于它相反数.=7.5|0|0的绝对值等于0.=0

如果a表示一个数，则|a|等于多少？

（1）当a是正数时，|a|=a；

（3）当a是负数时，|a|=-a.

（2）当a=0时，|a|=0；说一说

一般地，如果a表示一个数，则即|a|是指a和-a中非负数的另一个.

例6

若|a|=8.7,求a.解互为相反数的两个数的绝对值相等.因为绝对值等于8.7的有理数有8.7和-8.7两个，所以a=8.7或a=-8.7.

1.求下列各数的绝对值：3，3.14，，-2.8.解|3|=3；|3.14|=3.14；；|-2.8|=2.8.练习2.填空：-|-2010|=

；-|-2.8|=

；

=

.-2010-2.83.画一条数轴，并标出表示绝对值等于2，3.5

的数的点.中考试题例1

在一条东西走向的马路上，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所.已知青少年宫在学校东300米，商场在学校西200米，医院在学校东500米.若将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100米.1.在数轴上表示出四家公共场所的位置.2.列式计算青少年宫与商场之间的距离.

画数轴要注意数轴的三要素，选择适当的点（学校）为坐标原点，求数轴上两点的距离时要利用数形结合思想.分析

青少年宫与商场之间的距离为500米.解0-200100-100200300400500(1)(2)青少年宫学校商场医院中考试题例2

点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的实数为（）A.2

B.-6

C.2或-6

D.不同于以上答案利用数轴，可以直观地看到问题的答案.分析

如果点A是向左移动，则点B表示-6，如果点A是向右移动，则点B表示2，故选C.C解中考试题例3

如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是

.

由数轴可以看出，点A到原点的距离为|a|，因为a小于0，由绝对值的意义可知，点A到原点的距离为-a.解a0A-a有理数大小的比较本课内容本节内容1.3

我们已经会比较正数的大小，例如5>3，；并且还知道，正数都大于0.

5米3米哪个大？

温度-10℃与2℃，哪个温度高？温度0℃与-3℃，哪个温度高？2℃比-10℃高，0℃比-3℃高，因为我感觉温度在2℃时比-10℃时暖和，在0℃时比-3℃时暖和.说一说结论正数大于负数,0大于负数.

温度-10℃与-3℃，哪个温度低？动脑筋-10的绝对值与-3的绝对值，哪个大？-10℃比-3℃低，因为我感觉温度在-10℃时比-3℃时冷.由于|-10|=10，|-3|=3，因此|-10|>|-3|.结论两个负数，绝对值大的反而小.

根据这个规定，由于|-10|=10，|-3|=3，且10>3，因此-10<-3.而在数轴上表示-10的点A在表示-3的点B的左边.结论

在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

例比较下列各组数的大小：（1）-100与-3；（2）-

与-

；（3）-

与-|-2|.举例解（1）-100与-3-100和-3都是负数.

因为|-100|=100，|-3|=3，又100>3,所以-100<-3看绝对值的大小.绝对值大的反而小.绝对值大的反而小.（2）-

与--

和-

都是负数.

因为|-|=，|-|=，又>,所以-<-看绝对值的大小.两个数相比较.（3）

与-|-2|

因为

，-|-2|=-2，所以

1.比较下列各组数的大小：

（1）-896与0.01；（2）-1.5与-1.4；（3）与；（4）-(+5.5)与-|-4.5|.练习

（1）-896<0.01解

（2）-1.5<-1.4（3）

（4）-(+5.5)<-|-4.5|2.在一条数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“<”连接起来.0，3，-4，-1.50123-1-2-3-4-1.5解-4<-1.5<0<3中考试题例

在数轴上画出表示-3，-1，|-2|的点，并把这组数从小到大用“<”号连接起来.

首先要求出|-2|=2，然后在数轴上画出表示-3，-1，2的点，然后利用数轴比较这三个数的大小.分析

如图所示，-3<-1<|-2|.解-3201-1-2|-2|1.4.1有理数的加法

我们已经会计算两个非负数的和，例如8+12=20，3.75+0.25=4，那么如何计算两个负数的和呢？

在一条东西向的笔直马路上，任取一个点O.若把向东走1km记为1，则向西走1km记为-1.动脑筋

小丽从点O出发，先向西走了2km，然后继续向西走了3km，两次行走后，小丽从O点向哪个方向走了多少千米？

两次行走后，小丽从O点向西走了(2+3)km，用算式表示就是

(-2)+(-3)=-(2+3)

两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加.结论例1

计算（1）(-8)+(-12)；（2）(-3.75)+(-0.25).举例（1）（-8）+（-12）(-8)和（-12）为同号（-8）+（-12）解=-（8+12）=-20取相同符号（2）（-3.75）+（-0.25）(-3.75)和（-0.25）为同号（-3.75）+（-0.25）解=-（3.75+0.25）=-4取相同符号

现在我们已经学会求两个负数的和，那么如何求一个正数与一个负数的和呢？动脑筋

在一条东西向的笔直马路上，任取一个点O.若把向东走1km记为1，则向西走1km记为-1.

