电磁场与电磁波第二章

2电荷守恒定律真空中静电场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律媒质的电磁特性电磁感应定律位移电流麦克斯韦方程组电磁场的边界条件本章

内容32.1

电荷守恒定律本节

的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电荷电流电场磁场（运动）源量为电荷q

(r，t

)和电流I

(r，t

)，分别产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。4电荷与电荷密度电荷是物质基本属性之一。1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。1907－1913

，

科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为e

=1.602

17733×10-19

(单位：C)确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e

是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e

的整数倍。宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。dV(r

)

limq(r

)

dq(r

)V

V

0单位：C/m3

(库仑/米3

)根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为q

V

(r

)dV5理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷1.

电荷体密度电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布qVyxzorV62.

电荷面密度若电荷分布在薄层上的情况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。S单位:C/m2

(库仑/米2)如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q

为q

s

(r

)dSdSq(r

)

dq(r

)SS

(r

)

limS

0yxzorqS

S73.

电荷线密度在电荷分布在细线上的情况，当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。dlq(r

)

dq(r

)ll

(r

)

limC如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q

为q

l

(r

)dll0单位:C/m(库仑/米)yxzorql心、电量为q的点电荷。点电荷的电荷密度表示(r

)

q

(r

r

)84.

点电荷对于总电量为q

的电荷集中在很小区域V

的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积V

中的电荷可看作位于该区域中yxzorq92.1.2

电流与电流密度存在可以 移动的电荷存在电场说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定电流，用I

表示。t

0单位:A

（安培）电流方向:正电荷的流动方向形成电流的条件：i

lim

(q

t)

dq

dt电流——电荷的定向运动而形成，用i

表示，其大小定义为：单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即dSi

diJ

en

lim

enS

0

S10一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。1.

体电流电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用电流密度矢量来描J

述。I

SJ

dS单位：A/m2

。流过任意曲面S

的电流为SenJ体电流密度矢量正电荷运动的方向112.

面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量JS来描述其分布面电流密度矢量d

0etenlJSh

0St

dlJ

e

lim

i

e

dit

l

0

l(en

dl

)i

l

JS单位：A/m。通过薄导体层上任意有向曲线l的电流为正电荷运动的方向12SVdt

dtJ

dS

dq

d

dV2.1.3.

电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。积分形式

J

t微分形式流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程

0tS

J

0、

J

dS

0恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电流连续性方程230

12

0

12R4

R

4

RF12

eR

2

122.2.1.库仑定律电场强度1.

库仑（Coulomb）定律(1785年)132.2

真空中静电场的基本规律静电场：由 电荷产生的电场重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用真空中

点电荷

q1

对

q2

的作用力:yxzor11qr212R12F2q大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；方向沿q1

和q2

连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；F21

F12

，满足牛顿第三定律。143NNq0

i4

Ri1i1F

i

Rii(R

r电场力服从叠加原理真空中的N个点电荷q2、、（qN分别位于r1、r2、、）rN对点电荷q（位于r）的作用力为qq1q2q3q4q5q6q715q0E(r

)q00

lim

F

(r

)0qR4

R3

E(r

)

如果电荷是连续分布呢？根据上述定义，真空中 点电荷q激发的电场为：(R

r2.电场强度电场强度矢量E

——描述电场分布的基本物理量空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即0q

——试验正电荷yxzorqrREM16体密度为(r

)

的体分布电荷产生的电场强度300

iR34

R4i11

(r)R

dV

E(r

)

(ri)ViRiV0SSdSR3

1

(r

)R4E(r

)

3lCE(r

)dlR40

1

(r)Rl

(r

)线密度为

的线分布电荷的电场强度面密度为

的面分布S(r

)电荷的电场强度小体积元中的电荷产生的电场yxzor

(Vi

VrM170

E(r

)

(r

)VS01

E(r

)

dS

(r

)dV2.2.2

静电场的散度与旋度1.静电场散度与高斯定理静电场的散度（微分形式）静电场的高斯定理（积分形式）高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。2.静电场旋度与环路定理静电场的旋度（微分形式）

