概率论与数理统计 - 第三章

沈阳大学教案课程名称：工程数学——概率论与数理统计编写时间：2006年7月15日第次第PAGE1页授课章节第三章随机向量目的要求了解不同形式的随机向量。重点难点掌握不同形式的分布。在很多随机现象中，只用一个随机变量来描述往往是不够的，而要涉及到多个随机变量．例如打靶时，炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，这就涉及到两个随机变量：横坐标X和纵坐标Y．又如炼钢，对炼出的每炉钢，都需要考虑含碳量、含硫量和硬度这些基本指标，这就涉及到三个随机变量：含碳量X、含硫量Y和硬度Z；如果还需要考察其它指标，则应引入更多的随机变量．应该指出，对同一随机试验所涉及到的这些随机变量之间是有联系的，因而要把它们作为一个整体看待和研究．一般地，对某一随机试验涉及到的n个随机变量X１，X２，⋯，Xn，记为（X１，X２，⋯，Xn），称为n维随机向量或n维随机变量．例如炮弹弹着点的位置（X，Y）是二维随机向量，每炉钢的基本指标（X，Y，Z）是三维随机向量．在本章中，我们主要讨论二维随机向量．从二维随机向量到n维随机向量的推广是直接的、形式上的，并无实质性困难，将放在本章最后一节．第1节：二维随即向量及其分布函数分布函数的概念：设（X，Y）是二维随机向量，对于任意实数x，y，称二元函数F（x，y）＝P｛X≤x，Y≤y｝为（X，Y）的分布函数．分布函数的三条性质：1．F（x，y）是变量x，y的不减函数，即对于任意固定的y，当x１＜x２时，F（x１，y）≤F（x２，y）；对于任意固定的x，当y１＜y２时，F（x，y１）≤F（x，y２）．２．０≤F（x，y）≤１，－∞＜x＜∞，－∞＜y＜∞．３．对于固定的y，F（-∞，y）＝对于固定的x，F（x，-∞）＝第2节：二维离散型随即变量定义：设二维离散型随机向量（X，Y）所有可能取的值为（xi，yj），i＝１，２，⋯，j＝１，２，⋯，记P｛X＝xi，Y＝yj｝＝pij，i＝１，２，⋯，j＝１，２，⋯，称上式为二维离散型随机向量（X，Y）的概率分布或分布律．例3.2.1设有１０件产品，其中７件正品,3件次品．现从中任取两次，每次取一件产品，取后不放回．令X＝１，若第一次取到的产品是次品，X＝０，若第一次取到的产品是正品，Y＝１，若第二次取到的产品是次品，Y＝０，若第二次取到的产品是正品．求二维随机向量（X，Y）的概率分布．解（X，Y）所有可能取的值是（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）．首先求P｛X＝０，Y＝０｝，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，这是古典概型，易得P｛X＝０，Y＝0｝＝７×６/１０×９＝７/１５．同理可分别求得P｛X＝０，Y＝１｝＝７/３０，P｛X＝１，Y＝０｝＝７/３０，P｛X＝１，Y＝１｝＝１/１５．第3节：二维连续型随即向量定义：对于二维随机向量（X，Y），如果存在非负函数f（x，y），使得对任意实数x，y有则称（X，Y）是二维连续型随机向量，称f（x，y）为二维连续型随机向量（X，Y）的概率密度函数，简称为概率密度．均匀分布定义：设D是平面上的有界区域，其面积为d，若二维随机向量（X，Y）的概率密度函数为f（x，y）＝１/d，当（x，y）∈D，０，其它，则称（X，Y）服从D上的均匀分布。二维正态分布也是一种重要的分布。第4节：边缘分布二维随机向量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y），其分量X和Y都是随机变量，也有自己的分布函数，将它们分别记为FX（x），FY（y），依次称为X和Y的边缘分布函数，而将F（x，y）称为X和Y的联合分布函数．这里需要注意的是，X和Y的边缘分布函数，本质上就是一维随机变量X和Y的分布函数．我们现在之所以称其为边缘分布是相对于它们的联合分布而言的．同样地，联合分布函数F（x，y）就是二维随机向量（X，Y）的分布函数，之所以称其为联合分布是相对于其分量X或Y的分布而言的．例3.4.1求例３.２.１中（X，Y）的分量X和Y的边缘分布．解X所有可能取的值为０和１，分别记为x１和x２；Y所有可能取的值也是０和１，分别记为y１和y２．于是p１１＝７/１５，p１２＝７/３０，p２１＝７/３０，p２２＝１/１５．由（3.4.3）式得到X的边缘分布P｛X＝０｝＝p１·＝p１１＋p１２＝７/１５＋７/３０＝７/１０，P｛X＝１｝＝p２·＝p２１＋p２２＝７/３０＋１/１５＝３/１０．