小亮从点O出发，先向东走了4km，然后掉头向西走了1km，小亮两次行走的效果等于从点O向哪个方向走了多少千米？

由于向西走1km抵消了原来向东走4km中的1km，因此小亮两次行走的效果等于从点O向东走了(4-1)km.用算式表示就是

4+(-1)=+(4-1)=3

小刚从点O出发，先向东走了1km，然后掉头向西走了3km，小刚两次行走的效果等于从点O向哪个方向走了多少千米？

由于小刚掉头向西走3km，把原来向东走的1km抵消了，因此小刚两次行走的效果等于从点O向西走了(3-1)km.用算式表示就是

1+(-3)=-(3-1)=-2

异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值.结论说一说互为相反数的两个数相加，和为0.一个数与0相加，和仍是这个数.（1）互为相反数的两个数相加，和为多少？（2）一个数与0相加，和为多少？互为相反数的两个数相加得0.结论一个数与0相加，仍得这个数.从上述有理数加法的规定可以得出：如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数.例2

计算（1）(-5)+9；（2）7+(-10)

；举例（3）；（4）（1）（-5）+9解（-5）和9为异号（-5）+9=95=4|9|＞|5|,取9的符号|9|-|5|+)-（（2）7+（-10）解（-10）和7为异号7+（-10）=7-10=-3|10|＞|7|,取10的符号()-（3）

和为异号解|

|>|

|,取

的符号=

和分母不同===0互为相反数的两个数相加得0.（4）解1.计算:（1）（-11）+（-9）（2）（-7）+0（3）8+（-20）（4）（-9）+9（5）(-10)+7练习-20-7-120-3（6）2.某地8:00的气温是，15:00的气温比8:00的气温上升了，该地15:00的气温是多少？-3℃5℃答：-3+5=2（℃）

在小学我们已经学过了加法的交换律、结合律，在有理数范围内这两个运算律是否仍然适用呢？动脑筋5+(-3)=

,(-3)+5=

,[(-8)+(-9)]+5=

,-8+[(-9)+5]=

.2（1）

计算下列各式2-12-12（2）

换几个有理数试一试，你发现了什么？加法交换律：+

=

+结论abba即，两个有理数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律：a+b+c=(+)+=+(+)结论abcabc即，三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结果与第三个数相加；或者先把后两个数相加，再把结果与第一个数相加，和不变.

三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式.对于连加式，根据加法交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加.例3

计算（1）（-32）+7+（-8）举例（2）4.37+（-8）+（-4.37）（3）（1）（-32）+7+（-8）先将同号相加=[-32+（-8）]+7=（-32）+（-8）+7=(-40)+7=-33

（-32）+7+（-8）解（-32）（-8）4.37+（-4.37)结果为0=[4.37+(-4.37)]+(-8)=0+（-8）=-84.37+（-8）+（-4.37）（2）4.37+（-8）+（-4.37）0与(-8)相加，结果为-8=解4.37+（-8）+（-4.37）同分母相加=10+（-3）解（3）=7+++例4：

某台自动存取款机在某时段内处理了以下6项现款储蓄业务：存入200元、支出800元、支出1000元、存入2500元、支出500元、支出300元.

问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？

解

记存入为证，则由题意可得：(+200)+(-800)+(-1000)+(+2500)+(-500)+(-300)=(200+2500)+[(-800)+(-1000)+(-500)+(-300)]=2700+(-2600)=100答：该自动存取款机在这一时段内现款增加了100元.练习1.计算（1）（+13）+（-7）+（-3）（2）1.4+（-0.1）+0.6+（-1.9）（3）302.

小欢的父亲在某储蓄所原有存款5000元.某月他父亲到该储蓄所办理了以下4项现款储蓄业务：

存入500元，支出300元，存入1200元，支出600元.

