2023年山东省高考数学真题试卷(新高考Ⅰ卷)

2023年山东省高考数学真题试卷〔高考Ⅰ卷)一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。〔840分〕1.A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}A∪B=〔〕A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}【答案】C【考点】并集及其运算【解析】【解答】𝐴∪𝐵=[1,3]∪(2,4)=[1,4)故答案为：C【分析】依据集合并集概念求解.2.2i=〔〕A.1B.A.1B.−1C.iD.−i【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】故答案为：D

2𝑖12𝑖

=(2𝑖)(12𝑖)(12𝑖)(12𝑖)

=5𝑖5

=𝑖【分析】依据复数除法法则进展计算.A.120种B.90种C.60种D.30种A.120种B.90种C.60种D.30种【答案】C【考点】排列、组合及简洁计数问题6【解析】61名去甲场馆，方法数有𝐶1；6552名去乙场馆，方法数有𝐶2；53名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有𝐶1⋅𝐶2

=610=60种.6 5故答案为：C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(O)AOA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点AOA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，假设晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°A处的水平面所成角为〔〕2A.20° B.40° C.50° D.90°【答案】B【考点】平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】画出截面图如以以下图所示，其中𝐶𝐷是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知𝑂𝐴⊥𝑙；𝐴𝐵是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，依据平面平行的性质定理可得可知𝑚//𝐶𝐷、依据线面垂直的定义可得𝐴𝐵⊥𝑚..由于∠𝐴𝑂𝐶=40°𝑚//𝐶𝐷，所以∠𝑂𝐴𝐺=∠𝐴𝑂𝐶=40，由于∠𝑂𝐴𝐺+∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐺𝐴𝐸=90，所以∠𝐵𝐴𝐸=∠𝑂𝐴𝐺=40，也即晷针与点𝐴处的水平面所成角为∠𝐵𝐴𝐸=40.故答案为：B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，依据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，依据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.某中学的学生乐观参与体育熬炼，其中有96%的学生宠爱足球或游泳，60%的学生宠爱足球，82%的学生宠爱游泳，则该中学既宠爱足球又宠爱游泳的学生数占该校学生总数的比例是〔〕A.62% B.56% C.46% D.42%【答案】C【考点】概率的根本性质，条件概率与独立大事【解析】【解答】记“该中学学生宠爱足球”为大事A，“该中学学生宠爱游泳”为大事B，则“该中学学生宠爱足球或游泳”为大事𝐴+𝐵，“该中学学生既宠爱足球又宠爱游泳”为大事𝐴⋅𝐵，则𝑃(𝐴)=0.6，𝑃(𝐵)=0.82，𝑃(𝐴+𝐵)=0.96，所以𝑃(𝐴⋅𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴+𝐵)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既宠爱足球又宠爱游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故答案为：C.【分析】记“该中学学生宠爱足球”为大事A，“该中学学生宠爱游泳”为大事𝐵，则“该中学学生宠爱足球或游泳”为大事𝐴+𝐵，“该中学学生既宠爱足球又宠爱游泳”为大事𝐴⋅𝐵，然后依据积大事的概率公式𝑃(𝐴⋅𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴+𝐵)可得结果.A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天根本再生数R0与世代间隔T是冠肺炎的流行病学根本参数.根本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：𝐼(𝑡)=e𝑟𝑡描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0 ，T近似满足R0A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【答案】B【考点】类比推理6【解析𝑅0=3.28𝑇=6𝑅0=1𝑟𝑇𝑟=3.28−16

=0.38𝐼(𝑡)=𝑒𝑟𝑡=𝑒0.38𝑡，设在冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为𝑡1天，则𝑒0.38(𝑡+𝑡1)=2𝑒0.38𝑡，所以𝑒0.38𝑡1=2，所以0.38𝑡1=ln2，𝑡1=

ln2

≈0.69≈1.8天.0.38故答案为：B.【分析】依据题意可得𝐼(𝑡)=𝑒𝑟𝑡=𝑒0.38𝑡，设在冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要𝑡1𝑒0.38(𝑡+𝑡1)=2𝑒0.38𝑡𝑡1即可得结果.P是边长为2的正六边形F内的一点，则⃗⃗⋅