由（3.4.4）式得到Y的边缘分布P｛Y＝０｝＝p·１＝p１１＋p２１＝７/１５＋７/３０＝７/１０，P｛Y＝１｝＝p·２＝p１２＋p２２＝７/３０＋１/１５＝３/１０．例3.4.2对例3.2.2中的二维随机向量（XY），求X和Y的边缘分布．解由（3.4.3）式，得到P｛X＝０｝＝P｛X＝０，Y＝０｝＋P｛X＝０，Y＝１｝＝０．０００１３＋０．１９９８７＝０．２００００，P｛X＝１｝＝P｛X＝１，Y＝０｝＋P｛X＝１，Y＝１｝＝０.００００４＋０.７９９９６＝０.８００００，这就是X的边缘分布．由此可知，随机抽取一个人，他是吸烟者的概率为0.2，他是不吸烟者的概率为0.8．同样地，由（3.4.4）式，得到P｛Y＝０｝＝P｛X＝０，Y＝０｝＋P｛X＝１，Y＝０｝＝０.０００１３＋０.００００４＝０.０００１７，P｛Y＝１｝＝P｛X＝０，Y＝１｝＋P｛X＝１，Y＝１｝＝０.１９９８７＋０.７９９９６＝０.９９９８３，这就是Y的边缘分布．由此可知，随机抽取一个人，他患肺癌的概率为０.０００１７，而不患肺癌的概率为０.９９９８３．第5节：条件分布在第１章，曾经介绍了条件概率的概念，这是对随机事件而言的．在本节中，我们将讨论随机变量的条件分布．设有两个随机变量X和Y，在给定了Y取某个值或某些值的条件下，X的分布称为X的条件分布．类似地，我们可以定义Y的条件分布．例如，考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布．现在如果限制Y取值从１.５米到１．６米，即１．５≤Y≤１．６，在这个限制下求X的条件分布，就意味着要从这一大群人中把身高从１．５米到１．６米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的人群中求其体重的分布．容易想到，这个分布与不设这个限制的分布会很不一样，因为我们的条件是把身高限制在比较低的人群中，在条件分布中体重取小值的概率会显著增加．类似地可以考虑限制X取某些值时，在这个限制下求Y的条件分布．从上述例子可以看出条件分布这个概念的重要性．弄清了X的条件分布随着Y值而变化的情况，就能了解身高对体重的影响．由于在许多问题中有关的变量往往是相互影响的，这使得条件分布成为研究变量之间相依关系的一个有力工具．它在概率论与数理统计的许多分支中有着重要的应用．例3.5.1求例3.2.1中Y的条件分布．解在例3.2.1中已求出（X，Y）的概率分布，在例3.4.1中已求出X的边缘分布；这样由（3.5.2）式可得Y的条件分布如下：在X＝０的条件下，P｛Y＝０|X＝０｝＝（７/１５）/（７/１０）＝２/３，P｛Y＝１|X＝０｝＝（７/３０）/（７/１０）＝１/３；在X＝１的条件下，P｛Y＝０|X＝１｝＝（７/３０）/（３/１０）＝７/９，P｛Y＝１|X＝１｝＝（１/１５）/（３/１０）＝２/９．连续型随即变量的条件概率密度定义：给定y，设对于任意固定，，且若对于任意实数x,极限存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记为第6节：随即变量的独立性定义：设二维随机向量（X，Y）的分布函数为F（x，y），X和Y的边缘分布函数分别为FX（x）和FY（y）．若对任意的实数x，y有F（x，y）＝FX（x）FY（y）则称随机变量X和Y相互独立．由分布函数的定义，（３.６.１）式可以写为P｛X≤x，Y≤y｝＝P｛X≤x｝P｛Y≤y｝因此，随机变量X和Y相互独立是指对任意实数x，y，随机事件｛X≤x｝和｛Y≤y｝相互独立．例3.6.1考察例3.2.2（即吸烟与得肺癌关系的研究）中随机变量的独立性．解由例3.4.2得到P｛X＝０｝＝０.２，P｛Y＝０｝＝０．０００１７，而P｛X＝０，Y＝０｝＝０.０００１３，显然P｛X＝０，Y＝０｝≠P｛X＝０｝P｛Y＝０｝，从而X和Y不相互独立．第7节：随即变量函数的分布这里我们仅对二维连续型随机向量（X，Y）的情形加以讨论，并且只对两种特殊的函数关系解决分布问题，这两种函数关系是１．Z＝X＋Y．２．Z＝max｛X，Y｝和Z＝min｛X，Y｝，其中X和Y相互独立．Z＝X＋Y的分布设二维连续型随机向量（X，Y）的概率密度函数为f（x，y），求Z＝X＋Y的概率密度函数fZ（z）．Z＝max｛X，Y｝和Z＝min｛X，Y｝的分布在实际应用中，很多问题都归结为求Z的分布．例如，假设某地区降水量集中在７、８两月，该地区的某条河流这两个月的最高洪峰分别为X和Y．为制定防洪设施的安全标准，就需要知道Z＝max｛X，Y｝的分布．在高山上架设电线需要研究冬天的最大风力，假设某地区一年中风力最大的两个月的风力分别为X和Y，则一年中最大风力Z＝max｛X，Y｝的分布就要在设计之前搞清楚．/r