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2.2第PAGE3页共NUMPAGES4页2.2一、根底过关1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ()A.2B.2eq\r(2)C.4D.42.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是 ()A.y=±3x B.y=±eq\f(1,3)xC.y=±eq\r(3)x D.y=±eq\f(\r(3),3)x3.双曲线eq\f(x2,4)-eq\f(y2,12)=1的焦点到渐近线的距离为 ()A.2eq\r(3)B.2C.eq\r(3)D.14.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,那么m等于 ()A.-eq\f(1,4)B.-4C.4D.eq\f(1,4)5.双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线,交双曲线右支于M点,假设MF2垂直于x轴,那么双曲线的离心率为 ()A.eq\r(6)B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(3),3)6.双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,那么该双曲线的方程为 ()A.eq\f(x2,5)-eq\f(y2,4)=1 B.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,5)=1C.eq\f(x2,3)-eq\f(y2,6)=1 D.eq\f(x2,6)-eq\f(y2,3)=1二、能力提升7.假设双曲线离心率为eq\r(5),焦点在x轴上,那么其渐近线方程为____________.8.圆C过双曲线eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,那么圆心到双曲线中心的距离是________.9.如下图,ABCDEF为正六边形,那么以F、C为焦点,且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为___________________________________________________.10.根据以下条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1有共同的渐近线,且过点(-3,2eq\r(3));(2)与双曲线eq\f(x2,16)-eq\f(y2,4)=1有公共焦点,且过点(3eq\r(2),2).11.双曲线的一条渐近线为x+eq\r(3)y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.12.求证:双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值.三、探究与拓展13.双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).假设双曲线上存在点P,使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)=eq\f(a,c),求该双曲线的离心率的取值范围.
答案1.C2.C3.A4.A5.B6.A7.y=±2x8.eq\f(16,3)9.eq\r(3)+110.解(1)设所求双曲线方程为eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=λ(λ≠0),将点(-3,2eq\r(3))代入得λ=eq\f(1,4),所以双曲线方程为eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=eq\f(1,4),即eq\f(4x2,9)-eq\f(y2,4)=1.故双曲线标准方程为eq\f(x2,\f(9,4))-eq\f(y2,4)=1.(2)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0).由题意易求c=2eq\r(5).又双曲线过点(3eq\r(2),2),∴eq\f(3\r(2)2,a2)-eq\f(4,b2)=1.又∵a2+b2=(2eq\r(5))2,∴a2=12,b2=8.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)-eq\f(y2,8)=1.11.解椭圆方程为eq\f(x2,64)+eq\f(y2,16)=1,可知椭圆的焦距为8eq\r(3).①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2+b2=48,,\f(b,a)=\f(\r(3),3),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=36,,b2=12.))∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)-eq\f(y2,12)=1.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2+b2=48,,\f(a,b)=\f(\r(3),3),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=12,,b2=36.))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,12)-eq\f(x2,36)=1.由①②可知,双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)-eq\f(y2,12)=1或eq\f(y2,12)-eq\f(x2,36)=1.12.证明设P(x0,y0)是双曲线上任意一点,由双曲线的两渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,可得P到bx+ay=0的距离d1=eq\f(|bx0+ay0|,\r(a2+b2)),P到bx-ay=0的距离d2=eq\f(|bx0-ay0|,\r(a2+b2)).∴d1d2=eq\f(|bx0+ay0|,\r(a2+b2))·eq\f(|bx0-ay0|,\r(a2+b2))=eq\f(|b2x\o\al(2,0)-a2y\o\al(2,0)|,a2+b2).又P在双曲线上,∴eq\f(x\o\al(2,0),a2)-eq\f(y\o\al(2,0),b2)=1,即b2xeq\o\al(2,0)-a2yeq\o\al(2,0)=a2b2,∴d1d2=/
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