的取值范围是〔〕A.(−2,6) B.(−6,2) C.(−2,4) D.(−4,6)【答案】A【考点】平面对量数量积的含义与物理意义，平行投影及平行投影作图法【解答】

的模为2，依据正六边形的特征，可以得到⃗⃗ 在

方向上的投影的取值范围是(−1,3)，结合向量数量积的定义式，可知⃗⃗⋅

等于

的模与⃗⃗ 在

方向上的投影的乘积，所以⃗⃗⋅故答案为：A.

的取值范围是(−2,6)，【分析】首先依据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到⃗⃗ 在(−1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果.

方向上的投影的取值范围是Rf(x)在(−∞0)f(2)=0，则满足𝑥𝑓(𝑥−1)≥0x的取值范围是A.[−1,1]A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】由于定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)在(−∞0)上单调递减，且𝑓(2)=0，所以𝑓(𝑥)在(0∞)𝑓(−2)=0，𝑓(0)=0，所以当𝑥∈(−∞−2)∪(0,2)时，𝑓(𝑥)>0，当𝑥∈(−2,0)∪(2∞)时，𝑓(𝑥)<0，𝑥𝑓(𝑥−1)≥0可得：{ 𝑥<0

𝑥>0或{

或𝑥=0−2≤𝑥−1≤0或𝑥−1≥2 0≤𝑥−1≤2或𝑥−1≤−2解得−1≤𝑥≤0或1≤𝑥≤3，所以满足𝑥𝑓(𝑥−1)≥0的𝑥的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故答案为：D.【分析】首先依据函数奇偶性与单调性，得到函数𝑓(𝑥)在相应区间上的符号，再依据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最终求并集得结果.二、选择题：本小题共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，局部选对的得3分。〔420分〕9.曲线𝐶:𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1.〔〕m>n>0C是椭圆，其焦点在y轴上m=n>0C是圆，其半径为√𝑛mn<0C是双曲线，其渐近线方程为𝑦=±√𝑚𝑥𝑛m=0，n>0C是两条直线【答案】A,C,D【考点】二元二次方程表示圆的条件，椭圆的定义，双曲线的定义【解析】【解答】对于A，假设𝑚>𝑛>0，则𝑚𝑥2+𝑛𝑦2

=1可化为

1𝑚

1𝑛

=1，由于𝑚>𝑛>0，所以

1<1，𝑚 𝑛即曲线𝐶表示焦点在𝑦轴上的椭圆，A符合题意；对于B，假设𝑚=𝑛>0，则𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1可化为𝑥2+𝑦2=1，𝑛此时曲线𝐶表示圆心在原点，半径为√𝑛𝑛

的圆，B不正确；C，假设𝑚𝑛<0，则𝑚𝑥2+𝑛𝑦2此时曲线𝐶表示双曲线，

=1可化为

1𝑚

1𝑛

=1，由𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=0可得𝑦=±√𝑚𝑥，C符合题意；𝑛D，假设𝑚=0𝑛>0，则𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1可化为𝑦2=1，𝑛𝑦=±√𝑛𝑛

，此时曲线𝐶表示平行于𝑥轴的两条直线，D符合题意；故答案为：ACD.𝑚>𝑛>0时表示椭圆，𝑚=𝑛>0时表示圆，𝑚𝑛<0时表𝑚=0𝑛>0时表示两条直线.A.sin(𝑥+π〕3B.A.sin(𝑥+π〕3B.sin(π−2𝑥)3C.cos(2𝑥+π〕65πD.cos( −2𝑥)6【答案】B,C【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，诱导公式【解析】【解答】由函数图像可知：

