2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为(

)A．1007

B．1008

C．2013

D．2014参考答案：A3.抛物线的焦点坐标是

(A）（,0）(B)

（0,）(C）

(D)

参考答案：D考点：抛物线的焦点问题4.在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且，，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.2

D．参考答案：B∵是的中点，是的中点，∴∥，又，∴，故为直角三角形．由双曲线的定义可得，∴，在中，可得，即，整理得，∴．选B．

5.下列命题正确的是（）A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增B．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πC．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性；正切函数的奇偶性与对称性．【分析】先根据x的范围求出2x+的范围，再由正弦函数的单调性可判断A；根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式将y=cos4x﹣sin4x为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可判断B；根据对称中心的函数值等于0可判断C，从而确定答案．【解答】解：∵x∈∴2x+∈（﹣，），∴y=sin（2x+）在区间内是先增后减，排除A；∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=，排除B；令x=代入得到cos（+）=cos=0，∴点（，0）是函数y=cos（x+）的图象的对称中心，满足条件．故选C．6.己知点P在直线上，点Q在直线上，中点且，则的范围是(

)(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A7.若的展开式中的系数为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A．

Ｂ． Ｃ．

D．

参考答案：A9.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种 B．180种 C．270种 D．540种参考答案：D【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题；综合题．【分析】三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．【点评】本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，是基础题．10.集合,,若,则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是DC的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和DB所成角的余弦值为

．参考答案：取的中点为，连接，，延长到使，连接，，，则∥，所以为异面直线和所成角或它的补角.∵∴，且在中，根据余弦定理得.∴同理可得，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面∵平面∴∴，即同理可得，又∵∴在中，∵两直线的夹角的取值范围为∴异面直线和所成角的余弦值为故答案为.

12.当时,函数f(x)=log的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则的最小值是

.参考答案：13.如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有

种.

参考答案：13由题意知本题是一个分步计数问题，每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落．∵每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24-3=13种情况，故答案为：1314.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a＋b＝1,mn＝2,则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为

.

B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2,则PE＝

.

C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为

.

参考答案：A.由科尔不等式可得（am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2B.C.x=，y=，0≤＜A.

略B.

已知∠BCE=∠PED=∠BAP

∴PDE∽PEA∴

而PD=2DA=2

∴PA=3PE2=PA·PD=6

故PE=C.

x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=，y=，0≤a＜2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤＜，所以0≤2＜2，所以所求圆的参数方程为x=，y=，0≤＜

15.已知幂函数的图象经过点(3,)，那么这个幂函数的解析式为

参考答案：16.复数z=（a2+a）+(a－1)i，a∈R，ｉ为虚数单位，在复平面上对应的点位于第三象限，则ａ的取值范围是．（答案用区间表示）参考答案：17.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确的结论的个数是

．参考答案：3，，真；，，假；显然③真；若则,,则,若,则,，,④真.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a＜0时，且f（x）为奇函数，求f（x）的表达式；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，求b﹣a的值．参考答案：【考点】3E：函数单调性的判断与证明；5B：分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）运用奇函数的性质f（0）=0，可得a，再求x＜0的解析式，进而得到b=1，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则有，运用不等式的性质，即可得到a=1，b=﹣1，进而得到b﹣a．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）为奇函数，则f（0）=a2﹣1=0，由a＜0，则a=﹣1，x≥0时，f（x）=（x+1）2﹣1，则x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x+1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+1=﹣（x﹣b）2+1，即有b=1，故f（x）=；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则，则有a2≥1，b2≥1，a2+b2≥2，又a2+b2≤2，即有a2+b2=2，即a=1，b=﹣1，则有b﹣a=﹣2．19.已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上，下顶点.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于点的对称点为E，点是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.参考答案：（1）；（2）是，0.【分析】(1)根据已知条件,求出,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.【详解】（1）因为圆过椭圆的上，下顶点，所以，又离心率，所以，于是有，解得，.所以椭圆的方程为；（2）由于直线的斜率为，可设直线的方程为，代入椭圆：，可得.由于直线交椭圆于、两点，所以，整理解得设点、，由于点与点关于原点的对称，故点，于是有，.若直线与的斜率分别为，，由于点，则，又∵，.于是有，故直线与的斜率之和为0，即.【点睛】本题考查了求椭圆方程,考查了韦达定理,考查了斜率公式,考查了运算求解能力,属于中档题.20.（本题满分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足===(如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).(1)求证:E⊥平面BEP;(2)求直线E与平面BP所成角的大小.参考答案：(1)不妨设正三角形ABC的边长为3,则在图(1)中,取BE的中点D,连接DF,∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,则△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,∴在图(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,∵二面角EFB为直二面角,∴E⊥BE.又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),(0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EFDP,DEFP,故点P的坐标为(1,,0),∴=(2,0,-1),=(-1,,0),=(0,0,1),不妨设平面BP的法向量=(x,y,z),则,令y=,得=(3,,6),∴cos<,>===,则直线E与平面BP所成角的正弦值为,故直线E与平面BP所成角的大小为.21.（本小题满分12分）某公司销售、、三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计月份共销售部手机（具体销售情况见下表）

款手机款手机款手机经济型豪华型已知在销售部手机中，经济型款手机销售的频率是.（Ⅰ）现用分层抽样的方法在、、三款手机中抽取部，求在款手机中抽取多少部？（Ⅱ）若，求款手机中经济型比豪华型多的概率.参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以

………………2分所以手机的总数为：………………3分现用分层抽样的方法在在、、三款手机中抽取部手机，应在款手机中抽取手机数为（部）.…………………5分（Ⅱ）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为，因为，，满足事件的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个事件包含的基本事件为，，，，，，共7个。

所以即款手机中经济型比豪华型多的概率为……………12分

22.（本小题满分12分）已知函数

.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.

参考答案：解：（1）的定义域为（0，+∞），…2分当时，＞0，故在（0，+∞）单调递