工程力学-第六章弯曲应力

Fx

N1

N

1b(d

x)

0IIz

zM

MSAAy

d

A

zN

d

A

(

M

d

M

)

S

zI

zN

1

zF

SS

s

zd

x

bIzbIz

d

M1Axyy由切应力互等定理可知I

bF

Szs

z

s

FMhM

d

MFsd

x注意：F

为横截面的剪力；Iz

为整个横截s面对z

轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面z中性轴z的静矩。的宽度；S

*为所求点对应位置以外的面积对xdx图azyby(y)Fsmax2

A

3

Fs2

1.52

I

z

4F

s(

h

2矩

y

)3、矩形截面切应力的分布：2h

22h

2h

bb

(

y

)

(

y

)2

2

4yS

z

A

y

c

I

zbF

S

s

zyhbFs2A*

b(

h

y)czB

y*

maxFs

的大小沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力max在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。二、非矩形截面梁——圆截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与

y

轴对称；与

y

轴相交各点处的切应力其方向与

y

轴一致。I

zb(

y)FS

S

*zy1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力在

y方向的分量

y

相等。yOmaxkk'O'dFsy

关于其切应力分布的假设：最大切应力

max在中性轴处I

dzF

S

*S

zmax

4F

4F

2

3

4

d

πSS3A

dπd

4

43π

1πd

2

2d

FS

2

64yOmaxkk'O'dyOC2d

/31、工字形薄壁梁腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。假设

//

腹板侧边，并沿其厚度均匀分布F

S

*

(

y)

S

zI

z——下侧部分截面对中性轴z

的静矩

(

y)

2

2

2

20b(h

h

)

(h

4

y

)FSz8I

max

(0)2min

(

h)zS

*三、薄壁截面梁Fs2、盒形薄壁梁

(

y)

24

y

)2

h

)

2

(hFF

S

*

z2

2

b(h0

S

S

I

z

2

16Iz3、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：

<<r0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3) y

轴是对称轴→切应力分布与

y

轴对称；与y

轴相交的各点处切应力为零。最大切应力max

仍发生在中性轴z上。yOmaxr0

max2000*π

2r

πr

Sz300

02

r

2

2πr

d

A

2πrpI

AI

p

I

z

I

y

2Iz302z

pI

1

I

πr2r3πr

(2I

2

)2F

(2r

)z0FS

S

*zS

0max

F

2FS

Sπr0

AA

2πr0y2r0

/OC薄壁环形截面梁最大切应力的计算yOmaxr0maxm253z,maxS

C

9.03

10

(

b

y

)2*Smax

7.66

MPaI

F

Szmaxz2、腹板与翼缘交接处切应力-5

3

8.4010

m

2

C

zaS*b

y

b

7.13

MPaazI

FSSz,a2

C

b

y

8.4010-5

m3zaS*例

FS

=

15

kN，Iz

=8.8410-6

m4，b

=

120

mm，

mm，yC

=45

mm。试求：max

；腹板与翼缘交接处切应力a解：1、最大切应力z例图示悬臂梁，由两块木板钉成T型截面，铁钉的许用剪力[FS]=800N。求铁钉的间距。解：F

SS

zbIz*

[FS

]

s1.8kN

200

50162.5z

200Iz

=113.54

×106mm450Fs

0.198MPa1800

0.2

0.05

(0.225

0.1625)0.05113.54106ττs

81mm

50

0.198s

[FS

]

8004、薄壁截面梁翼缘上的切应力(1)

平行于y

轴的切应力计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力FS1

A1

d

A

0.9FShOdyb可见翼缘上平行于

y

轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担y(2)

垂直于y

轴的切应力zI

*FS

S

z1

d

F

S

F

*

F

*N2

N1h

I

2 2

h

FS2IFzzS*I

zd

M

Sz11

N2F

*F

*N1d

F

d

xS

1

'yhOdb面端部（

=0处)这部分截面的面积对中性轴的静矩——欲求切应力值的点所在位置的壁厚zS

*

——欲计算切应力的点到截翼缘上垂直于y

轴的切应力随按线性规律变化。通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。h

2I

F

zS1yOmaxmaxmin1max弯曲正应力与弯曲切应力比较

Fl

6Flbh2

bh2max62

bh

3

Fmax

h

6Fl

2bh

4

l

bh2

3Fmax

max当l

>>h

时，max

>>max四、梁的切应力强度条件一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则max

所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为

max

FI

zbS

*Smax

z

max对等直梁，有EmaxFmaxEl/2qGCFH

Dlql2/8ql/2ql/2

——材料在横力弯曲时的许用切应力弯曲切应力的强度条件

max

SF

smax

zmaxIzb1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外载荷。需要校核切应力强度的几种特殊情况：梁的跨度较短，M

较小，而Fs

较大时，要校核切应力强度;铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力强度;各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。解：画内力图求

面内力例、矩形截面F

qL

3600

3

5400(N)2

2s

max

qL2

3600

328

8

4050(N.

m)MmaxABq

3.6

kN/mL

3

m求最大应力并校核强度z

(bh=0.12m0.18m）木梁如图，[

]=7

MPa，[

]=0.