𝑇=2𝜋−

=

，则𝜔=

=

=2A,2 3 6 2 𝑇 𝜋当𝑥=2𝜋+𝜋

=

时，𝑦=−1∴2×5𝜋+𝜑=3𝜋+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，3 62 12

12 2解得：𝜑=2𝑘𝜋+2𝜋(𝑘∈𝑍)，3即函数的解析式为：𝑦=sin(2𝑥+2𝜋+2𝑘𝜋)=sin(2𝑥+𝜋+𝜋)=cos(2𝑥+𝜋)=sin(𝜋−2𝑥).3 6 2 6 3cos(2𝑥𝜋)=−cos(5𝜋2𝑥)6 6故答案为：BC.【分析】首先利用周期确定𝜔的值，然后确定𝜑的值即可确定函数的解析式，最终利用诱导公式可得正确结果.11.a>0，b>0a+b=1，则〔〕A.𝑎2+𝑏2≥12【答案】A,B,D

2

C.log2𝑎+log2𝑏≥−2 ≤√2【考点】对数的运算性质，根本不等式6【解析】【解答】对于A𝑎2𝑏2=𝑎21𝑎)2=2𝑎22𝑎1=2(𝑎1)21≥1，𝑎=𝑏=12

时，等号成立，A符合题意；

2 2 2对于B𝑎𝑏=2𝑎1>−12𝑎−𝑏>2−1=12

，B符合题意；C，log2𝑎+log2𝑏=log2𝑎𝑏≤log2(𝑎+𝑏)2=log21=−2，𝑎=𝑏=12

2 4时，等号成立，C不正确；D，由于(√𝑎+√𝑏)2=1+2√𝑎𝑏≤1+𝑎+𝑏=2，√𝑎√𝑏≤√2𝑎=𝑏=12

时，等号成立，D符合题意；故答案为：ABD【分析】依据𝑎+𝑏=1，结合根本不等式及二次函数学问进展求解.信息熵是信息论中的一个重要概念.X全部可能的取值为1,2𝑛，且𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖>0(𝑖=1,2,⋯,𝑛),∑𝑛𝑖=1

𝑝=1，定义X的信息熵𝐻(𝑋)=−∑𝑛𝑖𝑖=1𝑖

𝑝𝑖log2𝑝𝑖.〔〕n=1H(X)=0n=2H(X)随着𝑝1的增大而增大𝑖C.假设𝑝=1(𝑖=1,2𝑛)H(X)n的增大而增大𝑖𝑛D.n=2mY全部可能的取值为1,2𝑚，且𝑃(𝑌=𝑗)=𝑝𝑗+𝑝2𝑚+1−𝑗(𝑗=1,2,⋯,𝑚)，H(X)≤H(Y)【答案】A,C【考点】对数函数的图象与性质，根本不等式【解析】【解答】对于A选项，假设𝑛=1，则𝑖=1𝑝1=1，所以𝐻(𝑋)=−(1×log21)=0，所以A选项正确.对于B𝑛=2𝑖=1,2𝑝2

=1−𝑝1，所以𝐻(X)=−[𝑝1⋅log2𝑝1+(1−𝑝1)⋅log2(1−𝑝1)]，𝑝1=1

𝐻(𝑋)=−(1log213log23)，4 4 4 4 4𝑝1=3

𝐻(𝑋)=−(3log231log21)，4 4 4 4 4两者相等，所以B选项错误.𝑖对于C选项，假设𝑝=1(𝑖=1,2𝑛)，则𝑖𝑛𝐻(𝑋)=−(1⋅log21)×𝑛=−log21=log2𝑛，𝑛 𝑛 𝑛则𝐻(𝑋)随着𝑛的增大而增大，所以C选项正确.D选项，假设𝑛=2𝑚，随机变量𝑌的全部可能的取值为1,2𝑚，且𝑃(𝑌=𝑗)=𝑝𝑗+𝑝2𝑚+1−𝑗〔𝑗=1,2,⋯,𝑚〕.72𝑚 2𝑚 1𝐻(𝑋)=−∑𝑝𝑖⋅log2𝑝𝑖=∑ 𝑝𝑖⋅log2𝑝=𝑝1⋅log21

