高考数学(理科)总复习 44 解三角形课件

考向基础

正弦定理余弦定理内容

=

=

=2R(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=①

a2+b2-2ab·cosC

变形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)a∶b∶c=②

sinA∶sinB∶sinC

;(4)

=③

=④

2R

cosA=

;cosB=

;cosC=

解决的问题(1)已知两角和任意一边,求另一角和其他两

条边;(2)已知⑤

两边和其中一边的对角

,求另

一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知⑥

两边和它们的夹角

,求第三边

和其他两个角考点一

正弦定理和余弦定理考点清单考向基础正弦定理余弦定理内容 = = =2Ra2=b2+c1例1

(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,则AB=

()A.4

B.

C.

D.2

考向一

利用正弦、余弦定理解三角形考向突破解析∵cos

=

,∴cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,又∵BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故选A.答案

A例1

(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos2例2

(2018四川绵阳模拟,17,12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的

对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)·sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.考向二

判断三角形的形状例2

(2018四川绵阳模拟,17,12分)在△ABC3解析(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-

.由于A为三角形的内角,所以A=

.(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,得2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2

=

.又由sinB+sinC=1,解析(1)由已知,结合正弦定理,4得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,解得sinB=sinC=

,因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=

,所以△ABC是等腰三角形.得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,5考向基础1.有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线①上方

的角叫仰角,在

水平线②下方

的角叫俯角(如图a).

考点二

解三角形及其综合应用考向基础考点二

解三角形及其综合应用6(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角

为α(如图b).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c).a.北偏东α°:指北方向③顺时针

旋转α°到达目标方向.b.东北方向:指北偏东45°方向.

(2)方位角7(4)坡角:④坡面

与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角θ为坡角).坡度:坡面的铅直高度与⑤水平宽度

之比叫做坡度(或坡比)(如图d,

i为坡比).

2.三角形的面积公式设△ABC的三边为a,b,c,三边所对的三个角分别为A,B,C,面积为S.(1)S=

ah(h表示边BC上的高).(4)坡角:④坡面

与水平面所成的锐二面角叫坡角(如8(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA.(3)S=

=2R2sinAsinBsinC(R为△ABC外接圆的半径).(4)S=

r(a+b+c)(r为△ABC内切圆的半径).(5)S=

.(2)S= absinC= acsinB= bcsin9例1

(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行

驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后

到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度

CD=

m.

考向一

解三角形在实际问题中的应用考向突破例1

(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条10解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,则此山的高度CD=100

m.答案100

解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,答案100 11例2

(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

△ABC的面积为

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.考向二

与三角形面积有关的问题例2

(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A12解析(1)由题设得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

.故sinBsinC=

.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由题设得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周长为3+

.解析(1)由题设得 acsinB= ,即 csinB=13方法1

利用正弦、余弦定理解三角形在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及

=

=

,可先求出角C,再求出b、c.2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理

求出角B、C.3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由

=

可求出另一边b的对方法技巧方法技巧14角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由

=

可求出c,而通过

=

求B时,可能有一解、两解或无解的情况,其判断方法如下表:

A>

A=

A<

a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由 = 可求出c,而通15例1

(2017课标Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2

.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解题导引

(1)

(2)

例1

(2017课标Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A16解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2

,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=

.(2)由cosB=

得sinB=

,故S△ABC=

acsinB=

ac.又S△ABC=2,则ac=

.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×

×

=4.所以b=2.解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2 17方法2

利用正弦、余弦定理判断三角形的形状要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已

知条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通

过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角

函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形

的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一

种形状的可能.方法2

利用正弦、余弦定理判断三角形的形状18例2

(2018山西太原五中模拟,8)在△ABC中,

=sin2

(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为

()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解题导引

例2

(2018山西太原五中模拟,8)在△ABC中, 19解析由cosB=1-2sin2

得sin2

=

,∴

=

,即cosB=

.解法一:由余弦定理得

=

,即a2+c2-b2=2a2,∴a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等,故选A.解法二:由正弦定理得cosB=

,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,

∴cosC=0,又角C为三角形的内角,∴C=

,∴△ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等,故选A.答案

A解析由cosB=1-2sin2 得sin2 = ,∴ =20方法3

与面积、范围有关的问题1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;二是给出

三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形面积公式S=

absinC,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正

弦定理、余弦定理综合起来求解.2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有

关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角

形边角取值范围等求解即可.方法3

与面积、范围有关的问题21例3

(2018河南信阳二模,17)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,

且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)设a=

,S为△ABC的面积,求S+

cosBcosC的最大值.解题导引

(1)

