大二文件-复变函数-第一章雅

第一章

复数与复变函数第一节复数及其代数运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与第四节区域第五节复变函数第六节复变函数的极限和连续性第一节

复数及其代数运算一、复数的概念虚数单位:实例:方程x2

1在实数集中无解.为了解方程的需要,引入一个新数i,称为虚数单位.对虚数单位的规定:i2

1;i

可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.i1

i;

i

2

1;

i

3

i

i

2

i;

i4

i

2

i

2

1;一般地，如果n是正整数,则i4n1

i,i4n

1,

i4n2

1,i4n

3

i.2.复数:对于任意两实数其中x,

y

分别称为z

的实部和虚部,记作

x

Re(z),

y

Im(z).当x

0,

y

0

时,

z

iy

称为纯虚数;当

y

0

时,

z

x

i,

把它看作实数x.实数m取何值时,

复数(m2

3m

4)

(m2

5m

6)i是(1)实数;

(2)纯虚数.例1解(1)m

6或m

1.(2)m

4.两复数相等它们的实部和虚部分别相等.z

等于0

它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.观察复数i

和0,

由复数的定义可知

i

0,(1)

若

i

0,

则i

i

0

i,

即

若

i

0),

则i

i

0

i,

同样有

由此可见,在复数中无法定义大小关系..,1二、复数的代数运算设两复数z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,1.

两复数的和:z1

z2

(

x1

x2

)

i(

y1

y2

).z1

z2

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

).2.

两复数的积:3.

两复数的商:z1

x1

x2

y1

y2

i

x2

y1

x1

y2

.x

2

y

2

x

2

y

22

2

2

22z

例2

设z1

,z2是复数，证明z1

z2

0的充分必要条件是z1

,z2中至少有一个为0.证明：充分性显然,只证必要性.假设z2

0,21 2

z

z

z

1

0.221 1

zz则z

z(1)

z1

z2

z1

z2

;

z1

z2

z1

z2

;;1

1z2

z2

z

zz

z;z

z

Re(z)2

Im(z)2;共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.与z

共轭的复数记为z

,若

z

x

iy,

则

z

x

iy.共轭复数的性质:结论：两个共轭复数z,z

的积是一个实数.(4)

z

z

2

Re(z),

z

z

2i

Im(

z).

Re(z)

z

z

,

Im(

z)

z

z2

2iz2

z2z1

z2,

z1

z z

z

z2

1

z(2)

.1

i

i

1

i

7

i

1

i

(1)

1

i

;解(1)1

i1

i

(1

i)2(1

i)(1

i)2

(1

i)2

i,

1

i

1

i

7

(i)7

i.

(1

i)2(1

i)ii

1

i

i

2(2)

1

i

i

1

2i1

i

(1

2i)(1

i)

3

1

i.2

2

2

例3

将a(x2

y2

)

bx

cy

d

0化为复数形式的方程.解：azz

bRe(z)

c

Im(z)

d

0.例4

将下列复数表示为x

iy

的形式.例5.i

11

i

i

2i计算解(1

i)(i

1)

i(i

2)(i

1)ii

11

i

i

2

i

i

2i

2

1

3i2i

2

1

i

2

i(2

i)(2

i)

(1

3i)(2

i)(2)2

i

2

2

i

6i

3i

2

1

i.例6设z1

5

5i,z2

3

4i,121

2

zz

z

与

.z求解z1

5

5iz2

3

4i(3

4i)(3

4i)

(5

5i)(3

4i)

(15

20)

(15

20)i

7

1

i.25

5

51

z2

5

5

z

7

1

i.例7

设

z

1

3i

,

求Re(z),

Im(z)

与z

z

.i

1

ii

1

i3i(1

i)i

i

(1

i)(1

i)解

z

1

3i

i

3

1

i,2

2Re(z)

3

,

Im(z)

1

,2

21

2

2

3

2

z

z

Re(z)2

Im(z)2

2

25

.设两复数z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,证明z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).证

z1

z2

z1

z2

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

2(

x1

x2

y1

y2

)

2Re(z1

z2

).