+𝑝2⋅log21

𝑖=1+⋯+𝑝2𝑚−1⋅log2

𝑖𝑖=1+𝑝2𝑚⋅log2 1 .𝑝1

𝑝2

𝑝2𝑚−1

𝑝2𝑚𝐻(𝑌)=(𝑝1+𝑝2𝑚)⋅log2

1𝑝1+𝑝2𝑚

+(𝑝2+𝑝2𝑚−1)⋅log2

1𝑝2+𝑝2𝑚−1

+⋯+(𝑝𝑚+𝑝𝑚+1)⋅log2

1𝑝𝑚+𝑝𝑚+1

=𝑝1⋅log2 1𝑝1+𝑝2𝑚

+𝑝2⋅log2

1𝑝2+𝑝2𝑚−1

+⋯+𝑝2𝑚−1⋅log2

1𝑝2+𝑝2𝑚−1

+𝑝2𝑚⋅log2

1𝑝1+𝑝2𝑚

由于

>0(𝑖=1,2,2𝑚)，所以

1𝑝𝑖

> 1𝑝𝑖+𝑝2𝑚+1−𝑖

，所以log2

1𝑝𝑖

>log2

1 ，𝑝𝑖+𝑝2𝑚+1−𝑖𝑝𝑖log2

1𝑝𝑖

>𝑝𝑖⋅log2

1 ，𝑝𝑖+𝑝2𝑚+1−𝑖所以𝐻(𝑋)>𝐻(𝑌)，所以D选项错误.故答案为：ACA选项，求得𝐻(𝑋)，由此推断出A选项的正确性；对于B选项，利用特别值法进展排解；对于C选项，计算出𝐻(𝑋)，利用对数函数的性质可推断出C选项的正确性；对于D选项，计算出𝐻(𝑋),𝐻(𝑌)，利用根本不等式和对数函数的性质推断出D选项的正确性.三、填空题(4520分)〔420分〕斜率为√3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|𝐴𝐵|= ．163【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】∵抛物线的方程为𝑦2=4𝑥，∴抛物线的焦点F坐标为𝐹(1,0)，又∵AB过焦点F且斜率为√3，∴AB的方程为：𝑦=√3(𝑥−1)3代入抛物线方程消去y并化简得3𝑥2−10𝑥+3=0，𝑥1=1𝑥2=33所以|𝐴𝐵|=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=√1+3⋅|3−1|=163 3解法二：𝛥=100−36=64>03设𝐴(𝑥1𝑦1𝐵(𝑥2𝑦2)，则𝑥1+𝑥2=10,3过𝐴𝐵分别作准线𝑥=−1的垂线，设垂足分别为𝐶,𝐷如以下图.3|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=|𝐴𝐶|+|𝐵𝐷|=𝑥1+1+𝑥2+1=𝑥1+𝑥2+2=163163【分析】先依据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x.n 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为 n 3𝑛22𝑛【考点】等差数列的前n项和，等差关系确实定【解析】【解答】由于数列{2𝑛−1}12为公差的等差数列，数列{3𝑛2}13为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的数列{𝑎𝑛}16为公差的等差数列，2所以{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑛⋅1+𝑛(𝑛−1)2

·6=3𝑛2−2𝑛，3𝑛22𝑛.{2𝑛−1}与{3𝑛−2}项的特征，从而推断出两个数列公共项所构成数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如以下图．OAB所在圆的圆心，AABAG的切点，BABBCDEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tanODC=35