9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。ql28l/2Mql

2FS求最大应力并校核强度max6

4050bh2

0.12

0.182W

M

max

6M

maxz

6.25MPa

[

]

7

MPa

0.375MPa

0.9

MPa

[

]应力之比

2A

L

16.7Wz

3Fs

h

max

M

max

maxA

1.5

Fsmaxmax0.12

0.182

1.5

5400s

maxmaxF

5400(N)M

4050(N.

m)ABq

3.6

kN/mL

3

mzql28l/2Mql

2FSq=

30kN/mB60kNA1m5m例：图示梁为工字型截面，已知[]

=

170

MPa，[

]

=

100

MPa试选择工字型梁的型号。解：1、画Fs、M图FAY

=

112.5

kN

；FBY

=

97.5kN2、按正应力确定截面型号

ZW

M

maxmax查表选36c型号I

17300cm4

;b

140

mm;zz

zIzb

b(I

/

S

)SF

F3、切应力校核max

smax

z

smax

2.7(MPa)

[

]4、结论：选36c型号112.5kN52.5kN97.5kNxFsx158

.

4

103

170

10

6M

maxWZ

930

(

cm3

)

29.9

cmzS*Iz158.4kNm112.5M例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块

10010

3000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其[

]=170MPa，[

]=100MPa。试校核该梁的强度。FA

75kNFB

75kN解

1、计算反力得F1F250kN

50kN

50kNCBBAFA1.5

m

1.5m 1.5

m

1.5

m

Fy9.51001032010SF

(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5

150112.5F1F250kN

50kN

50kNCBBAFA1.5

m

1.5m 1.5

m

1.5m

Fy9.510010320102、画内力图得FS,max

75kNmaxM

150kN

m例

跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块

10010

3000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其[

]=170MPa，[

]=100MPa。试校核该梁的强度。MC

112.5kNmAF

75kNBF

75kN32a号

150kN

m

(

320

10

)2

]2

2124100103Iz

11075.510

2[

16522104

mm433ymaxI

16522104

97210

mm(320

/

2)

10Wz

z

154.3MPa

[

]972

103

150

106E

,maxzW

M

maxF1F260kN

50kN

40kNCBAFA

B1.5

m

1.5

m 1.5

m

1.5

m

Fy9.51001032010E正应力强度条件截面一：最大弯矩处M

max32a号3C

,maxCWz

692.210M

112.5106

162.5MPa

[

]切应力强度条件

28.8MPa

[

]9.5

274.675103MC

112.5kN

mC截面，弯矩为SF

(kN)xx75252575112.5

150M(kN·mm)112.5F1F250kN50kN

50kNCBBAFA1.5

m

1.5

m 1.5

m

1.5m

Fy9.51001032010满足强度条件截面二：32a号maxz

zzsmax

zsmax

F

I

b

b(I

/

S

)

F

S例：截面为三块矩形截面组成(胶求：Fmax及此时的max。若截面为一体)的梁,[

]胶=3.4MPa，叠合，max的值又为多大。FZ10050解：1、确定

FsmaxI

bF

Sz

s

z胶

2、确定max

102(MPa)61

1001502

38.3103

1103maxWz

M

max

306.4(MPa)601

100

50261

bh

2

maxM

M

max

38.31060max

3

3W0

zxF

F

xsM3、

叠合时的max-F*11

m

100

150

3

100121 F

(

1

0

0

5

0

50

)

3

.

4maxF

3

8

.

3

(

kN

)例：图示梁上作用有一移动载荷，已知其截面为矩形h/b=3/2，[]=10MPa

，[

]=3MPa，求：b、hF=40kN解：1、按正应力强度确定Wz

M

max

MmaxmaxM

(x)

F(l

x)x

/

l,

M

0x

0.5l

0.5(mm);

max16bh22、按切应力强度确定Izb

AFF

Fsmaxs

max

z

max

1.5s

maxS

max

1.5

F

b

120(mm)bh h

180(mm)maxx1

mF

l

xF

xl

Bz

lA410106maxM

1

Fl

10(kNm)

b

140(mm)h

210(mm)b=140mm；h=210mmsF

(x)

F(1

x

/l),当x

0,

Fsmax

F;Fs1(x)

Fx

/

l,

当

x

l

,

Fs1max

F,例跨度l=4m

的箱形截面简支梁，沿全长受均布载荷q作用，该梁是用四块木板胶合而成。已知材料为红松，许用正应力[σ]=10MPa,许用切应力[τ]=1MPa,

胶合缝的许用切应力[τ’]=0.5MPa。试求该梁的容许载荷集度q之值。y201001001018045

240

45BlAq

ql

2FSql28l/2M解：1、最大弯矩、最大剪力2、由正应力确定

载荷

ql

/

2

2q

kN

ql

2

/

8

2q

kN

mFS,maxMmax(240

2

20)3

14736104

mm4

180

2403

112

12(180

2

45)

Iz33I

14736104

122810

mmWz