则他父亲在该储蓄所还有多少钱？答：他父亲在该储蓄所还有5800元.1.4.2有理数的减法

我们已经会进行有理数的加法运算，但如何进行有理数的减法运算呢？2011年某一天，北京市的最高气温是-1℃，最低气温是-9℃，这天北京的温差（最高气温-最低气温）是多少？探究从图中的温度计可以看出：-1℃比-9℃高8℃，因此(-1)-(-9)=8=(-1)+9.结论减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a

–b

=

a

+

(-b)

例5

计算：（1）0-（-3.18）；（2）5.3-（-2.7）；（3）（

-10）-（-6）；（4）.举例解（1）0-（-3.18）=0+3.18根据减法法则=3.18-3.18的相反数为3.180与3.18相加，还得3.18（2）5.3-（-2.7）解=5.3+2.7=8根据减法法则-2.7的相反数为2.7（3）（-10）-（-6）解=（-10）+6=-4根据减法法则-6的相反数为6-10与6相加，取10的符号（4）解=（-3.7）-6.5=-10.2根据减法法则化为小数计算1.计算:

（1）7-（-4）；（2）（-3）-（-5）；（3）（-3）-0；（4）0-（-7）.练习（1）7-（-4）=7+4=111.解（2）（-3）-（-5）=-3+5=2（3）（-3）-0=-3-0=-3（4）0-（-7）=0+7=72.计算:

（1）2.53-（-2.47）；（2）（-1.7）-（-2.5）；（3）；（4）.（1）2.53-（-2.47）=2.53+2.47=52.解（2）（-1.7）-（-2.5）=-1.7+2.5=0.8（3）（4）3.潜水员甲潜入海平面以下10m，潜水员乙潜入海平面以下20m，问甲的位置比乙的位置高多少米？答：甲的位置比乙的位置高10m.

计算：8-(-3)+(-5)-7；做一做

这个式子中既有加法运算，又有减法运算，因为“减去一个数，等于加上这个数的相反数”,所以可以把它们全部转化为加法运算.8-(-3)+(-5)-7=8+3+(-5)+(-7)=11+(-12)=-1

在上面的计算过程中，我们把加减运算都统一成了加法运算，原来的算式就转化为求几个正数或负数的和.8-(-3)+(-5)-7=8+3+(-5)+(-7)=11+(-12)=-1

例6

计算：

(-21)+30-15-(-17).举例=(-21)+30+(-15)+17解

(-21)+30-15-(-17)=(-21)+

(-15)+30+17=-36+47=11例7动物园在检测成年麦哲伦企鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重．已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行称重检测，以4kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下表所示，求这6只企鹅的总体重.举例编号123456差值（kg）-0.08+0.09+0.05-0.05+0.08+0.06编号123456差值（kg）-0.08+0.09+0.05-0.05+0.08+0.06(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)解=［(-0.08)+0.08］+［0.05+(-0.05)］+(0.09+0.06)=0+0+0.15=0.154×6+0.15=24.15（kg）.答：这6只企鹅的总体重是24.15kg．1.计算:练习

（1）-6-(-4)-3+(-5)；（2）(-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10；（3）-100.5-32.计算:

（1）（2）3.7筐西红柿，每筐以12kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下（单位：kg）：-1，+1.5，2，-0.5，-1.5，1.5，1.求这7筐西红柿的总质量.答：这7筐西红柿的总质量为87kg.中考试题例1

某玩具店老板用300元购买了10件玩具，如果按自定的价格每件玩具48元作为标准出售，超出的钱数记为正数，不足的钱数记为负数，现记录如下（单位：元）：+5，-2，+9，-6，-1，0，+3，-9，+4，-8，请你帮助这个老板计算一下，当他卖完这10件玩具后，是盈利还是亏损？

以48元为基准，则10件玩具的总增减量为

(+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8)=[(+9)+(-9)]+[(+5)+(+3)+(+4)]+[(-2)+(-8)+(-1)+(-6)]+0=12+(-17)=-5(元)

∴销售这10件玩具的总收入为48×10+(-5)=475(元）.