，𝐵𝐻∥𝐷𝐺，EF=12cm，DE=2cm，ADEEF7cm，圆孔半径为cm，则图中阴影局部的面积为 cm2．9【答案】4+5𝜋2【考点】直线与圆的位置关系，扇形的弧长与面积【解析】【解答】设𝑂𝐵=𝑂𝐴=𝑟，由题意𝐴𝑀=𝐴𝑁=7，𝐸𝐹=12，所以𝑁𝐹=5，由于𝐴𝑃=5,∠𝐴𝐺𝑃=45°，由于𝐵𝐻//𝐷𝐺，所以∠𝐴𝐻𝑂=45°，由于𝐴𝐺与圆弧𝐴𝐵相切于A点，所以𝑂𝐴⊥𝐴𝐺，即△𝑂𝐴𝐻为等腰直角三角形；在直角△𝑂𝑄𝐷中，𝑂𝑄=5−√2𝑟，𝐷𝑄=7−√2𝑟，2 2tan∠𝑂𝐷𝐶=𝑂𝑄3𝐷𝑄 5

，所以21−3√2𝑟=255√2𝑟，2 2𝑟=2√2；等腰直角△𝑂𝐴𝐻的面积为𝑆 =1×2√2×2√2=4；121𝐴𝑂𝐵𝑆2=13𝜋×(2√2)2=3𝜋，2 4=2 245𝜋.2【分析】利用tan∠𝑂𝐷𝐶=35

求出圆弧𝐴𝐵所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形𝐴𝑂𝐵的面积，求出直角△𝑂𝐴𝐻的面积，阴影局部的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.ABCD–ABCD2，∠BAD=60°．以𝐷

为球心，√5为半径的球面与侧面1111 1BCC1B1的交线长为 ．【答案】√2𝜋2【考点】球面距离及相关计算，直线与平面垂直的性质，扇形的弧长与面积【解析】【解答】如图：10𝐵1𝐶1的中点为E𝐵𝐵1的中点为F𝐶𝐶1𝐺，由于∠𝐵𝐴𝐷=60°，直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长均为2，所以△ 𝐷1𝐵1𝐶1为等边三角形，所以𝐷1𝐸=√3，𝐷1𝐸⊥𝐵1𝐶1，⊥，所以⊥，𝐵𝐵1𝐵1𝐶1=𝐵1𝐷1𝐸⊥𝐵1𝐶1𝐶𝐵，设𝑃为侧面𝐵1𝐶1𝐶𝐵与球面的交线上的点，则𝐷1𝐸⊥𝐸𝑃，由于球的半径为√5，𝐷1𝐸=√3，所以|𝐸𝑃|=√|𝐷1𝑃|2−|𝐷1𝐸|2=√5−3=√2，所以侧面𝐵1𝐶1𝐶𝐵𝐸√2，由于|=|=√2，所以侧面11𝐵与球面的交线是扇形𝐺的弧𝐺，4∠𝐵1𝐸𝐹=∠𝐶1𝐸𝐺=4

∠𝐹𝐸𝐺=𝜋，2所以依据弧长公式可得𝐺=𝜋×√2=2𝜋.2 2√2𝜋.2【分析】依据条件易得𝐷1𝐸=√3，𝐷1𝐸⊥侧面𝐵1𝐶1𝐶𝐵，可得侧面𝐵1𝐶1𝐶𝐵与球面的交线上的点到𝐸的距离为√2，可得侧面11𝐵与球面的交线是扇形𝐺的弧得结果.

