机械可靠性设计

基于鞍点估计的机械零部件可靠性灵敏度分析摘要对机械结构来说，可靠性指标一般随材料特性、几何参数、工作环境等不确定性因素变化而减弱，所以结构的可靠度、灵敏度就显得尤为重要，对机械零部件可靠性灵敏度的分析也是亟不可待。本文利用鞍点估计技术可以无限逼近非正态变量空间中线性极限状态函数概率分布的特点，能有效解决统计资料或实验数据较少而难以确定设计变量的分布规律的问题。将可靠性设计理论、灵敏度分析技术与鞍点逼近理论相结合，以前面可靠性数学模型为基础，系统地推导了基于鞍点估计的可靠性灵敏度公式，讨论了基于鞍点估计法的机械零部件可靠性灵敏度计算问题，为进一步分析机械零部件的可靠性稳健设计奠定了理论基础。关键词：不确定性鞍点灵敏度可靠性第一章绪论机械可靠性设计理论研究进展很早以来人们就广泛采用“可靠性”这一概念来定性评价产品的质量问题，这只是靠人们的经验评定产品可靠还是不可靠，并没有一个量的标准来衡量；从基于概率论的随机可靠性到基于模糊理论的模糊可靠性再到非概率可靠性以及最近提出的结构系统概率-模糊-非概率混合可靠性，表明定量衡量产品质量问题的理论方法从产生到现在已有了长足的发展;对于复杂结构的复杂参数由单纯的概率非概率可靠性分析方法发展到可靠性灵敏度分析的各种分析方法，使得这一理论日续丰富和完善，并深入渗透到各个学科和领域。可靠性当今已成为产品效能的决定因素之一，作为一个与国民经济和国防科技密切相关的科学，未来的科技发展中也必将得到广泛的研究和应用。20世纪初期把概率论及数理统计学应用于结构安全度分析，已标志着结构可靠性理论研究的初步开始。20世纪40年代以来，机械可靠性设计理论有了长足的发展，目前为止己经相当成熟，尤其是许多国家开始研究在结构设计规范中的应用，使机械可靠性设计理论的应用进入一个新的时期。机械可靠性设计理论研究现状在实际工程中，不确定因素的存在在所难免，可靠性分析与这些不确定性紧密相关。在过去的几十年中，概率论在各种工业系统的可靠性评估方面获得了巨大的成功，概率可靠性方法成为处理不确定性的最为普遍的方法。但随着科学技术的发展，人们逐渐认识到，除了随机性以外，在工程中还存在着另一类重要信息一一模糊信息。所以传统的可靠性方法就是用概率论和模糊理论处理不确定性，但概率可靠性和模糊可靠性模型都需要用较多的数据去定义参数的概率分布或隶属函数，a计算量较大。近年来的有关研究⑴表明，概率可靠性对概率模型参数很敏感,概率数据的小误差可导致结构可靠性计算出现较大误差②，说明在没有足够的数据信息描述概率模型时，在主观的假设下概率可靠性计算的结果是不可靠的3］。模糊性和随机性是不同的两类不确定性，其产牛机理和物理意义均有一定差异，在机械和结构系统的分析和设计中，由于各种因素的影响，常不可避免地同时存在随机的和模糊的不确定性⑷。此时，必须同时考虑随机性和模糊性。对此问题，常用的方法是依据Zadeh提出的模糊概率计算公式⑸，综合考虑功能状态变量的随机分布和模糊隶属情况，给出一确定的失效概率或可靠度值。Ben-Haim首先提出了不用概率定义即非概率的可靠性概念。对于不确定信息的描述，不采用随机变量，不用极限状态函数和概率密度函数，而采用凸集合模型描述，经过分析可得到输出（或响应）的变化范围，将此变化范围与要求的变化范围比较即可得到安全程度的度量指标。非概率可靠性提出后引起了很多人关注。郭书样等⑹基于区间分析，提出一种非概率可靠性度量指标，来衡量不确定参数为区间变量时系统的安全性，并将其用于结构优化，但对于其它凸模型情况，区间算术计算结果趋于保守。邱志平］等指出了Ben-Haim鲁棒可靠性准则即响应凸集合与失效凸集合为不相交关系的错误，提出了结构的安全与失效的关系应该对应于凸集合间的偏序关系，这仅仅是基于一种方式对不确定量进行的描述，而计算必须建立在先前的实验数据上，以至该模型也有一定的局限性.曹鸿钧⑻等在区间可靠性指标的基础上，提出一衡量超椭球模型与区间模型并存情况下的非概率可靠性指标由于非概率可靠性指标是用一个极小极大模型定义的，虽然可以采用增广设计变量的方法转化为常规极值问题，但以该指标为设计约束的优化问题求解时仍然十分困难。在结构的分析和设计中，需要合理地定量处理一些影响其性能的不确定性，虽然概率理论在不确定性的处理及可靠性分析方面得到了成功的应用，但不确定性并不等于随机性。不确定性的模拟既可以是概率的，也可以是非概率的，同一问题中可能同时含有概率变量和非概率变量。因此，非概率方法及其与概率方法的混合模型⑼的研究也有着重要的理论和实际意义。