∵475>300，

∴当老板卖完这10件玩具后，盈利了.解本题中，判断这个老板是盈利还是亏损，应先求出他销售这10件玩具的总收入，然后与成本300元进行比较，若总收入高于300元，则盈利；若总收入低于300元，则亏损；若总收入等于300元，则不亏损也不盈利.可先求出各数与基准数48元的差的和.，得到总的增减量，然后再求出总收入，与成本300元比较.分析中考试题例2

今年我市2月份某一天的最低气温为-5℃，最高气温为13℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（）A.-18℃B.18℃C.13℃D.5℃1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.2.如果用字母a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a-b=a+(-b)，因此有理数的减法运算可以转化为加法运算来进行.分析

因为13-（-5）=13+5=18（℃

）.所以选B.B解中考试题例3

计算：

.解

故填.中考试题例4

我市2005年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，计算2005年温差，列式正确的是（）A.（+39）-（-7）

B.（+39）+（+7）

C.（+39）+（-7）

D.（+39）-（+7）根据题意，应列为:(+39)-(-7).故选A.A解1.5.1有理数的乘法我们已经熟悉了非负数的乘法运算，那么如何计算

（-5）×3，

3×（-5），（-5）×（-3）呢？5×3=15，①例如动脑筋

我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O出发，以5km/h的速度向西行走3h后，小丽从O点向哪个方向行走了多少千米？小丽从O点向西行走了（5×3）km.由此，我们有（-5）×3=（5×3）②-

我们已经知道(-5)×3

=

-(5×3)，探究那么3×(-5)，(-5)×(-3)又应怎样计算呢？

非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的，因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有3×(-5)+3×5=3×

[(-5)+5]=3×0=0.这表明3×(-5)与3×5互为相反数，于是有3×(-5)=-(3×5).③结论异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.从②、③式受到启发，一般规定：3×(-5)=-(3×5)

③(-5)×3=-(5×3)②（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）结论任何数与0相乘，都得0.

类似地，我们有(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0这表明(-5)×(-3)与(-5)×3互为相反数.因为(-5)×3=-15，而-15的相反数是15，所以(-5)×(-3)=15.即(-5)×(-3)=15=5×3.④由④式看出，(-5)×(-3)得正数，并且把绝对值5与3相乘.结论同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.从①、④式受到启发，于是规定：(-5)×(-3)=15=5×3④5×3=15

①（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）

例1

计算：（1）3.5×（-2）；（2）；（3）；（4）（-0.57）×

0.举例解（1）3.5×（-2）=-(3.5×2)根据乘法法则=-73.5)和(-2)为异号，结果为负3.5和(-2)的绝对值相乘解（2）=根据乘法法则=

为异号，结果为负它们的绝对值相乘解（3）=根据乘法法则=1

为同号，结果为正解（4）（-0.57）×0根据乘法法则=0任何数与0相乘，结果为01.填表:因数因数积的符号绝对值的积积-27-10.3-10-14-+3-14-3练习2.计算：（1）；（2）.

在小学我们已经学过乘法的交换律、结合律，那么这两个运算律在有理数范围内是否也适用呢？

填空：

（1）(-2)×4=

，4×(-2)=

；-8-8动脑筋（2）[(-2)×(-3)]×(-4)=

×(-4)=

，

(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×

=

.6-2412-24从上面的填空题中，你发现了什么？结论乘法交换律：

×

=

×

.abab即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.结论乘法结合律：(×)×

=

×(×).a

babcc

即对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变．

和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的几个数相乘．

（1）填空：动脑筋(-6)×[4+(-9)]=(-6)×

=

，(-6)×4+(-6)×(-9)=

+

=

.-53054-2430

（2）换几个有理数试一试，你发现了什么？结论乘法对加法的分配律（简称为分配律）：

×(

+

)

=

×

+

×

.b

caabac

（-1）a=-a利用分配律，可以得出

即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.

例2

计算：

（1）；

（2）

（-12.5）×（-2.5）×（-8）×4

.举例解（1）=将分数逐个与60相乘=30-20-15+12=7分数与整数60相乘计算结果解（2）(-12.5)×(-2.5)×(-8)×4=(-12.5)

×(-8)×(-2.5)×4(-12.5)和(-8)相乘为整数=100×(-10)(-2.5)和4相乘为整数=-1000相乘为整数的先结合起来(-12.5)和(-8)为同号相乘(-2.5)和4为异号相乘(-10)和100相乘为异号

下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数（因数为负数）的个数之间有什么关系？（1）（-2）×（-3）×（-4）；（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.

几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.说一说

例3

计算：

（1）（-8）×4×（-1）×（-3）；（2）.举例解（1）(-8)×4×

(-1)×(-3)=-(8×4×1×3)将负号提出来绝对值进行相乘=-96先确定积的符号解四个负号相乘，结果为正号绝对值进行相乘=32先确定积的符号（2）1.计算:

（1）(-2)×17×(-5)；（2）(-15)×3×(-4)；（3）；（4）0.125×9×(-8)；（5）(-5)×(-4)×(-3)；（6）(-1.5)×6×(-4)；（7）；（8）(-10)×28×0.练习1.解（1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180（3）（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36（7）（8）(-10)×28×0=02.计算:

（1）

；（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）.