，再依据弧长公式可求四、解答题(本大题共6小题，共70分，解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤)〔共670分〕17.在①𝑎𝑐=√3，②𝑐sin𝐴=3，③𝑐=√3𝑏这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题𝑐的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△𝐴𝐵𝐶，它的内角𝐴𝐵𝐶的对边分别为𝑎𝑏𝑐，且sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，▲?6注：假设选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解：解法一：由sin𝐴=√3sin𝐵可得：

𝑎=√3，𝑏不妨设𝑎=√3𝑚𝑏=𝑚(𝑚>0)，112𝑐2=𝑎2𝑏22𝑎𝑏cos𝐶=3𝑚2𝑚22√3𝑚𝑚√3=𝑚2𝑐=𝑚.2选择条件①的解析：据此可得：𝑎𝑐=√3𝑚×𝑚=√3𝑚2=√3，∴𝑚=1，此时𝑐=𝑚=1.选择条件②的解析：据此可得：cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑚2+𝑚2−3𝑚2=−1，2𝑏𝑐 2 2则：sin𝐴=√1−(−1)2=√3，此时：𝑐sin𝐴=𝑚×√3=3，则：𝑐=𝑚=2√3.2 2 2选择条件③的解析：可得𝑏

=𝑚

=1，𝑐=𝑏，与条件𝑐=√3𝑏冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵ 𝑠𝑖𝑛𝐴=√3𝑠𝑖𝑛𝐵,𝐶=𝜋,𝐵=𝜋−(𝐴+𝐶),6∴ 𝑠𝑖𝑛𝐴=√3sin(𝐴+𝐶)=√3sin(𝐴+𝜋),6𝑠𝑖𝑛𝐴=√3sin(𝐴+𝐶)=√3𝑠𝑖𝑛𝐴·√3+√3𝑐𝑜𝑠𝐴·1 ，2 2∴ 𝑠𝑖𝑛𝐴=−√3𝑐𝑜𝑠𝐴,∴ 𝑡𝑎𝑛𝐴=−√3,∴ 𝐴=3

,∴ 𝐵=𝐶=𝜋,6假设选①，𝑎𝑐=√3,∵ 𝑎=√3𝑏=√3𝑐,∴ √3𝑐2=√3,∴c=1;假设选②，𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=3,则2

=3,𝑐=2√3;假设选③,与条件𝑐=√3𝑏冲突.【考点】两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，依据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到𝑐的长度，依据选择的条件进展分析推断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得𝑡𝑎𝑛𝐴的值，得到角𝐴,𝐵,𝐶的值，然后依据选择的条件进展分析推断和求解.18.1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2+𝑎4=20𝑎3=8．〔1〕求{𝑎𝑛}的通项公式；〔2〕记𝑏𝑚为{𝑎𝑛}在区间(0𝑚](𝑚∈𝑁∗){𝑏𝑚}100项和𝑆100．【答案】〔1〕解：由于数列{𝑎𝑛}是公比大于1的等比数列，设首项为𝑎1，公比为q，依题意有𝑎1𝑞+𝑎1𝑞3=20

𝑎 =32,𝑞=1{𝑎1

𝑞2=8

，解得解得

𝑎1

=2,𝑞=2

，或1

(舍)，2所以𝑎𝑛=2𝑛，所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛.〔2〕解：由于21=222=423=824=1625=3226=6427=128，所以𝑏1(0,1]，则𝑏1=0；𝑏2𝑏3(0,2](0,3]，则𝑏2=𝑏3=1，即有2个1；12𝑏4𝑏5𝑏6𝑏7对应的区间分别为：(0,4](0,5](0,6](0,7]，则𝑏4=𝑏5=𝑏6=𝑏7=2，即有22个2；𝑏8𝑏9𝑏15(0,8](0,9](0,15]，则𝑏8=𝑏9=⋯=𝑏15=3，即有23个3；𝑏16𝑏17𝑏31对应的区间分别为：(0,16](0,17](0,31]，则𝑏16=𝑏17=⋯=𝑏31=4，即有244；𝑏32𝑏33𝑏63(0,32](0,33](0,63]，则𝑏32=𝑏33=⋯=𝑏63=5，即有255；𝑏64𝑏65𝑏100对应的区间分别为：(0,64](0,65](0,100]，则𝑏64=𝑏65=⋯=𝑏100=6，即有376.=424525637=480.【考点】等比数列的通项公式，类比推理〔1〕𝑎1,𝑞的形式，求解出𝑎1,𝑞，由此求得数列{𝑎𝑛}的通项公式.〔2〕通过分析数列{𝑏𝑚}的规律，由此求得数列{𝑏𝑚}100项和𝑆100.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进展调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度〔单位：μg/m3