例8或z1

z2

z1

z2

z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).例9化简(1)

5

12i

;

(2)

i

i

.解(1)5

12i

x

iy,5

12i

(

x2

y2

)

2xyi,2

xy

12x2

y2

5,

x

3,

y

2,

5

12i

(3

2i).(2)

i

x

yi,2

2

i

1

1

i

,2

2

i

1

1

i

,i

i

2.2

xy

1

x2

y2

0,

1

x

y

,2例10的根，则z0也是，即实系数多项式的零点成对出现.证明：若z

是实系数方程a

zn

a0

n

n1zn1

a

z

a

01

0n

n1由于系数是实数，得an

z0

an1

z0

a1

z0即z0也是方程的根.

a0

0

a1

z0

a0

0，n

n1n1 0

a z

a1

z0

a0

0，n1即a zn

n1n

0 n1 0

a z

a1z0

a0

0,从而a zn

0证明：由条件知a zn

0

a zn1 0n一、复平面1.

复平面的定义复数

z

x

iy

与有序实数对(

x,

y)

成一一对应.

因此,

一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数,

通常把横轴叫实轴或x

轴,

纵轴叫虚轴或

y

轴.

这种用来表示复数的平面叫复平面.复数z

x

iy

可以用复平面上的点(x,y)表示.xyxyoz

x

iy

(

x,

y)第二节复数的几何表示2.

复数的模(或绝对值)复数z

x

iy

可以用复平面上的向量OP

表示,向量的长度称为z

的模或绝对值,xyxyoPz

x

iyr记为z

r

x2

y2

.显然下列各式成立x

z

,

y

z

,更常用的形式：|

Re(z)||

z

|,|

Im(z)||z

|,|

z

|

Re(z)

Im(

z)

,|

z

|2

|

Re(z)

|2

|

Im(

z)

|22z

,

z1

z1

z22z

|

z

|2zz z

z

|

z

|2z

x

y

,

z

z

z

2

z2

.

1

3.

复数的辐角在z

0

的情况下,以正实轴为始边,以表示Argz

.z

的向量OP

为终边的角的弧度数

称为z

的辐角,记作说明任何一个复数z

0有无穷多个辐角,如果1

是其中一个辐角,Argz

1

2kπ(k为任意整数).特殊地,

当z

0

时,

z

0,那么z

的全部辐角为规定辐角不确定.辐角主值的定义:π

0

π称为Argz

的主值,记作

0

arg

z.的0在z

(

0)的辐角中,把满足x

0,x

0,

y

0,(其中

arctan

y

)2

x

2arg

z

arctanx

0,

y

0,x

0,

y

0.z

0

辐角的主值

arctan

x

,y2

π

,π

,yxπ

,4.

利用平行四边形法求复数的和差xyoz1z221z

zxyoz1z2z1

z2

z2两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.(1)

z1

z2

z1

z2;5.

复数和差的模的性质因为

z1

z2

表示点z1

和z2

之间的距离,

故z12zz1

z2xyo1z2z(2)

z1

z2

z1

z2

.一对共轭复数z

和z在复平面内的位置是关于实轴对称的.xyo

z

x

iy

z

x

iy利用直角坐标与极坐标的关系

y

r

sin

,

x

r

cos

,复数可以表示成z

r(cos

i

sin

)复数的三角表示式再利用公式ei

cos

i

sin

,复数可以表示成z

rei复数的指数表示式6.复数的三角表示和指数表示例1

将下列复数化为三角表示式与指数表示式:5

5

(1)

z

12

2i;

(2)

z

sin

i

cos

;(cos5

i

sin

5

)2(3)

z

.(cos

3

i

sin

3

)3解(1)

r

z

12

4

4,

因为z

在第三象限,12

2所以

arctan

π

arctan363

5

,66

故三角表示式为z

4cos

5

i

sin

5

,.65i指数表示式为z

4e(2)

z

sin

i

cos

5

5显然r

z

1,

2 5

5sin

cos

2 5

10

510

cos

3,cos

sin

sin

3

,10

10故三角表示式为z

cos

3

i

sin

3,.3i指数表示式为z

e10(cos

5

i

sin

5

)2(3)

z

.(cos

3

i

sin

3

)35i因为

cos

5

i

sin

5

e

,cos

3

i

sin

3

cos(3

)

i

sin(

3

)

e3i

,(cos5

i

sin

5

)2(cos

3

i

sin

3

)3所以(e5i

)2(e3i

)3

e19i

,故三角表示式z

cos19

i

sin19

,指数表示式z

e19i

.例2三角表示式与指数表示式,并求z

的辐角的主值.把复数z

1

cos

i

sin

,0

π

化为cos

2

2

2i

sin

22

解z

1

cos

i

sin

2sin

22

2

2sin

sin

i

cos

222

2sin

cosπ

i

sinπ

(三角式).