非概率可靠性并不是完全否认概率可靠性，它是概率可靠性有益的补充，很多研究都在试图将两种方法结合起来对系统性能进行评估。基于结构可靠性分析中的概率可靠性模型和非概率集合可靠性模型，王军等”等提出一种新的结构可靠性分析的概率-非概率混合模型，该模型首先将功能函数进行非概率可靠性分析，后将标准化区间变量空间所有区域的可靠度惊喜求和计算，从而给出结果的可靠度。为了有效地处理结构系统的混合可靠性问题，基于模糊随机可靠性模型及非概率集合可靠模型，尼早等[11]建立了结构概率一模糊-非概率混合可靠性模型，该混合可靠性模型为分析和设计决策提供更全面、更真实的有用信息。可靠性设计的精确性和先进性是建立在应力、强度、寿命等数据的真实性、精确性的基础上的，重视试验数据的收集和分析，对设计新产品时有很重大的参考价值。.机械零件可靠性设计理论的发展趋势对当前机械产品而言，如何提高设计质量、完善设计理论、改进设计技术、缩短设计周期是最重要的，而这些都与可靠性有着密切的联系。可靠性技术己深入到机械零部件结构设计、强度设计以及失效分析中，机械零件可靠性理论研究工作已经成为机械工程中的研究热点，目前大量论文和专著，已证实了结构系统可靠性分析和计算方法相当成熟，就目前的发展趋势看如下几方面应是工程机械结构可靠性理论研究的热点：(1)可靠性优化设计⑵可靠性灵敏度设计⑶可靠性稳健设计(4)可靠性试验。本文基本思路和主要研究内容可靠性设计理论的应用已深入到机械零部件的选材、结构设计、强度设计、失效概率分析以及产品的创新设计中。产品的设计变量和预设计参数向量对机械产品的可靠性起重要作用，而在实际工程中这些变量的不确定性是客观存在的，这些不确定性有可能导致机械零部件的性能指标有较大的波动，甚至失效，因此确定设计参数对机械零部件可靠性影响程度十分必要，即可靠性灵敏度设计目前，机械零部件可靠性灵敏度研究发展较为迅速，文献首次提出机械零部件可靠性灵敏度分析的基本概念，研究了可靠度对随机参数的敏感性。随后国内外部分学者又提出了许多可靠性灵敏度分析方法[12][13][14],张义民吕振宙等对机械可靠性灵敏度进行了较为系统的研究。当前可靠性灵敏度分析的方法主要有矩方法和Monte-Carlo数值模拟法等，矩方法是基于设计变量均值的可靠性灵敏度分析，计算速度较快，但只考虑了设计变量的前两阶矩，影响计算的精度。Monte-Carlo数值模拟法，计算量较大，尤其是针对小失效概率问题，以至在实际工程问题中很难应用。计算机械零部件的失效概率或可靠度的前提是，必须知道极限状态函数的概率密度函数或联合概率密度函数，但是实际工程通常为小样本情况，统计资料或者试验数据往往缺少，所以很难确定基本随机参数的分布规律，特别是分布函数、概率密度函数、实际分布函数尾部与概率密度函数尾部拟合不一致的情况，对结构的可靠性或者失效概率分析的精度会有较大影响［1元在小样本情况下，如何能在不降低计算效率的情况下改善可靠性及可靠性灵敏度分析方法的精度，是本文研究的重点和难点。本文利用鞍点估计技术可以无限逼近非正态变量空间中线性极限状态函数概率分布的特点，获得了外载荷作用下机械零部件结构响应的概率密度函数和分布函数。在此基础上，针对基本参数存在不确定性的可靠性分析问题，将鞍点估计理论与可靠性灵敏度分析方法相结合，系统地推导了基于鞍点估计的可靠性灵敏度公式，研究了机械零部件可靠性灵敏度分析方法。并将其引入到新型旋转式立体车库载车台主梁结构的可靠性灵敏度分析中，通过与改进一次二阶矩显式迭代方法计算所得的结果做比较，显示出本方法计算结果的准确度高、计算速率较快优点。第二章可靠性灵敏度简述我们当前应用的可靠性灵敏度设计是在可靠性设计的基础上进行机械结构、机构设计参数的灵敏度分析，来确定基本设计变量的改变对机械结构、机构可靠度的影响程度，可靠性灵敏度分析可以定量化反映各基本随机参数对机械结构、机构失效的影响程度，即敏感性。目前求得灵敏度的常用方法是采用可靠度对设计变量均值和方差的偏导数。若可靠度对某个设计变量求得的灵敏度数值大于0，则说明该设计变量均值的增加会使机械结构/机构趋于更加可靠；若对某设计变量求得灵敏度数值小于0，则说明该设计变量均值的增加会使机械结构/机构趋于更加不可靠。同样对于方差的灵敏度亦如此。可靠度对设计参数均值的灵敏度表达式为dR aR那朗TOC\o"1-5"\h\z = gdXTapa^ax (2.1)g可靠度对设计参数方差的灵敏度表达式为\o"CurrentDocument"dr arap a。 =-7^ g— (2-2)dVar(X)apSoaVar(X)g