〕，得下表：PM2.5PM2.5SO2[0,50](50,150](150,475][0,35](35,75](75,115]3218468123710附：𝐾2=

𝑛(𝑎𝑑𝑏𝑐) 2 ，(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)𝑃(𝐾𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001𝑘3.8416.63510.828估量大事“该市一天空气中PM2.575，且SO2150”的概率；SO2[0,150](150,475][0,75](75,115]SO2[0,150](150,475][0,75](75,115]中的列联表，推断是否有%的把握认为该市一天空气中5浓度与O2浓度有关？【答案】〔1〕100天中，空气中的𝑃𝑀2.575，且𝑆𝑂2浓度不超过150的天数有32+6+188=64天，所以该市一天中，空气中的𝑃𝑀2.575，且𝑆𝑂2150的概率为

64100

=0.64；𝑆𝑂2[0,150]合计解：由所给数据，可得2𝑆𝑂2[0,150]合计𝑃𝑀2.5[0,75]641680(75,115]101020合计7426100解：依据2×2列联表中的数据可得𝐾2= 𝑛(𝑎𝑑𝑏𝑐)2(𝑎𝑏)(𝑐𝑑)(𝑎𝑐)(𝑏𝑑)

=100×(64×1016×10)280×20×74×26

=3600≈7.4844>6.635，481由于依据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中𝑃𝑀2.5浓度与𝑆𝑂2浓度有关.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】〔1〕依据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；〔2〕依据表格中数据可得×2列联表；〔3〕计算出𝐾2，结合临界值表可得结论.P-ABCD的底面为正方形，PD⊥ABCDPADPBC的交线为l．证明：l⊥PDC；PD=AD=1，QlPBQCD所成角的正弦值的最大值．【答案】〔1〕解：在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，由于𝐴𝐷⊄平面𝑃𝐵𝐶，𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶，所以𝐴𝐷//平面𝑃𝐵𝐶，又由于𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝑃𝐵𝐶=𝑙，所以𝐴𝐷//𝑙，由于在四棱锥𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，所以𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,∴𝑙⊥𝐷𝐶,且𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐷,∴𝑙⊥𝑃𝐷,由于𝐶𝐷∩𝑃𝐷=𝐷所以𝑙⊥平面𝑃𝐷𝐶；〔2〕解：如图建立空间直角坐标系𝐷 𝑥𝑦𝑧，由于𝑃𝐷=𝐴𝐷=1，则有𝐷(0,0,0)𝐶(0,1,0)𝐴(1,0,0)𝑃(0,0,1)𝐵(1,1,0)，设,)，则有

=(0,1,0),

⃗=,,⃗⃗=,)，设平面𝐷的法向量为⃗=,,)，则{𝐶⋅𝑛=

{

𝑦=0 ，𝑄⋅𝑛

0 𝑚𝑥+𝑧=0令𝑥=1，则𝑧=𝑚，所以平面𝐷的一个法向量为⃗=,)，则s<,⃗⃗>=⃗=|

1+0+𝑚√3⋅√𝑚2+1依据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值确实定值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于s<⃗⃗>|=

|1+𝑚|

=√3⋅√1+2𝑚+𝑚2

=√3⋅√1+

2𝑚

≤√3⋅√1+2|𝑚|

≤√3⋅√1+1=√6

√3⋅√𝑚2+1 3 𝑚2+1 ，当且仅当𝑚=1时取等号，

𝑚2+1 3𝑚2+1 3 3所以直线𝑃𝐵与平面𝑄𝐶𝐷所成角的正弦值的最大值为√6.3【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】〔1〕利用线面垂直的判定定理证得𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐷𝐶，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得𝐴𝐷//𝑙，从而得到𝑙⊥平面𝑃𝐷𝐶；〔2〕依据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点,)，之后求得平面𝐷的法向量以及向量⃗⃗的坐标，求得s<⃗⃗>的最大值，即为直线𝐵与平面𝐷.21.𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1−ln𝑥+ln𝑎．当𝑎=𝑒y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；假设f〔x〕≥1a的取值范围．【答案】〔1〕解：∵𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−ln𝑥+1，∴𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1𝑥

