2020届二轮(理科数学) 压轴大题得分练四 专题卷(全国通用)

1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为B，右顶点为A，直线AB与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切．(1)求椭圆C的方程．(2)过点N(0，－)且斜率为k的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求证：BP⊥BQ.1．(1)解：由题意知，A(a，0)，B(0，1)，则直线AB的方程为x＋ay－a＝0.由直线AB与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，得圆心M到直线AB的距离d＝＝1，求得a＝，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：直线l的方程为y＝kx－，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去y整理得(4＋12k2)x2－12kx－9＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝－.又＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，∴·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)·(kx2－)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0，∴BP⊥BQ.2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2lnx(a∈R)．(1)当b＝0时，确定函数f(x)的单调区间．(2)当x>y>e－1时，求证：exln(y＋1)>eyln(x＋1)．2．(1)解：当b＝0时，f′(x)＝2a－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当a＞0时，由f′(x)＜0得0＜x＜；由f′(x)＞0得x＞.∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)，综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间，当a＞0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．(2)证明：∵x＞y＞e－1，∴x＋1＞y＋1＞e，即ln(x＋1)＞ln(y＋1)＞1.欲证exln(y＋1)＞eyln(x＋1)，即证明＞.令g(x)＝，x∈(e－1，＋∞)，则g′(x)＝.显然函数h(x)＝ln(x＋1)－在(e－1，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(e－1)＝1－＞0，即g′(x)＞0，∴g(x)在(e－1，＋∞)上单调递增，∴x＞y＞e－1时，g(x)＞g(y)，即＞，∴当x＞y＞e－1时，exln(y＋1)＞eyln(x＋1)成立．3.(本小题满分12分)(2019东北三省四市一模)已知椭圆C：＋＝1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.(1)求动点N的轨迹方程；(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．3．解：(1)(方法一)设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，∴直线NB1：y＋3＝－x①，直线NB2：y－3＝－x②.①×②得y2－9＝x2.又∵＋＝1，∴y2－9＝x2＝－2x2，整理得点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．(方法二)设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，B1(0，－3)，B2(0，3)．∴直线NB1：y＋3＝－x①，直线NB2：y－3＝－x②.联立①②，解得又＋＝1，∴x＝－，故代入＋＝1，得＋＝1.∴点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．(方法三)设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，则直线NB1：y＝－x－3①.直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为(，)．∴直线MB2的斜率为kMB2＝＝－.∴直线NB2：y＝2kx＋3②.联立①②，解得点N的坐标为(－，)．由得点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．(2)(方法一)设N(x1，y1)，M(x0，y0)(x0≠0)，由(1)中方法二，得x1＝－，∴四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|x1|＋|x0|)＝3×|x0|.∵0＜x≤18，∴当x＝18时，S的最大值为.(方法二)由(1)中方法三，得四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×(＋)＝＝≤，当且仅当|k|＝时，S取得最大值.4．(本小题满分12分)(2019河北石家庄适应性考试)设f′(x)是函数f(x)的导函数，我们把f′(x)＝x的实数x叫作函数y＝f(x)的好点．已知函数f(x)＝e2x－aex－x2.(1)若0是函数f(x)的好点，求a；(2)若函数f(x)不存在好点，求a的取值范围．4．解：(1)由题意，函数f(x)＝e2x－aex－x2，可得f′(x)＝e2x－aex－(a2－1)x.由f′(x)＝x，得e2x－aex－(a2－1)x＝x，即e2x－aex－a2x＝0.∵0是函数f(x)的好点，∴1－a＝0，解得a＝1.(2)由(1)知f′(x)＝e2x－aex－(a2－1)x.由f′(x)＝x，得e2x－aex－(a2－1)x＝x，即e2x－aex－a2x＝0.令g(x)＝e2x－aex－a2x，问题转化为讨论函数g(x)的零点问题．∵当x→－∞时，g(x)→＋∞，若函数f(x)不存在好点，等价于g(x)没有零点，即g(x)的最小值大于零．g′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则g(x)＝e2x＞0，g(x)无零点，f(x)无好点．②若a＞0，则g′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，g′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，g′(x)＞0.∴g(x)在(－∞，lna)上单调递减，(lna，＋∞)上单调递增．∴当x＝lna时，g(x)有最小值g(lna)＝－a2lna.当且仅