湖北省随州市2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.2.某校有文科教师60名，理科教师80名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（）A.50 B.66 C.74 D.903.设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（）A. B. C. D.4.角的终边过点，则（）A. B. C. D.5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线aα，aβ，且直线a不在α与β内C.直线，直线，且bα，aβD.α内的任何直线都与β平行6.是所在平面上一点，若，则是的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心7.已知，，则（）A. B.C. D.8.以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与内切球体积的比值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表：时刻水深101310710若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（）A.B.C.时的水深约为D.若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时10.在△ABC中，角所对的边分别为，下列各组条件中，能使存在且唯一的有（）A. B.C. D.11.设互不相等的一组数据的平均数为，方差为，现从中去掉一个数据后的平均数为，方差为，下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________．13.已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________．14.已知在中，D，E为边BC上的两点，满足，，则的值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）若比赛成绩前的选手被评为一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分．16.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数a的取值范围．17.某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2．（1）求该几何体的体积与表面积；（2）若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程．18.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）设A的角平分线交BC于点D，设，证明：；（3）设E为线段BC的一个靠近点C的三等分点，若的外接圆半径为，求AE的取值范围．19.如图，已知在四面体中，设，，．（1）若，，且二面角为直二面角，求n的值；（2）若，为直角三角形，求的最小值；（3）设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，.2.某校有文科教师60名，理科教师80名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（）A.50 B.66 C.74 D.90答案：C解析：解答过程：文科教师中的女教师为名，理科教师中的女教师为名，该校女教师人数为人.3.设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由于向量，共线，则存在实数，使得，由于，是两个不共线的向量，故且，故4.角的终边过点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由角的终边过点，得.5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线aα，aβ，且直线a不在α与β内C.直线，直线，且bα，aβD.α内的任何直线都与β平行答案：D解析：思路：由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可.解答过程：A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；C：直线，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确.故选：D.6.是所在平面上一点，若，则是的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案：D解析：思路：利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.解答过程：因为，则，所以，，同理可得，，故是的垂心.故选：D.7.已知，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：，又，，所以，所以，即即，所以8.以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与内切球体积的比值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：要求外接球与内切球的体积之比，则需要求外接球与内切球的半径，由题可知外接球的半径为正方体棱长的一半，运用等体积法可求内切球半径，然后求体积之比即可.解答过程：如图所示，

不妨设正方体的棱长为，各个面的中心分别是，正方体的中心为，分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体为，该正八面体是由正四棱锥和组成，因为，所以外接球半径，内切球半径等于到面的距离，

如图，连接，所以是的中位线，由正方体的棱长为，所以，所以，同理，在三棱锥中，由等体积法知：，解得：，所以外接球与内切球的体积之比为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表：时刻水深101310710若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（）A.B.C.时的水深约为D.若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时答案：BCD解析：解答过程：由表格数据可知，，故，解得，故A错误；因为，故，解得，故B正确；，故，，，故C正确；，即，，又，，故该船当天在港口停留的时间最多为4小时，D正确.10.在△ABC中，角所对的边分别为，下列各组条件中，能使存在且唯一的有（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：对于AB，使用正弦定理即可判断；对于C，使用余弦定理判断；对于D，，由，又在上单调递减,所以，结合,导致三角形内角和超过，故不存在.解答过程：对于A，若，则,又，根据正弦定理可知，此时的解唯一，故存在且唯一，故选项A正确；对于B，由可知，所以，，故存在且有两解，故选项B错误；对于C，根据余弦定理可知，即，此时，仅有一解，故存在且唯一，故选项C正确；对于D，，由，又在上单调递减,所以，，此时不存在.11.设互不相等的一组数据的平均数为，方差为，现从中去掉一个数据后的平均数为，方差为，下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：思路：本题主要考查平均数与方差的性质.利用去掉一个数据后平均数与方差的变化公式进行判断，注意方差公式中的分母变化.解答过程：设原数据总和，去掉后总和，新平均数.A项：若，则，正确.B项：若，则去掉的数据对原方差贡献为0，剩余数据平方和不变但个数减少，故所以，B错误.C项：若，则，故，C正确.D项：若，方差不一定减小.例如数据，，去掉（大于平均数），剩余，计算得原方差，新方差，，故D错误.综上，答案为AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________．答案：解析：解答过程：由，，得，.因是线段的中点，由中点坐标公式得，，故点的坐标为.13.已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________．答案：解析：思路：根据实系数一元二次方程虚根成对原理得到另一根，结合韦达定理求的值，再计算.解答过程：∵是实系数方程的根，实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为，由韦达定理得，，解得，故.14.已知在中，D，E为边BC上的两点，满足，，则的值为_________．答案：##解析：解答过程：在与中，由正弦定理得，，因，故，两式相除得（1）.同理，在与中可得（2）.设，则，故，，所以（1）（2）两式相乘得.代入，得，又，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）若比赛成绩前的选手被评为一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分．答案：（1）（2）解析：（1）由题意可知，，解得；（2）由（1）及图知，的频率为，的频率为，故成绩前的选手（分数从高到低）的最低分位于区间，设为，由，可得，即一等奖选手成绩的最低分约为．16.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式；（2）由图象平移写出的解析式，问题化为在上只有3个解，由正弦型函数性质求在区间的值域，即可得参数范围.（1）由图可知：函数的周期，又，所以．又因为，即，则，即，由，可知，所以．（2）依题意可得：，在区间上有三个零点，即函数与函数在区间上有三个交点，令，即与函数在区间上有三个交点，结合图象可得：，即有．17.某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2．（1）求该几何体的体积与表面积；（2）若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程．答案：（1）体积，表面积（2）解析：思路：（1）本题考查多面体的体积与表面积，该几何体体积可由上部正四棱锥与下部正四棱柱的体积之和求得，表面积为上部正四棱锥的侧面积与下部正四棱柱表面积之和减去底面的面积；（2）将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，利用勾股定理即可求得.（1）该几何体的体积过点作，垂足为，连接，则该几何体的表面积（2）如图，将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，过作，垂足为，由，，可得，即蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，爬行的最短路程为．18.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）设A的角平分线交BC于点D，设，证明：；（3）设E为线段BC的一个靠近点C的三等分点，若的外接圆半径为，求AE的取值范围．答案：（1）（2）因为，角的角平分线交于点，所以，所以，故．（3）解析：思路：（1）根据三角恒等变换，即可化简求解，（2）利用等面积法，结全三角形的面积公式即可证明，（3）利用正弦定理边角互化，进而由余弦定理表达，结合三角恒等变换，即可求解.（1），，故有，，故．（2）略（3）依题意可得：，故，在△中，，由余弦定理得：，由，，故，即有．19.如图，已知在四面体中，设，，．（1）若，，且二面角为直二面角，求n的值；（2）若，为直角三角形，求的最小值；（3）设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）取的中点M，连接，可得二面角的平面角为，进而根据余弦定理解三角形即可；（2）根据直角三角形的性质，以及余弦定理，求出的表达式，进而根据基本不等式求出结果即可；（3）过D作，垂足为，可证得与平面所成的角即为，解法1：利用余弦定理表示出，然后由化简求出的表达式，进而根据角的范围求出表达式的范围；解法2：过作，垂足为H，连接，表示出，，，从而可求出的表达式，进而根据角的范围求出表达式的范围.（1）取的中点M，连接，因为，所以，