ap1apaap1apa。ga。 ga。 。2ggaVar(X)2。|_axaX在极限状态函数为线性或非线性程度不强的情况下，上述可靠性灵敏度计算公式是实用的。但在非线性程度较强的情况下，采用随机摄动技术或差分法计算来近似代替微分时，基本随机参数的变化量取得过小或过大都直接影响灵敏度分析的精度，甚至会出现错误。因此对上述可靠性灵敏度计算公式进行修正。在对设计参数向量求偏导时，通常认为极限状态函数的方差和设计参数的均值是完全独立的，所以有a。a。—g-=0axt(2-3)事实上，在极限状态函数方程为线性时，则式(2-3)成立，若极限状态函数方程为非线性即为关于X的二阶或高阶方程时，则式(2-3)就不成立。所以修正后的可靠性灵敏度计算公式应为(2-4)drarapa。 arapa^(2-4)—= g-+ g-dXTapa。axtapa^axtgg在这里要说明的是方差的灵敏度计算公式无需进行修正，因为极限状态函数的均值和设计参数向量的方差是完全相互独立的，而且中不包含Var(X)项，所以有a^ g—=0aVar(X) (2-5)dr ar apa。 arapa^ ar apa。所以 =K Z g-+-7^ Z g—=-7^ g—不变dVar(X) ap a。aVar(X) apa^ aVar(X) ap a。aVar(X)gg g第三章鞍点逼近的可靠性灵敏度分析3.1鞍点逼近理论鞍点逼近理论的基本思想是利用基本随机参数的线性极限状态函数r=g(x)的累积生成函数(cumulantgeneratingfunction,CGF)和矩生成函数(momentgeneratingfunction,MGF)的性质以及Fourier逆转公式，来求得极限状态函数基于鞍点的指数幕级数