(指数式)2

2sin2eπ

i.2π

arg

z

解

cos

1其中

ei

.例3

求复数z

cos

1

的实部和虚部,z

cos

1

cos

cos

1

i

sin

cos

cos

1

cos

cos

1

i

sin

cos

(cos

cos

)2

1

(sin

cos

)2

2i

sin

cos

(cos

cos

1)2

(sin

cos

)2i.2cos

cos

1

(cos

)2

2cos

cos

1

(cos

)2

(sin

)2

2sin

cos

Re

z

Im

z

例4

设

z1

,

z2

为两个任意复数,

证明:(1)

z1z2

z1

z2

; (2)

z1

z2

z1

z2

.证

(1)

z1z2

(z1z2

)(z1z2

)

(z1z2

)(z1z2

)

(z1z1

)(z2

z2

)

z1

z2

.21(2)

z

z22

(z

z

)(z1

2

11

2

1

2

z

)

(z

z

)(z

z

)1

21

22

z

z

z

z22

z1z1

z2

z2

z1z2

z1z2

z1

z21z

z222

z12

z1

22Re(z

z

)1

221

z

2

z

2

2

z

z1

2

z

2

z

2

2

z

z1

221

(

z

z

)2

,因为z1z2

z1z2

2

Re(z1z2

),两边同时开方得z1

z2

z1

z2

.例5

证明

三个复数z1点的充要条件是z1z2

,z,3:成为等边三角形顶证

z1z2

z3是等边三角形的充要条件为:向量

z

z

绕

z

旋转

或

即得向量z

z

,1

2

1

3

3

1

3z1z2z3i即z3

z1

(

z2

z1

)e

3

,

或

i,

3 1

z

z

1

3z2

z1

2

2z3

z1

1

3

i,z2

z1

2

2两边平方,并化简得z

2

z

2

z

2

z

z1

2

3

1

22

33

1

z

z

z z

.很多平面图形能用复形式的方程或不等式来表示;也可由给定的复形式的方程或不等式确定它所表示的平面图形.

例6

将通过两点z1

x1

iy1

与z2

x2

iy2

的直线用复数形式的方程来表示.解通过两点(x1

,y1

)与(x2

,y2

)的直线的方程

x

x1

t(

x2

x1

)1

2

1

y

y

t(

y

y

)参数t

(,

),所以它的复数形式的参数方程为z

z1

t(z2

z1

)参数t

(,

),故,由z1

到z2

的直线段的参数方程为0

t

1z

z1

t(z2

z1

)21若取t

,得线段z1z2

的中点坐标为.221z

zz

例7

求下列方程所表示的曲线:(1)

z

i

2;

(2)

z

2i

z

2;(3)

Im(i

z

)

4.解(1)

方程

z

i

2

表示所有与点

i

距离为2的点的轨迹.即表示中心为

i,半径为2

的圆.设

z

x

iy,

x

(

y

1)i

2,x2

(y

1)2

2,

圆方程x2

(y

1)2

4.思考：z

i

2;

z

i

2; 0

z

i

2;

z

i

2(2)

z

2i

z

2表示所有与点2i和

2距离相等的点的轨迹.故方程表示的曲线就是连接点2i和

2的线段的垂直平分线.设z

x

iy,x

yi

2i

x

yi

2,化简后得y

x.(3)

Im(

i

z

)

4i

z

x

(1

y)i,设z

x

iy,Im(

i

z

)

1

y

4,所求曲线方程为y

3.例81

k

21

k

2z

平面上的一个圆周,其圆心为z0

,半径为

.且

k

(0

k

1,z1

z2

)表示z

k

2

z k

z

zz0

1 2

,

1 2

.2z

z证明方程z

z1证

圆周

z

z0

,

将z0

和

代入,z

z

k

2

(z

z

)1

2211

k

2

1

k

2k

z

zz

z

k

2

(z

z

)

k

z

z

,1

2

1

22两边同除以z

z

,

1,2

k

22z

z

k

z

z1z

zz

z1令w

z

z1

,z

z2两边同时平方,w

k

2

k

w

1,w

k

2

2

k

2

w

12

,于是w

2

k

2

,w

k,

故

k.z

z1z

z2二、复球面通过S

作垂直于复平面的

直线与球面相交于另一点N

,称

为北极

SN为南极.