，∴𝑘=𝑓′(1)=𝑒−1.∵𝑓(1)=𝑒+1，∴切点坐标为(1,1+e),∴f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为𝑦−𝑒−1=(𝑒−1)(𝑥−1),即𝑦=(𝑒−1)𝑥+2,∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2)−22𝑒−12

,0),∴所求三角形面积为

2

−2|𝑒−1|

|=𝑒−1;15〔2〕解：解法一：∵𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥1 ln𝑥+ln𝑎,∴𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥1

1𝑎>0.𝑥设𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥),则𝑔′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥1

1

>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，即𝑓′(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，当𝑎=1时，𝑓′(1)=0,∴ 𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(1)=1,∴ 𝑓(𝑥)≥1成立.𝑎>1时，

1<1，∴𝑒11 <1，∴𝑓′(1)𝑓′(1)=𝑎(𝑒11 1)(𝑎 1)<0,𝑎 𝑎

𝑎 𝑎∴存在唯一𝑥0

>0，使得𝑓′(𝑥0)=𝑎𝑒𝑥01

1𝑥0

=0，且当𝑥∈(0𝑥0

)时𝑓′(𝑥)<0，当𝑥∈(𝑥0

,+∞)时𝑓′(𝑥)>0，∴𝑎𝑒𝑥01 =1𝑥0

，∴ln𝑎+𝑥0

1=ln𝑥 0，因此𝑓(𝑥)min=𝑓(𝑥0)=𝑎𝑒𝑥01 =1𝑥0

+ln𝑎+𝑥0 1+ln𝑎≥2ln𝑎 1+2√1𝑥0

·𝑥0=2ln𝑎+1>1,∴ 𝑓(𝑥)>1,∴ 𝑓(𝑥)≥1恒成立；当0<𝑎<1时，𝑓(1)=𝑎+ln𝑎<𝑎<1,∴ 𝑓(1)<1,𝑓(𝑥)≥1不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥1 𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛𝑎=𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑥1 𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛𝑎≥1等价于𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑥1 +𝑙𝑛𝑎+𝑥 1≥𝑙𝑛𝑥+𝑥=𝑒𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛𝑥,令𝑔(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥,上述不等式等价于𝑔(𝑙𝑛𝑎+𝑥 1)≥𝑔(𝑙𝑛𝑥),明显𝑔(𝑥)为单调增函数，∴又等价于𝑙𝑛𝑎+𝑥 1≥𝑙𝑛𝑥，即𝑙𝑛𝑎≥𝑙𝑛𝑥 𝑥+1，令ℎ(𝑥)=𝑙𝑛𝑥 𝑥+1,则ℎ′(𝑥)=1 1=1𝑥𝑥 𝑥在(0,1)h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)h’(x)<0,h(x)单调递减，= (1)=0∴ = (1)=0𝑚𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎0，即𝑎1，a的取值范围是[1,+∞).【考点】利用导数争论函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数争论曲线上某点切线方程【解析】【分析】〔1〕先求导数，再依据导数几何意义得切线斜率，依据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最终依据三角形面积公式得结果；〔2〕解法一：利用导数争论，得到函数𝑓(𝑥)得导函数𝑓’(𝑥)a=1时由𝑓’(1)=0得𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(1)=1,a>1时，可证𝑓′(1)𝑓′(1)<0，从而𝑓′(𝑥)存在零点

>0，使得𝑓′(