表达式形式的联合概率密度函数的近似值。鞍点逼近理论最早应用于复变函数，1954年Daniels也首先提出了鞍点逼近理论并将其应用到统计推断问题中。鞍点逼近方法给出Yn个独立相同分布的基本随机参数的概率密度函数的精确逼近式，误差的阶虽与正态近似分布误差的阶相同，但实际计算中鞍点逼近法的精度要高的多，特别是在尾部区域中明显优于正态近似分布，因此鞍点逼近法是小样本情况下一个非常有效的统计近似方法。设X，为基本随机参数，Xi表示X，的一个观测值,Xi=X=[X1，X2,…Xn上表示随机数矢量，其概率密度函数(PDF)为fjx),矩生成函数(MGF)为(3-1)M(t)=eKx(t)=fxetxf(x)dxx(3-1)-x其中K/t)是随机变量X的累积生成函数，则K(t)=InM(t)(3-2)根据矩生成函数的定义，运用傅里叶反变换公式得到y的概率密度函数fy(y)K(t)=InM(t)(3-2)根据矩生成函数的定义，运用傅里叶反变换公式得到y的概率密度函数fy(y)为2VMa1)egydad(K己Yy}d己(3-3)应用指数幕级数展开估计式(3-3)，得到y的概率密度函数,fy(y)在点y°处的鞍点估计式fy(yn)如下:fy(y0)二[2^]1/2e[八"，""ys(3-4)在文献中，Daniels给出了计算j=g(x)分布函数的精确公式F(y)=。(w)+①(w)(———)=。(w+—In(W))(3-5)式(4-1)中。(w)和平(w)和分别为标准正态分布函数的分布函数和概率密度函数。iw=sgn(t){2[ty-K(t)]}2 (3-6)v=t[K"(t)](3-7)sys式(3-6)符号函数sgn(t)=1,0,-1,取决于t为正值，0或者是负值。在y°=0时，式, 1.，w、、(3-5)中的-(w+-In(-))可以看作是一次二阶矩方法中正态变量空间的可靠度指标Bwv值。TOC\o"1-5"\h\z对于非线性功能函数为y=g(x)的函数，如果随机参数矢量x=(x,x…x)t的均值为1 2n日=(日,日，…,日)t，根据泰勒公式，将y=g(x)在基本随机参数的均值处展开如下xx x1 2 n

i=1(3-8)可得到的累积生成函数为i=1(3-8)可得到的累积生成函数为ixii=1(3-9)然后再采用鞍点估计法求解。3.2鞍点逼近的可靠性灵敏度分析基于3.1鞍点逼近理论，将可靠性灵敏度定义为结构失效概率P,对其基本参数的均值及均方差的偏导数，如下所示SP—口SrxiSPSP—口SrxiSPJSfJy)SrxiSfJy)dy(3-10)So SoXQ Xidy(3-11)式中。表示极限状态函数的积分区域，积分区域的取值范围取决于机械零部件的失效状态或安全状态。结构失效概率Pf的表达式为r1 1/2(3-12)P=』( )e[Ky«,)-{"dy(3-12)f 2冗K"(t)Qys对式（3-9）求一阶导数可得K(t)=g(K(t)=g(R)+y-RXi7+£Sxi=1 iKXiri=i=1(3-13)对式（3-9）求二阶导数可得K''(tK''(t)=

yi=11sxi(3-14)第四章AFSOM法的结构可靠度的显示迭代法改进的一次二阶矩（AFSOM）法是结构可靠性设计的一种常用方法，目前已经在工程中获得了广泛应用［17］。但是，使用AFSOM法求可靠度时，每次迭代都需要代入功能函数计算可靠度指数EMM。如果功能函数比较复杂，那么只能通过方程的数值解法来求解B,这样就大大增加了计算的量。所以说，在AFSOM法的基础上，应用了一种不需要与功能函数联立

就能解方程的显示迭代算法，可以比较准确的计算出可靠度指标B,而且可以简化可靠度的计算过程，有利于编程计算。改进的一次二阶矩法可靠性分析的目的就是计算可靠度，即求：R=』f(X)dX (4-1)xg(x)>0式中：fx(X)为设计变量X1X2…,X”的联合概率密度函数；g(X)为极限状态函数，表示了机械结构/机构的两种存在状态:<0<0…失效状态>0…安全状态(4-2)对于已知的极限状态函数对g(X)，其最可能设计点P*(X；,X；,・♦・,X、)是不知道的，所以采用迭代算法或直接寻优的方法找到最可能设计点尸*(X*,X*，…,X*)。利用Taylor级数展开式将非线性功能函数在基本随机变量的均值处进行线性化处理，略去高次项，即:Z=g(X)=g(XX，…，X)1, 2Xg(X*,XXg(X*,X*,・・・，X*)+12X返aFi=1 i(X-X*)(4-3)令：c令：c=g(X*,X*，…,X*)-X(i=1,2,…,n)P*ni=1那么非线性极限状态函数g(X；)线性展开后可记为G(X):G(X)xg(X)=c+XcX(4-4)i=1如果设计参数相互独立，失效区域中的最可能设计点(MPP)一定落在功能函数所定义的失效边界上,所以有g(X1*，X，..，XN)或可靠度指标为:(4-5)c202ixi