,xyP1.

南极、北极的定义取一个与复平面切于原点z

0的球面,球面上一点S

与原点重合,NS

O2.

复球面的定义球面上的点,除去北极

N

外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.可以用球面上的点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.3.

扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,

记作

.

因而球面上的北极

N

就是复数无穷大的几何表示.关于的四则运算规定如下:(

)(

)(

0)(1)

加法:

,(2)

减法:

,(3)

乘法:

,0

,(

0)(4)

除法:

0,

,

(

),注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．任何一个半平面没有无穷远点.思考：是否任意复数都有辐角?一、乘积与商定理一

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证

设复数z1和z2的三角形式分别为z1

r1

(cos1

i

sin1）,z2

r2

(cos2

i

sin2）,则z1

z2

r1

(cos1

i

sin1

)

r2

(cos2

i

sin2

)

r1

r2[(cos1

cos2

sin1

sin2

)

i(sin1

cos2

cos1

sin2

)]z1

z2

r1

r2[cos(1

2

)

i

sin(1

2

)]第三节复数的乘幂与Arg(z1z2

)

Argz1

Argz2

.[证毕]2从几何上看,

两复数对应的向量分别为

z1

,

z2

,2旋转一个角

,

再把它的模扩大到r

倍,先把z1

按逆时针方向oxyr2rr12z1zz所得向量z

就表示积z1

z2

.两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.设复数z1和z2的指数形式分别为1.1

2i

(

)则

z

z

r

r

e22

2i

i,

z

r

e

,kk

k

k

k

k)

r

e

,

(k

1,2,,

n)i1

2

1

2

i

sin

r

(cosz1

r1e推广:

设

zz1

z2

zn

r1

r2

rn[cos(1

2

n

)

i

sin(1

2

n

)]1

2

ni

(

)

r1

r2

rne

.说明由于辐角的多值性,Arg(z1z2

)

Argz1

Argz2两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，设

z1

1,

z2

i,则z1

z2

i,(n

0,

1,

2,),(m

0,

1,

2,),Argz1

2n,22Argz

2m,21

2Arg(z

z

)

π

2kπ,2(k

0,

1,

2,),

2k,

只须k

m

n

1.故3

2(m

n)

2若

k

1,

则m

0,n

2

或m

2,n

0.两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.定理二证1按照商的定义,

当z

0

时,1z

,122zzz

z1

2z2

z1

z

z

z1

, Argz2

Arg

2

Argz1

,1

1z

z

z2

,于是z22

1

Argz

.z

1

Arg

z2

Argz设复数z1和z2的指数形式分别为1z1

r1,222i

i

则z2

r2

ei

(2

1

).z1

r1e

,

z

r

e[证毕]

例13

323i

),

z

sin

i

cos

,1已知

z

1

(1

1

3

3

解

因为

z

cos

i

sin

,2

6

6

z

cos

i

sin

,

6

3

6

31

2所以

z

z

cos

i

sin

i,

3

66

3

i

sin

cos

21zz

3

1

i.2

2.211

2zz2求

z

z

和复数乘积与商的运算，在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便解已知正三角形的两个顶点为z1

1

和z2

2

i,或(z3

).到另一个向量,它的终点即为所求顶点z3

求它的另一个顶点.,将表示z2

z1

的向量绕z1

旋转3

(或

3)就得

例2x1oz

1z2

2

iyz33z33i因为复数e

3

的模为1,

转角为

,3

1

1i33

1z

z

e

(z2

z

)

3

1

3

i

2

2

2

2

i

(1

i)

1

2

223

1

23所以

z

3

2

3

i.3

1

233

i,

z

3

二、幂与根1.

n次幂:n

个相同复数z

的乘积称为z

的n

次幂,记作zn

,zn

z

z

z

.n个对于任何正整数n,

有

zn

rn

(cos

n

i

n

).s那么当n,

为负整数时,

上式仍成立.zn如果

定义zn

12.棣莫佛公式当z

的模r

1,即z

cos

i

sin

,(cos

i

sin

)n

cos

n

i

sin

n

.3.方程wn

z

的根w,其中z

为已知复数.

n

n

i

sinw

n

z

r

n

cos1

2kπ

2kπ(k

0,1,2,,

n

1)从几何上看,

n

z

的n

个值就是以原点为中心,1r

n

为半径的圆的内接正n

边形的n

个顶点.