静电场的环路定理（积分形式）

E(r

C

E(r

)

dl

0环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。18利用高斯定理计算电场强度当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体带电球壳多层同心球壳无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。19轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。(a)(b)20例2.1

求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a

，电荷密度为

0

。解：（1）球外某点的场强030

03q

1

4S

a

E

dS

（2）求球体内一点的场强VoS1E

dS

0

dV

ar0rrEa203

r

a3E

0

(r

≥

a

)qo

4

r34

r

2

E

1

3

oE

0r

4

a3

3

3（r<

a）212

1123CFR124I2dl2

(I1dl1

R12

)

0C

yxzor1I1dl12r12R12C

C2

2I

dl流相互作用力公式，称为安培力定律。实验表明，真空中的载流回路C1对2载流回路C

的作用力载流回路C2对载流回路C1的作用力F21

满足牛顿第三定律安培力定律真空中恒定磁场的基本规律安培力定律磁感应强度1.

安培力定律安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在

1821～1825年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电222、磁感应强度B电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度

B

，单位为T（特斯拉）。磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路C1对载流回路

C2

的作用力是回路

C1中的电流

I1

产生的磁场对回路C2中的电流

I2

的作用力。根据安培力定律，有212122

23CR124F

I

dl

(

0I1dl1

R12

)

I2dl2

B1

(r2)C

C其中101

23CR124I1dl1

R12B

(r

)

电流I1在电流元I2d

处产生的磁感应强度R3Idl

RB(r

)

0Idl(r

r)

0r

r

34

C4

CSdSR3B(r

)

0

4

J

(

)

RS

rVdVB(r

)

R3

04

J

(r

)

R23任意电流回路C产生的磁场感应强度电流元Idl产生的磁场感应强度体电 生的磁场感应强度4dB(r

)

r

r面电 生的磁场感应强度yxzorIdlRCrM

B(r

)

0

J

(r

)242.3.2

恒定磁场的散度和旋度1.恒定磁场的散度与磁通连续性原理恒定场的散度（微分形式）

B(r

)

0磁通连续性原理（积分形式）S

B(r

)

dS

0安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源。恒定磁场的旋度（微分形式）磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线。2.

恒定磁场的旋度与安培环路定理安培环路定理（积分形式）

C

B(r

)

dl

0

S

J

(r

)

dS

0

I解：分析场的分布，取安培环路如图C

B

dl

B1l

B2l

0

JS

0l根据对称性，有B1

B2，故2y

0

S

02y

Je

0

JS

0x

0B

ex

0C253.

利用安培环路定理计算磁感应强度当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。例2.2

求电流面密度为

JS

e的z

无限大电流薄板产生的磁感应强度。B

e应用安培环路定理，得a2I

22

B1

0例2.326求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。2I

2I1

a2

I

a2解选用圆柱坐标系，则(

1

)

0取安培环路(

，交链的电流为abc1

2

a2B

e

0

I

27(3)

b应用安培环路定律，得3

I

(c2

2

)2B

0

c2

b2(2)

a2B2

2

b2c2

2I3

I

I

c2

b2

I

c2

b2(4)

c

I4

0B3

e2

c

B2

e

2B4

0282.4

媒质的电磁特性的电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。电介质极化的结果是出现的这些顺着外电场方向排列的电偶极子所产生的电场将改变原来的电场分布，即极化电荷产生附加电场。无极分子有极分子无外加电场媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。2.4.1

电介质的极化电位移矢量1.