失效概率Pf为：P=M—B) (4-6)fAFSOM法的显式迭代法推导将非线性的功能函数g(x)在均值设计点尸*(X;,X;,•••,X］处按式(4-3)泰勒展开，展开后线性功能函数Z的均值为1 2 n1 2 ni=1，-X*) (4-7)xi i若随机变量相互独立，则Z的标准差为=：T；^若随机变量相互独立，则Z的标准差为=：T；^Y xi8xp*i=1 i(4-8)将灵敏度系数九.(i=1,2,...,n)的计算式代入式(4-8)得。z另一表达式，即。z。z二入。Xi

i=1(4-9)根据可靠性指标定义「=匕联立式(4-7)和式(3-9)，得到B的显示表达式如下:ogE, 、,8g、— (N-x*)(—)II 1 2 n xi8X*p=%= i=1 i__8Xipo ,8g、G 二乙九0(J) (4-10)iXi8Xp*\i=1 i4.3AFSOM法的显示迭代法计算B步骤运用基于AFSOM法的显示迭代法计算机械零部件可靠性指标B的基本步骤如下:(1)给各基本随机参数赋初值，即x*(i=1,2，…,n),一般取各个基本随机参数的数学期i望作为初值。(2)若随机变量为非正态的，则利用二参数等效正态法将非正态的随机变量xi(i=1,2，…,n)在x*处等效成为正态的随机变量。设等效后X,的均值和标准差分别为I“

计算偏微分值。计算偏微分值。。(雪(4-11)xi xSxp*(4-11)iiv/Sg2(—)2・o2- Sxp*xi-1i(4)根据式(4-10)求8。⑸将上述所得8代入式(4-12)中，得到x*的新值。ix*-N-PXc(4-12)I Xj(6)重复(2)—(5)的步骤，直到前后两次迭代的8值的相对误差满足精度要求为止，最后将所得的8值代入式子R=。(P)即可求得可靠度，。(P)为标准正态分布函数。4.4显式迭代算法可靠性灵敏度分析机械零件的可靠度对基本随机参数向量X-(XJX2,…,X*的均值和标准差的灵敏度分别为：SRSRspSSRSRspSn①(P) - Z- SXTSpSnZSXT oSZSX1SZ

aF

2SZSX~n(4-13)(4-14)SR _SRSp Sn,—①(p)N{SZ)2(4-14)SVar(X)-SpSNZSVarZX)- 203"(茨J式中：(・)2—(•)区(•)为(•)的Kronecker幕，区为Kronecker积。将已知条件和可靠性指标计算结果代入式(4-13)和式(4-14)中，就可获得机械零件可靠性灵敏度。第五章载车台主梁结构的可靠性灵敏度分析新型立体车库载车台设计考虑到加工、拆装工艺、高效存取车等因素，采用框架式、单吊点悬挂结构、叉梳杆支撑、重力自平衡调节，设计了旋转式立体车库1型单吊点重力自平衡式立体车库(见图5-1)。该设计结构新颖、经济实用，充分利用有限的地面和空间，大幅增加停车位数目，尤其适合在旅游区使用。10