例3

化简解

1

i

n

.2

1

i

2

12

442cos

i

sin

2

1

i

2

11

i

2

4

4

2cos

i

sin

n

i

sin2)n

cos原式=(4 4

n

n

4

4

(

2)

cos

i

sin

4

4

4

(

2)n

cos

n

i

sin

n

cos

n

i

sin

n.42

4

2

cosnn2例4

计算3

1

i

的值.解

1

i

2

1

i

2

12

4

4

2cos

i

sin

31

i

i

sin34

2k34

2

cos6

2k(k

0,1,2).,12

6012

i

sin

2

cos

w

12

1272

cos617w

.4

i

sin452

cos62

i

sin

,

w

5即

例5

计算4

1

i

的值.

4

4解

1

i

2cos

i

sin

44

2k

i

sin

4

2k4

1

i

8

2cos

416162

cos80

i

sin

,即

w

16

1692

cos819

i

sin

,w

2

cos821717w

16 16

16.16

i

sin252

cos8325

i

sin

,

w

这四个根是内接于中心在原点半径为8

2

的圆的正方形的四个顶点.oxyw1w2w3(k

0,1,2,3).w0

例6

解方程

(1

z)5

(1

z)5

.解

直接验证可知方程的根z

1,故原方程可写成

1

z

1,

1

z

51

z令

w

,1

z则w5

1,5

w

e

,

k

0,1,2,3,4.2ki故

w

1,0

12iw

e

5

,24iw

e

5

,6iw3

e

5

,8iw4

e

5

.w

1

1因为

z

w

1

eieicos

i

sin

1

1

cos

i

sin

1

i

tan

2

,50

1故原方程的根为

z

0,

z

i

tan

,552

3z

i

tan

2

,

z

i

tan

3

,54z

i

tan

4.例7

若n

为自然数,且xn

iyn

(1

i求证:

x

y

x

y

4n1

3.n1

n

n

n13)n

,证nn

i

sin3

3x

3)n

2n

cos3

23cos

i

sinn

nn利用复数相等可知:3x

2n

cos

n,n,n3y

2

sinnnxn1

yn

xn

yn1

2n1

cos(n

1)

2n

sin

n

2n

cos

n

2n1

sin

(n

1)3

3

3

33

3

22n1

sinn

(n

1)

22n1

233.

4n1等式得证.一、区域的概念1.

邻域:

平面上以z0

为中心

,(任意的正数)为半径的点的集合称为z0

的邻域.的圆:

z

z0

第四节

区

域说明

包括无穷远点自身在内且满足

z

M

的所有点的集合

其中实数M

0,

称,

为无穷远点的邻域.2.去心邻域:

称由不等式0

z

z0

所确定的点的集合为z0

的去心邻域.说明

不包括无穷远点自身在内,

仅满足

z

M的所有点的集合,

称为无穷远点的去心邻域.

可以表示为M

z

.3.内点:设G

为一平面点集,z0

为G

中任意一点.如果存在z0

的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,那末z0

称为G

的内点.开集:如果G

内每一点都是它的内点,那末G

称为开集.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)

D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P

不属于D,但在P

的任意小的邻域内总有D中的点,这样的

P

点为D的边界点.

D的所有边界点组成D的边界.称说明(1)

区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.

zzC1C2C3以上基本概念的图示z12z区域z0邻域

P边界点(2)

区域D与它的边界一起构成闭区域D.边界7.有界区域和

区域:如果一个区域

D

可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,

即存在

M

0,

使区域的每一个点都满足

z

M

,那末

D

称为有界的,

否则称为

的.(1)

圆环域:r1

z

z02

r

;z0r2r1课堂练习判断下列区域是否有界?(2)

上半平面:Im

z

0;角形域:

0

ar带形域:

a

Im

z

b.答案(1)有界; (2)

(3)(4).xyo二、单连通域与多连通域连续曲线:如果x(t

)和y(t

)是两个连续的实变函数,那末方程组x

x(t

),y

y(t

),(a

t

b)代表一条平面曲线,称为连续曲线.平面曲线的复数表示:z

z(t

)

x(t

)

iy(t

).(a

t

b)光滑曲线:如果在a

t

b

上,x(t

)和y(t

)都是连续的,且对于t

的每一个值,有[x(t

)]2

[y(t

)]2

0,那末称这曲线为光滑的.由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.xoxy

yo3.

