第二篇 专题五 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题

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利用双曲线的定义可知轨迹方程(2) 分别求出|TA|·|TB|，|TP|·|TQ|的表达式，由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|化简可得斜率之和．【规范解答】(1)因为|MF1|－|MF2|＝2，所以轨迹C为双曲线右半支，2分c2＝17，2a＝2，所以a2＝1，b2＝16，所以C的方程为x2－eq\f(y2,16)＝1(x＞0).4分易错点没有判断出是双曲线的右支障碍点 不能利用双曲线定义判定曲线轨迹学科素养 逻辑推理、数学运算，直观想象评分细则 判断出是双曲线右支得2分，只判断出双曲线没有说明为双曲线的右支扣1分。(2)设Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))，设AB：y－n＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－n＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))),x2－\f(y2,16)＝1))，所以(16－keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))x2＋(keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2k1n)x－eq\f(1,4)keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－n2＋k1n－16＝0，6分所以x1＋x2＝eq\f(keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2k1n,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16)，x1x2＝eq\f(\f(1,4)keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋n2－k1n＋16,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16)，|TA|＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))，|TB|＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)))，8分所以|TA|·|TB|＝(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)))＝eq\f(（n2＋12）（1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))）,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16)，设PQ：y－n＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，同理|TP|·|TQ|＝eq\f(（n2＋12）（1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))）,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－16)， 10分因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq\f(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16)＝eq\f(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－16)，1＋eq\f(17,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16)＝1＋eq\f(17,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－16)，所以keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－16＝keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－16，即keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，因为k1≠k2，所以k1＋k2＝0.12分易错点化简|TA|·|TB|，|TP|·|TQ|出错障碍点误认为直接求两直线斜率，导致无法完成学科素养逻辑推理、数学运算、直观想象评分细则未说明直线AB斜率不存在情况扣1分，|TA|·|TB|表达式化简正确得2分．求定值问题常见的方法(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2021·南京一模)设F为椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：eq\f(k1,k2)为定值．【解析】(1)若B为椭圆的上顶点，则B(0，1).又AB过点(2，0)，故直线AB：x＋2y－2＝0.代入椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，可得3y2－4y＋1＝0，解得y1＝1，y2＝eq\f(1,3)，即点A(eq\f(4,3)，eq\f(1,3))，从而直线AF：y＝x－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法一：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2).故k1＋k2＝eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)＝eq\f(y1,ty1＋1)＋eq\f(y2,ty2＋1)＝eq\f(2ty1y2＋（y1＋y2）,（ty1＋1）（ty2＋1）)＝eq\f(2t·\f(2,t2＋2)＋\f(－4t,t2＋2),（ty1＋1）（ty2＋1）)＝0.又k1，k2均不为0，故eq\f(k1,k2)＝－1，即eq\f(k1,k2)为定值－1.方法二：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2).所以eq\f(y1y2,y1＋y2)＝－eq\f(1,2t)，即ty1y2＝－eq\f(y1＋y2,2)，所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y1,x1－1),\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1（x2－1）,y2（x1－1）)＝eq\f(y1（ty2＋1）,y2（ty1＋1）)＝eq\f(ty1y2＋y1,ty1y2＋y2)＝eq\f(－\f(y1＋y2,2)＋y1,－\f(y1＋y2,2)＋y2)＝－1，即eq\f(k1,k2)为定值－1.方法三：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2)，所以