电介质的极化现象电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极分子无极分子有极分子有外加电场

E29VV

0P

lim

pi

np极化强度矢量P(C

m2

)

极化强度矢量

是P

描述介质极化程度的物理量，定义为p

——分子的平均电偶极矩P的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。 性、各向同性的电介质中，

与P

电场强度成正比，即0P

ee

(

0)——电介质的电极化率

EP

np

p

piVpS1E

dS

0(

)dV

p

E

0电荷和极化电荷共同激发的结果30电位移矢量

介质中的高斯定理介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；

极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是 电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：任意闭合曲面电位移矢量D

的通量等于该曲面包含

电荷的代数和小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为，有31将极化电荷体密度表达式p

P

代入0

E

P0

E

P引入电位移矢量（单位为C/m2

)D

0

E

P

D则有

D

dS

dVS

V其积分形式为E(r

)

dl

0

C

S

D

dS

V

dV（积分形式）

D

E

0（微分形式），其中

0

(1

e

)

r0称为介质的介电常数，r

1

e

称为介质的相对介电常数（无量纲）。*介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质324.

电介质的本构关系极化强度

与P电场强度

之E间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

P有简E单的线性关系P

0

e

E在这种情况下D

0

(1

e

)E

E

r0

E332.4.2

磁介质的磁化磁场强度1.

磁介质的磁化无外加磁场B外加磁场介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩pm

无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。pm

34mVV

0M

lim

pm

npBM

单位为A/m。磁介质被磁化后，在其

与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。2.

磁化强度矢量M磁介质与磁场相互作用，一.外加磁场使介质磁化，二.被磁化的磁介质产生附加磁场从而使原来的磁场分布发生变化。磁化强度M

是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即

B

0

(J

JM

)

MC

S(J

J

)

dS0B

dl

J、JM

分别是传导电流密度和磁化电流密度。有将极化电荷体密度表达式JM

代入

B

0

(J

JM

)，B

0(

M

)

J,

即B

0

(H

M

)353.

磁场强度

介质中安培环路定理外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B

应是所有电流源激励的结果：B0H

M定义磁场强度H

为：36

H

()

J

()r

r

SB(r

)

B(r

)

0则得到介质中的安培环路定理为：C

H

(r

)

dl

S

J

(r

)

dS

dS

0磁通连续性定理为小结：恒定磁场是有旋无源场，磁介质中的基本方程为（积分形式）（微分形式）

B(r

)

0

H

(r

)

J

(r

)

SCS

B(r

)

dS

0H

(r

)

dl

J

(r

)

dS37顺磁质抗磁质铁磁质磁介质的分类

r

1r

1r

14.

磁介质的本构关系磁化强度和磁场强度H之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质， 与

H之间存在简单的线性关系：M

m

H其中，m

称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下B

0

(1

m

)H

H其中

0

(1

m

)

r

0称为介质的磁导率，r

1

m

称为介质的相对磁导率（无量纲）。

H

dl

2H

I磁场强度H

e

2

0

IC磁化强度

aa

eM

H

0

200

0

I磁感应强度Ba

20

a

e

2e

0

B

I

I例2.438有一磁导率为µ

，半径为a的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0），试求圆柱内外的

B

、H

和的分布。解磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得392.4.3

媒质的传导特性存在可以 移动带电粒子的介质称为导电媒质。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量J和电场强度E

成正比，表示为J

E这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数

称为媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。402.5

电磁感应定律和位移电流电磁感应定律——揭示时变磁场产生电场位移电流——揭示时变电场产生磁场重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成的电磁场。2.5.1

电磁感应定律自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。1831年法拉弟发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著明的法拉电磁感应定律。负号表示感应电磁通量的变化。in

ddt生的磁场总是S

B

dSnBCSdl设任意导体回路C围成的曲面为S，其n单位法向矢量为e

，则穿过回路的磁通为S

B

dSdtdin

411.