图5-1单吊点重力平衡式立体车库模型图该旋转式立体车库的L型单吊点重力自平衡式载车台（见图5-2）是旋转式立体车库的主要结构件之一。该结构形式载车台的垂直框架、水平载车台框架、叉梳杆支撑机构为其重要结构部分。为提高载车台的机动性、可靠性和稳健性，基于多个随机变量的情况，应用多目标可靠性稳健优化设计方法进行精度较高的计算，从而提高结构可靠度设计的准确性。图5-2单吊点重力平衡式栽车台结构图载车台主梁结构力学模型该旋转式立体车库悬臂梁结构在外荷载作用下，力学模型简化如图5-3所示N尸.6mRF=3355NN尸.6mRF=3355NrW二156.41X10-6m3r=230X106N/m2fO=335.5No=15.66x10-6m3qo=18.4x106N/m2q图5-3载车台主梁结构强度可靠性模型其中：F为汽车总重分量；q为水平主梁自重的均布载荷；l为水平主梁长度。载车工况下最大弯矩为M=1ql2+1//，根据应力一强度干涉模型，以应力极限状态表示的状态函数为g(x)=Wf-M,W为抗弯截面系数，f为钢材强度。基本随机参数x=(q,l,F,W,f)t均值E(x)=(日:日i,日f，%,日f)T,方差Var(x)=(ojOi,oF,oW,of)T,可认为基本随机变量服从正态分布且相互独立。载车台主梁结构载荷及材料特性的前两阶矩统计值如下：O=33.64N.mNO=33.64N.mO=0.56m主梁结构可靠性灵敏度分析鞍点逼近法与改进一次二阶矩显式迭代法得到载车台主梁结构参数均值和方差的可靠性灵敏度见表5-1和表5-2,可靠度指标及迭代次数结果见表5-3。表5-1均值灵敏度ap彳ap瓦ap-fa^ap了ap-fSr一次二阶矩显式迭代法 q 1.1747E-07l2.1491E-051.7002E-08-9.547E-06f-5.4606E-13本文方法1.1188E-072.7112E-056.9237E-08-2.699E-06-2.4210E-1212表5-2方差足敏度dP-fSoSP直1SP—f-SoSP—f-SoSP-f-Sof一次二阶矩显式迭代法 q 9.0215E-08l5.0266E-051.8848E-082.7741E-05J1.0662E-12本文方法3.1941E-072.0836E-055.1163E-081.0367E-054.1702E-11表5-3可靠性指标和迭代次数可靠度指标B迭代次数一次二阶矩显式迭代法4.42319415024790139本文方法4.146963538254481结果分析:(1)从均值和方差灵敏度结果分析，载车台主梁的抗弯截面系数W和材料强度f的均值增加，其结果将使主梁结构趋于更加可靠，而承受得载荷q、F和主梁长度l均值增加，其结果将使主梁结构趋于不可靠(失效)；主梁结构可靠度对抗弯截面系数W灵敏性较强，对钢材强度f的灵敏性较弱。从失效概率对基本随机变量方差的灵敏度可以看出，基本随机变量方差的增加都会减小主梁结构的可靠度。(2)通过数值分析显示，本文方法与改进一次二阶矩显式迭代法得到灵敏度值在数量级上基本一致，在反映各参数对可靠度的灵敏程度的重要性上是一致的，该结果在一定程度上验证了本文方法的正确性。(3)利用均值一阶鞍点估计技术不用迭代即可得到可靠度对均值和方差的可靠性灵敏度，以及可靠度指标，从迭代次数对比上看，本章方法明显具有较高的效率。第六章结论在机械零部件可靠性分析中，必须了解机械零部件各不确定性因素的变化对自身可靠度的影响，即机械零部件的可靠度相对于其设计参数的灵敏程度，只有知道各不确定性因素影响的大小，才能在机械零部件设计、制造、安装和使用等环节中进行改进。可靠性灵敏度分析的重要性体现在两个方面，一是体现在对机械零部件可靠性优化设计和可靠度的校验上，二是在估算机械零部件的可靠度时，既可对工程数据作出精度上的要求，又可提高计算效率。如果机械零部件可靠度对某一设计参数的灵敏度数值较大，则要求所提供该设计参数的数据应比较精确，如果可靠性灵敏度数值较小，则在计算过程中该设计参数可以作为确定部分（常数）来处理，从而提高计算效率。本文基于鞍点估计技术，结合可靠性设计理论和灵敏度分析理论，提出基于鞍点估计的机械零部件可靠性灵敏度分析方法，该方法对于基本变量的分布类型没有限制，适用于非正态变量情况；在新型旋转式立体车库载车台主梁结构的可靠性灵敏度分析中，与改进一次二阶矩显式迭代法结果相比较，显示出本文方法逼近效果很精确，能优化迭代过程，减少计算量，提高计算效率。由对于基本随机变量的分布类型没有限制，所以使得设计结果更符合实际，更合理也更科学。