(2)

例3

(2018河南信阳二模,17)已知a,b,c分别22解析(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,∴根据正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.∴由余弦定理,得cosA=

=-

.又A∈(0,π),所以A=

π.(2)根据a=

,A=

π及正弦定理可得

=

=

=

=2,∴b=2sinB,c=2sinC.∴S=

bcsinA=

×2sinB×2sinC×

=

sinBsinC.∴S+

cosBcosC=

sinBsinC+

cosBcosC=

cos(B-C).故当

即B=C=

时,S+

cosBcosC取得最大值

.解析(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sin23继续努力继续努力再见再见考向基础

正弦定理余弦定理内容

=

=

=2R(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=①

a2+b2-2ab·cosC

变形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)a∶b∶c=②

sinA∶sinB∶sinC

;(4)

=③

=④

2R

cosA=

;cosB=

;cosC=

解决的问题(1)已知两角和任意一边,求另一角和其他两

条边;(2)已知⑤

两边和其中一边的对角

,求另

一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知⑥

两边和它们的夹角

,求第三边

和其他两个角考点一

正弦定理和余弦定理考点清单考向基础正弦定理余弦定理内容 = = =2Ra2=b2+c26例1

(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,则AB=

()A.4

B.

C.

D.2

考向一

利用正弦、余弦定理解三角形考向突破解析∵cos

=

,∴cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,又∵BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故选A.答案

A例1

(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos27例2

(2018四川绵阳模拟,17,12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的

对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)·sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.考向二

判断三角形的形状例2

(2018四川绵阳模拟,17,12分)在△ABC28解析(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-

.由于A为三角形的内角,所以A=

.(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,得2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2

=

.又由sinB+sinC=1,解析(1)由已知,结合正弦定理,29得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,解得sinB=sinC=

,因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=

,所以△ABC是等腰三角形.得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,30考向基础1.有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线①上方

的角叫仰角,在

水平线②下方

的角叫俯角(如图a).

考点二

解三角形及其综合应用考向基础考点二

解三角形及其综合应用31(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角

为α(如图b).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c).a.北偏东α°:指北方向③顺时针

旋转α°到达目标方向.b.东北方向:指北偏东45°方向.

(2)方位角32(4)坡角:④坡面

与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角θ为坡角).坡度:坡面的铅直高度与⑤水平宽度

之比叫做坡度(或坡比)(如图d,

i为坡比).

2.三角形的面积公式设△ABC的三边为a,b,c,三边所对的三个角分别为A,B,C,面积为S.(1)S=

ah(h表示边BC上的高).(4)坡角:④坡面

与水平面所成的锐二面角叫坡角(如33(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA.(3)S=

=2R2sinAsinBsinC(R为△ABC外接圆的半径).(4)S=

r(a+b+c)(r为△ABC内切圆的半径).(5)S=

.(2)S= absinC= acsinB= bcsin34例1

(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行

驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后

到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度

CD=

m.

考向一

解三角形在实际问题中的应用考向突破例1

(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条35解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,则此山的高度CD=100

m.答案100

解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,答案100 36例2

(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

△ABC的面积为

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.考向二

与三角形面积有关的问题例2

(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A37解析(1)由题设得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

.故sinBsinC=

.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由题设得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周长为3+

.解析(1)由题设得 acsinB= ,即 csinB=38方法1

利用正弦、余弦定理解三角形在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及

=

=

,可先求出角C,再求出b、c.2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理

求出角B、C.3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由

=

可求出另一边b的对方法技巧方法技巧39角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由

=

可求出c,而通过

=

求B时,可能有一解、两解或无解的情况,其判断方法如下表:

A>

A=

A<

a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由 = 可求出c,而通40例1

(2017课标Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2

.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解题导引

(1)

(2)

例1

(2017课标Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A41解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2

,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=

.(2)由cosB=

得sinB=

,故S△ABC=

acsinB=

ac.又S△ABC=2,则ac=

.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×

×

=4.所以b=2.解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2 42方法2

利用正弦、余弦定理判断三角形的形状要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已

知条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通

过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角

函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形

的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一

种形状的可能.方法2

利用正弦、余弦定理判断三角形的形状43例2

(2018山西太原五中模拟,8)在△ABC中,

=sin2

(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为

()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解题导引

例2

(2018山西太原五中模拟,8)在△ABC中, 44解析由cosB=1-2sin2

得sin2

=

,∴

=

,即cosB=

.解法一:由余弦定理得

=

,即a2+c2-b2=2a2,∴a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形,又无法判断两直角