法拉弟电磁感应定律的表述当通过导体回路所围面积的磁通量

发生变化时，回路中产生的感应电动势in的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要回路中磁通量的改变，即导体回路中有感应电流，表明回路中的感应电动势可表示为in

C

Ein

dlin42应电场

，E

回路中感应电场是由变化的磁场所激发的电场；感应电场是有旋场；

感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间；对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C

，都有SdtE

dl

d

B

dSC

inSdtE

dl

d

B

dSC

因而有对感应电场的in：dd相应的微分形式为tcCE

dl

0即，故有。E由

E于inc

in

c43若空间同时存在由电荷产生的电场E

,则总电场

应E为

与E

之E和这就是推广的法拉第电磁感应定律。2.引起回路中磁通变化的几种情况：(1)

回路不变，磁场随时间变化磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有CSdt

E

dl

d

B

dS

E

BtC

SdSE

dl

Bt

44(2)

导体回路在恒定磁场中运动in

C

E

dl

C

(v

B)

dl称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(3)

回路在时变磁场中运动in

E

dl

(v

B)

dl

B

dStC

CS45(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得inz

0

zvtbbB0

cost

B

dS

(v

B)

dlt

(e

B

cost)

e

dS

(exv

ez

B0

cosS

CS

tC46的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得in

C

(v

B)

dl

C

(exv

ez

B0

)

eydl

vB0b(2)均匀磁场B为恒定磁场，而回或0

0inSdt

dt

dB

dS

d

(bB

vt)

bB

v472.5.2

位移电流静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即

E

0B

E

t这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即时变磁场可以激发电场。问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？在时变情况下，安培环路环路是否要发生变化？有什么变化？即（恒定磁场）

H

?（时变场）48而由1.

全电流定律非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有t

J

(

D)发生在时变的情况下不适用解决办法：对安培环路定理进行修正由

D

t

D(J

)

0

J

t

0

J

(

H

)

0DH

J

t将 修正为：

解决时变电场会激发磁场49全电流定律：D

H

J

t

——微分形式

DC

H

dl

s

(J

t

)

dS——积分形式全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。50

tDJd2.

位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；

在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。dJ例2.651海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为E

ex

Em

costD

Jd

t

ex0

r

Em

sin

tJdm

0r

Em

4.510

E3mJcm

Em

4Em

1.125103JcmJdm52cos(A/m2ymJd

t

e

Hx

H

ez

y

z

eykHm

sin(t

kz)000ymm0ky

E

D

1Ddt

1e

kH

sin(t

kz)dt

eH

cos(t

kz)

V/m

t

式中的k

为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例2.7空间的磁场强度为H

ex

Hm

cos(解,得空间的传导电流密度为0，故由式

H

Dt例

2.8

铜的电导率x

m53、相对介电常数

。cost

A/m2

。试证明：在无线设铜中的传导电流密度为J

e

Jd

r

0r

x

m

x

r

0

mJ

D

E

(e

E

cost)

e

E

sin

tt

t

0

tJm

Em通常所说的无线电频率是指f

=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30GHz～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为CSSH

dl

(J

D

)

dSttB

dS

0

CS

E

dl

B

dS

S

D

dS

V

dVSJ

dS

V

dV542.6

麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组——宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程2.6.1麦克斯韦方程组的积分形式55

D

t

H

J

t

B

E

D

B

02.6.2麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第 程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场56D

EB

H

J

E

(E)

(H

)

0(H

)t

E

H

E

t

(E)

代入麦克斯韦方程组中，有：E

H

E

tH

E

t

H

0

E

/

限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）2.6.3

媒质的本构关系各向同性线性媒质的本构关系为57时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并，这就是电磁波。58在无源空间中，两个旋度方程分别为D

H

tB,

E

t可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。59麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)

0t

0ttD

0tB

0小结：麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象静电场(ES)恒定电场

静磁场(SS)

(MS)60c

mdt

dtsin

t)i

C

du

=

C

d

(UD

E

Um

sin

td解：(1)导线中的传导电流为

CUm

cost忽略边缘效应时，间距为d的两平行板之间的电场为E=u/d

，则正弦交流电压源

u

Um

连sin接到t

平行板电容器的两个极例2.9板上，。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r

处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流电压源相接61，故得与闭合线铰链的只有导线中的传导电流ic