简单曲线:设C z

z

t a

t

b)

为()(一:分别称为C

的起点和终点.条连续曲线,

z

a

与z

b)对于满足a

t1

b,

a

t2

b的t1

与t2

,当t1

t2而有z(t1

)

z(t2

)时,点z(t1

)称为曲线C的重点.没有重点的曲线

C

称为简单曲线(或

曲线).如果简单曲线C

的起点和终点重合,

即() ()

,

zzab那末称C

为简单闭曲线.换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.xyo外部边界课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案单闭简单z(a)

z(a)

z(b)简不闭不简单闭不简单不闭

z(b)

z(a)

z(b)z(a)

z(b)4.

单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域指明下列不等式所确定的区域,是有界的还的,单连通的还是多连通的.

例1是3

z(1)

Re(z2

)

1;

(2)

arg

z

;

(3)

1

3;(4)

z

1

z

1

4; (5)

z

1

z

1

1.(1)当z

x

iy

时,解Re(z2

)

x2

y2

,Re(z2

)

1

x2

y2

1,的单连通域(如图).(2)

arg

z

arg

z

33

arg

z

,33

是角形域,的单连通域(如图).(4)

z

1

z

1

4表示到1,

–1的距离之和z

1

z

1

4为定值4的点的轨迹,

是椭圆,zz

4表11示该椭圆有界的单连通域.(3)

1

3z1

3

z

1

,z

3的圆的外部,是以原点为中心,半径为13的多连通域.

1

)3

4x2

y2(椭圆:

(5)

z

1

z

1

1令z

r

cos

ir

sin

,边界

z

1

z

1

1

[(r

cos

1)2

r

2

sin2

][(r

cos

1)2

r

2

sin2

]

1(r

2

2r

cos

1)(r

2

2r

cos

1)

1(r

2

1)2

4(r

cos

)2

1

r

,或r

2

r

2

2cos

2

是双叶玫瑰线(也称双纽线),zz

是

其

1有界的单连通域.例2解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,是单连通域还是多连通域?(1)

Im

z

3,是一条平行于实轴的直线,不是区域.(2)

Re

z

2,以Re

z

2

为左界的半平面

(不包括直线Re

z

2),单连通域.-3

-2

-11

2

3xy654321(3)

0

z

1

i

2,以

(1

i)为圆心,2为半径的去心圆盘,是多连通域.(4)

arg(z

i)

,4以i

为端点,斜率为1的半射线(不包括端点i

),不是区域.(5)

0

arg

z

i

,z

i

4当z

x

iy

时,z

i

x2

y2

1z

i

x2

(

y

1)2

2

x

i

,x2

(

y

1)2由0

arg

z

i

知z

i

40,x2

(

y

1)2x2

y2

10,x2

(

y

1)2

2

x因为x2

(y

1)2

0,x2

y2

1

0,

2

x

0,于是

2

x

x2

y2

1, (

x

x

0,22

1)

y

2.22x

y

1,表示在圆(x

1)2

y2

2的外部且属于左半平面的点集,单连通域.一、复变函数的定义复变函数的定义:设G

是一个复数z

x

iy

的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则对于集合G,中的每一个复数z,就有一个或几个复数w

u

iv

与之对应,那末称复变数w

是复变数

z

的函数(简称复变函数),记作

fw(z).单(多)值函数的定义:如果z

的一个值对应着一个w

的值,

那末

称函数

f

(z)是单值的.如果z

的一个值对应着两个或两个以上w

的值,那末

称函数

f

(z)

是多值的.第五节复变函数定义集合和函数值集合:集合G

称为f

(z)的定义集合(定义域);对应于G

中所有z

的一切w

值所成的集合G*,称为函数值集合.复变函数与自变量之间的关系:复变函数w

与自变量

z

之间的关系w

f

(z)相当于两个关系式:

u

u(

x,

y),

v

v(

x,

y),它们确定了自变量为x

和y

的两个二元实变函数.例如,

函数

w

z2

,

令

z

x

iy,

w

u

iv,则u

iv