版高中数学全程学习方略配套等比数列的性质-完整版课件

【思考】【点拨】等比数列性质的应用【名师指津】巧用等比数列的性质简化运算在等比数列的有关运算中,常涉及到次数较高的指数运算,若按常规解法,往往是建立a1和q的方程(组),这样解起来较麻烦.而采用等比数列性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.【特别提醒】运用性质时要注意各项下标的关系.【例1】若{an}为等比数列，且a1·a9=64，a3+a7=20，求a11.【审题指导】题目中给出了数列{an}为等比数列，欲求a11，可利用等比数列的性质.由a1·a9=64可知a3·a7=64，然后构造方程求解即可.【规范解答】∵{an}为等比数列，∴a1·a9=a3·a7=64，又∵a3+a7=20，∴当a3=4，a7=16时，a3+a7=a3+a3q4=20,∴1+q4=5，∴q4=4,当a3=16，a7=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,∴1+q4=∴q4=∴a11=a1q10=a3q8=64或1.【互动探究】若在本例已知条件中去掉“a3+a7=20”，其他条件不变，又如何求a3a4a5a6a7的值呢？【解题提示】利用等比数列的性质.在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k，则有aman=apaq=【解析】∵a3a7=a4a6==a1·a9=64,∴a5=±8,∴a3a4a5a6a7=±32768.【误区警示】题中易忽略a5的正负两种情况而漏解.【例】已知{an}为等比数列，若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=36，求a3+a5的值.【审题指导】由题目中an>0，可知此等比数列的公比q>0，应用等比数列的性质：a2a4=a4a6=化简已知，可求解.【规范解答】∵a2a4+2a3a5+a4a6=36，∴+2a3a5+=36,∴(a3+a5)2=36，又∵an>0，∴a3+a5=6.【变式备选】若a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求等比数列{an}的通项公式.【解题提示】应用等比数列的性质，a1a3=代换求得a2，再利用已知条件求a1,q.【解析】∵a1a3=代入已知，得=8，∴a2=2.设公比为q，则前三项为2,2q，则有+2+2q=7.整理，得2q2-5q+2=0，∴q=2或q=∴故可得an=2n-1或an=23-n(n∈N*).等比数列的判定【名师指津】判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法

=q(q为常数且不为零)

{an}为等比数列.(2)等比中项法

=anan+2(n∈N*且an≠0)

{an}为等比数列.(3)通项公式法an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)

{an}为等比数列.【特别提醒】判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零.【例2】已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，又bn=n=1,2,3,……求证：数列{bn}为等比数列.【审题指导】由题目知首先明确数列{an}各项均为正数，利用lga1，lga2，lga4也成等差数列以及对数的有关运算，结合条件bn=分情况讨论来判定.【规范解答】∵lga1，lga2，lga4成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4),∴=a1·a4.设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1·(a1+3d)，∴d2=a1d,∴d(a1-d)=0.(1)当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.(2)当d=a1≠0时，=a1+(2n-1)d=2nd，∴bn=∴(n≥1,n∈N*),此时数列{bn}是首项为b1=公比为的等比数列.综上可知，数列{bn}为等比数列.【变式训练】已知等比数列{an}中，a1=1，公比为q(q≠0)，且bn=an+1-an.试判断数列{bn}是否为等比数列.【解题提示】先求得数列{an}的通项，再分公比q=1和q≠1两种情况讨论判断.【解析】∵等比数列{an}中，a1=1,公比为q，∴an=a1qn-1

(q≠0)，若q=1，则an=1，bn=an+1-an=0，∴{bn}是各项为0的常数列，不是等比数列;若q≠1，由于∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1，公比为q的等比数列.

【典例】(12分)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数.【审题指导】四个数成等比数列可设为a，aq，aq2，aq3.又这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，根据这些条件列出方程组，求出未知量，得出这四个数的值.【规范解答】设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3………3分则a-1，aq-1，aq2-4，aq3-13成等差数列，据题意得：

……6分整理得解得……9分因此这四个数分别为3,6,12,24.……12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有四个数，前三个数依次成等比数列，它们的积是-8，后三个数依次成等差数列，它们的积为-80，求出这四个数.【解析】由题意设此四个数分别为b,bq,a,则有解得所以这四个数分别为1，-2,4,10或-2，-5，-8.1.已知a,b,c,d成等比数列，且抛物线y=x2-2x+3的顶点为（b,c),则ad=()(A)3(B)2(C)1(D)-2【解析】选B.∵抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为（1，2），∴b=1,c=2,又∵a，b,c,d成等比数列，∴ad=bc=2.2.在等比数列{an}中，a5＝３，则a2a8等于()(A)3(B)6(C)8(D)9【解析】选Ｄ.a2a8＝=32＝９.3.在等比数列{an}中，a2011=a2

013＝5，则a2

012＝()(A)5(B)-5(C)±5(D)25【解析】选Ｃ.∵=a2

011a2013,∴=25，故a2012＝±5.4.公差不为０的等差数列第二、三、五项构成等比数列，则公比为______.【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则=a2a5，即(a1+2d)2＝(a1+d)·(a1+4d)，得a1d=0，∵d≠0,∴a1=0,则a2