CUm2

rH

CUm

cost(2)以r为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故c

H

dl

2

rHd0

mci

D

dS

Um

cost

S

CUcost

it

dS

SJ

dS

S0式中的 为极板的面积，而0d

S

C

为平行板电容器的电容。则极板间的位移电流为mCUcost2

rH

e

H

e62中，若已知例2.10电场强度矢量 ，式中的E0为振幅、ω为角在无源(J

0、的电介质(

0)频率、k为相位常数。试确定k与ω

之间所满足的关系，并求出与相应E的其它场矢量。解：E是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与ω之间所满足的关系，以及与E相应的其它场矢量。y

0y

0

e

Ex

e

E

cos(t

kz)

e

kE

sin(t

kz)zy

z对时间t

积分，得x

xB

E

(e

e

e

)

e

Et

x

x

y

y

z

z63B

=

D

Exxk

2

EHy

H

e

e

m

sin(t

kz)exeyezxHxyHyzHzzxD

e

Dx

ex

Em

sin(t

kz)t

t

H

Dt由k

2

2

H

eyD

ex

Em

cos(t

kz)以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H

和D代入式642.7

电磁场的边界条件•电磁场的边界条件?en媒质1媒质2实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的 该空间中可能是由多种不同物理：于发突数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其数解是不确定的，边界条件起定解的用生麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。65S

VSC

SC

StB

D

dS

ρdV

B

dS

0t

E

dl

dS

H

dl

(J

D

)

dS2.7.1

边界条件一般表达式SSee

(D

D

)

(H

H

)

J

n

1

2en

(B1

B2

)

0en

(E1

E2

)

02

n

1

en媒质1媒质2分界面上的电荷面密度分界面上的电流面密度66S1D2Den媒质1媒质2hPS即

S

D

dS

V

ρdVen

(D1

D2同理

，由

S

B

dS

0边界条件的推证（1）

电磁场量的法向边界条件

在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。令Δh→0，则由en

(B1

B2

)

0

或

B1n

B2n(D1

D2

)

enS

S

S

D2n

SD1n或67S(H1

H2

)

l（2）电磁场量的切向边界条件在介质分界面两侧，选取的小环路，令Δh

→0，则由l1H2Hen媒质1媒质2NhC

SH

dl

(J

)

dSDt

Se

(H

H

)

J2[en

(H1nH1t1

2

H2ten

(E1

E2

)

0E1t

E2t故得或同理得或2(H1

H2

)

l

(H168en

(E1

E2

)

0en

(B1

B2

)

0en

(D1

D2

)

0

2.7.2

两种常见的情况1.两种理想介质分界面上的边界条件在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS＝0、ρS＝0，故的法向分量连续D的法向分量连续E的切向分量连续en

(H1

H

2

)

0

H的切向分量连续en媒质1媒质2D、的法向分量连续en媒质1媒质2E、H的切向分量连续692.

理想导体表面上的边界条件en

B

0en

D

S理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故理想导体：电导率为无限大的导电媒质特征：电磁场不可能进入理想导体内DJSH理想导体理想导体表面上的电荷密度等于D的法向分量理想导体表面上B的法向分量为0en

E

0

理想导体表面上 的切向分量为0en

H

JS

理想导体表面上的电流密度等于H的切向分量70, z

>0。若媒质1中的电场0例2.11

z

<

0的区域的媒质参数为

1

0、10区域的媒质参数为2

50、2强度为E1

(z,t)

ex

[60cos(1510

t

5z)媒质2中的电场强度为（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度

H1

(z,

t)

和

H

2

(z,

t)

；（3）验证H1

(z和,

t)

H满2

(足z,边t)

界条件。解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z=0处，有E1

(0,t)

ex[60cos(1510E

(0,

t)

e

Acos(15108

t)

V/m2

x11

1y1 E1xH1

1

E

et

z0y

e

1

[300sin(15108

t

5z)

100sin(15108

t

5z)]103y

H

(z,t)

e

1

[2107

cos(15108

t

5z)

2

107

cos(15108

t

5z)]

A/mA

80

V/m得到将上式对时间t

积分，得2（ ）由，有1H

E1

1t71利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件E1

(0,t)

E2

(0,t)72204y

3H

(z,t)

e107

cos(15108

t

5z)

A/m1