2.解（1）（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）

=4×3×5×2.5=1501.5.2有理数的除法我们知道

2×3=6，因此

6÷3=2.

①那么如何计算（-6）÷3，

6÷（-3），

（-6）÷（-3）呢？

探究（-6）÷3=?，

6÷（-3）=?，

（-6）÷（-3）=?由于

（-2）×3=-6，因此，

（-6）÷3=-2.

②类似地，由于（-2）×（-3）=

6，由于

2×（-3）=-6，因此，

6÷（-3）=-2，

③因此，

（-6）÷（-3）=2.

④

从这些例子受到启发，抽象出有理数的除法运算；

对于两个有理数a，b，其中b≠0，如果有一个有理数c，使得cb=a，那么规定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商.结论同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由①至④式可以得出：（+）÷（+）→（+）（-）÷（-）→（+）6÷

3=2

①(-6)÷3=-2

②6÷(-3)=-2

③(-6)÷(-3)=2④（-）÷（+）→（-）（+）÷（-）→（-）

例4

计算：

（1）（-24）÷4；（2）（-18）÷（-9）；（3）10÷（-5）.举例解（1）（-24）÷

4=-

(24÷

4)根据除法法则(-24)和4为异号相除结果为负解（2）（-18）÷

（-9）=+(18÷

9)根据除法法则（-18）和(-9)为同号结果为正=-6=2解（3）10÷（-5）=-(10÷

5)根据除法法则10和(-5)为异号相除结果为负=-2

试问：10÷(-5)

还可以怎样计算

？我们已经知道10÷（-5）=-2，

所以⑤动脑筋又

由于，因此，我们把叫做-5的倒数，把-5叫做的倒数.

一般地，如果两个数的乘积等于1，那么把其中一个数叫做另一个数的倒数，也称它们互为倒数.0没有倒数.因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.⑤结论除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即也可以表示成

例5

计算：

（1）

；（2）；（3）.举例解（1）=（-12）×3根据除法法则异号相乘，结果为负解（2）=根据除法法则异号相乘，结果为负

的倒数是3=-36=-35

的倒数是解（3）=根据除法法则同号相乘，结果为正=

的倒数是

1.计算：

（1）14÷(-7)；（2）(-36)÷(-3)；（3）0÷

(-0.618)；（4）(-48)÷12.

练习1.解（1）14÷

(-7)=-2；（2）(-36)÷(-3)=12；（4）(-48)÷12=-4.（3）0÷

(-0.618)=0；

2.填空：

（1）因为

×

=1，所以

的倒数是

；（2）的倒数是

；-3的倒数是

.-6-6

3.计算：

（1）

(-36)÷(-0.6)

；（2）

；（3）

；（4）

.

60-28

下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？议一议可以按从左到右的顺序依次计算.也可以先将除法转化为乘法.

例6

计算：（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）；举例（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；（3）（4）解（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）=28

÷（-8）可以依次计算先算前两个数异号相除，结果为负=（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；解=（-10）÷10先计算后两个=-1解=（-30）

×（-3）可以依次计算先算前两位数=90依次计算=0.8（3）（4）解

下面是小明同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.说一说不正确，应该依次计算

计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具，因此我们可以利用计算器来计算.

计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同.下面我们以某种型号的计算器（图1-17）为例介绍操作方法.

图1-17某种电子计算器的面板示意图举例

例7

用计算器计算（精确到0.001）：

-1840×0.28÷(-375)再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.解

按照下列顺序按键：

不同的计算器，操作方法可能有所不同.具体操作方法应参看计算器的使用说明书.

1.计算：

（1）24÷(-3)÷(-4)

；（2）(-6)÷(-2)÷3；（3）2÷(-7)×(-4)；（4）18÷6×(-2).

练习1.解（1）24÷(-3)÷(-4)=-8÷(-4)=2；（2）(-6)÷(-2)÷3=3÷3=1；（3）2÷(-7)×(-4)=×(-4)

=；（4）18÷6×(-2)=3×(-2)=-6.

2.计算：

（1）；

（2）；（3）.3.用计算器计算：

1.26÷(-15)×80.-6.72中考试题例1

计算：（-100）×（-20）-（-3）.

本题中，先计算乘法，同号为正，再将减法运算转化成加法.分析

原式=100×20+3=2000+3=2003.解中考试题例2

计算：

.有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0.除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a·

（b≠0）.分析

原式=-11×（-13）×